四两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式(学案)一、学习目标1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。并运用进行简单的三角函 数式的化简、求值和恒等变形。二、自主学习第6页共4页1、诱导公式sin(q +.不)=1) <cos(n+a) = tan( ，：工)二sin-：)=2) cos(T-)=tan( -sin(二)-)-3) cos(n_a) = tan(二)-)-5)sin(2 二)=cos(土卜二)二2、同角三角函数基本关系平方关系(1) 商数关系(2) 3、两角差的余弦公式 Cg聿cos。甘)=4.公式推导(1)两角

2、和的余弦 cos ( a+E =；(2)两角和与差的正弦sin ( a+£ =; sin ( a- 3) =;(3) 两角和与差的正切tan ( a+$ =; tan ( a- 3) =三、合作探究知识点一所求角可表示成两个特殊角的和、差例 1 求 sin75 :tan15 的值.一.2.321解 sin75 =sin(45 +30° 尸sin45 cos30 +cos45 sin30 =x+x =2222o ， tan60 -tan45 _ 3-1tan15 =tan(60 -45 )=-尸3313 = 2 -、3 .1由31 tan60 tan45 1. 3tan45

3、- tan30或 tan15 =tan(45 -30 )=1 tan45 tan30方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明,其结果应遵循以下几个原则能求值的要求值；三角函数的种类尽可能少；角的种类尽可能少；次数尽可能低；尽可能不含根号和分母知识点二 已知“、3的三角函数值，求 a ±的三角函数值例2.已知sin a1 ,求cos(三+a的值.33思路分析因为二是个特殊角，所以根据31条件只告诉了 sin

4、“1 ,没有明确角3C（a+的展开式，只需求出COS a的值即可.由于a所在的象限，所以应分类讨论，先求 COS a的值，再代入展开式确定cos（二+ a的值.3解 . Sin a=! >0 , ，a 位于第一、3象限.当 a是第一象限角时，22，：，：，：12.2cos(+ a 尸cos-cos -sin sin a =父33323.3 12.2- 3 -二;12362 2二 2 33方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S（±±nC（±±nT（± ±敢展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同

5、角三角函数的基本关系何理，当 a是第象限角时，cos a =, cos(+ a )=-求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos（兀+ & ）cos（： + a ）这样的函数求值，由于它们的角与上的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求2值，直接利用诱导公式可能更简单.四、学以致用练习1已知a,3是锐角，且sincos 3 1=,求10a- 3的值.练习2设 tan(a P)=2, tan(曰P) = 3,则 tan(三口)等于44A.1 C.5)D.练习3在 ABC 中，sinA= 3 c0sB=,求 cosC.513五、自主小测sin163° sin2

6、23° +sin253° sin313° 等于()A.2.12一 tan A1 tan A1B2= 3 + 2，2 ,则 cot(三 +A)等于(4C.32.3 D. 2A. 3-2 2B. 3 2 2C. -3 2 2D. -3-2<23.若 8sina +5cosP =6 , 8cosa 十5sin P = 10 ,则 sin(a + P)二4.已知tana、tan P是方程x2 +3j3x + 4 =0的两个根，且a, P w (,),则 ct + P2的值是二 3 二 , 小 125.已知 y<3<aa< , cos ( a- 3)

7、=,sin ( a+ 3)=3,求 cos2 a 与 COS2 3 的值.51 . B ;解析 原式=sin17 -° (。1sin17 sin43 + cos17cos43 =cos60 =； 2sin43 °) + (sin73 ) ( sin47 °)jitan tan A 1 -tan A 42. B;解析 - 4-;1 tan A 1 tan tan A4=tan(A) = tan(424+ A) = cot( + A)4=3 + 2也;3. 47;解析 对两式8sina +5cosB = 6和8cosa +5sinB = 10两边平方后对应相加,804

8、7并结合两角和正弦公式整理可得sin(a + P) = 47 ；802 二4 .；解析 解析 由韦达定理得 tanot + tan P = 343 , tana tan P = 4 ,3tan +tan :1 - tan ： tan :ji),且 tana + tan B < 0 2tan j tan>0 , . tana <0, tanP<0,故 a,Pw，冗 D(-,0),从而 0 +眦(一,0)5.解析二3二.八 c 二3< 3 < ev- , 0< a 3 v-, 兀 < a + 3 < ,2,-、5，sin ( a- 3) = V,1 - cos2(a - P) = , cos ( a +13 4=1 一 sin工 P)= 5. COs2 a =COs( a + $ + ( a 3 = co