集合函数及函数性质

1、高等数学基础高等数学基础70%期末考试成绩期末考试成绩30%平时成绩平时成绩50%形成性考核侧作业形成性考核侧作业30%期中测验期中测验20%课堂学习表现课堂学习表现预预 备备 知知 识识第一节第一节 代代 数数1、实数的绝对值、实数的绝对值 数数 x 的的绝对值绝对值,0,0 xxxxx 例如例如190 2.56 19,0,2.562、几个平方公式、几个平方公式2)(ba2)(ba)(baba222baba222baba22ba 例例2)3(x2xx69162x)4(x)4(x3、二次三项式的（十字相乘法）分解、二次三项式的（十字相乘法）分解)()(2bxaxabxbaxbxaxab)(ba

2、例例232xx21xx23)1(x)2(x例例232xx21xx23)1(x)2(x例例322xx31xx32)1(x)3(x4、指数运算、指数运算aaaann 个个例例32222810a注意：注意：nnaa111 aa例例x11x21x2xnmnmaa21aa 例例422559不存在不存在32832836445、对数、对数01loga1logaa,log xa0 x重点：重点：xxelogln称为自然对数称为自然对数01ln 1lne6、一元二次方程、一元二次方程02cbxax一元二次方程一元二次方程 的根（解）的根（解）22124422bbacbbacxxaa ， 例：求方程例：求方程 的

3、解。的解。23210 xx解：解：21( 2)( 2)4 3 ( 1)2 3x 2162416622421663x axb 移项得移项得0;baxa 若若，则则 0(0)axba一元一次不等式一元一次不等式 的解法：的解法：0baxa 若若，则则 7、不等式求解、不等式求解例：求解不等式例：求解不等式360 x 360 x 解：解：36x 2x 例：解不等式组例：解不等式组7351122xxxx 解：解：7531xx 24x 2x 12x 不等式组的解为：不等式组的解为：课堂练习课堂练习：解不等式组解不等式组2464321xxxx 122xx122x1x 第二节第二节 几几 何何一、平面直角坐

4、标系一、平面直角坐标系二、直线二、直线（1）、倾斜角与斜率）、倾斜角与斜率直线与直线与x轴正方向的夹角轴正方向的夹角称为直线的倾斜角。称为直线的倾斜角。tank称称 为直线的斜率。为直线的斜率。（2）、直线方程）、直线方程 直线上任意一点的坐标（直线上任意一点的坐标（x，y）所满足的的等式，称为其方程。所满足的的等式，称为其方程。已知直线过点（已知直线过点（a，b）,斜率为斜率为k，则其方程为：，则其方程为：)(axkby例：已知直线过点（例：已知直线过点（2，-3），斜率为），斜率为5，求该直线方程，求该直线方程y1053xy0135 xy)(axkby)3(5)2(x 设圆的半径为设圆的半

5、径为 r ，其其面积为面积为 s s ；当；当 r 变化变化时，其面积也随之变化。时，其面积也随之变化。2sr 它们相互之间的关系是：它们相互之间的关系是：满足一定条件的变量之间的关系就称为函数关系满足一定条件的变量之间的关系就称为函数关系1 函数的定义函数的定义定义：定义：设设 和和 是变量，是变量，d d是一个给定的非空数集，是一个给定的非空数集，若对于每一个若对于每一个 ，按照某一确定的对应法则，按照某一确定的对应法则，得到得到 y y 唯一的数值，则称唯一的数值，则称 y 是是 x 的函数，记为：的函数，记为：xyxd ( )yf x 其中其中 称为自变量，称为自变量， 称为因变量，称

6、为因变量， 称为函数的定称为函数的定义域。义域。xyd0 x 若若 时，时， 的数值称为函数值，记作的数值称为函数值，记作 0 xd y0()f x0 xxy 或或00()xxyf x 即即2、函数的两要素：、函数的两要素：定义域定义域和和对应法则对应法则（1）函数定义域的确定（重点）函数定义域的确定（重点）注意以下几点：注意以下几点： 用解析式用解析式 表示的函数，能使解析表示的函数，能使解析式有意义的一切实数组成的集合就是：定义域。式有意义的一切实数组成的集合就是：定义域。( )yf x )()(xgxh（1 1）分式）分式 ，则，则 ； 0)(xg（2 2）根式）根式 ，则，则 ； )(

7、xh0)(xh（3 3）对数式）对数式 ，则，则 。 )(lnxu0)(xu例例1 1：求下列函数的定义域求下列函数的定义域 21(1)34yxx 1(2)11yxx 1040 xx 14xx 21(1)34yxx 解：解：所以定义域为：所以定义域为： 所有实数所有实数4,1 xx1 (1)(4)xx10 x 11xx 1(2)11yxx 解：解：10 x 所以定义域为：所以定义域为：11且xx 例例2 2：求下列函数的定义域求下列函数的定义域 ln(1)(2)4xyx 9(3)ln(2)xyx (1)ln(1)yx解：解：(1)10 x 1x定义域为定义域为1x ln(1)(2)4xyx 1

8、0 x 14xx 14x 解：解：40 x14x 定义域为：定义域为：9(3)ln(2)xyx 90 x 9x 921xxx 291xx 解：解：20 x ln(2)0 x 2x (2)1x 定义域为定义域为: :29 ,1且xx 课堂练习：课堂练习：求下列函数定义域求下列函数定义域22(1).32xyxx 1(2).3yx ln(22)(3).5xyx 39(4).ln(1)xyx （2）由对应规则求函数值和函数式）由对应规则求函数值和函数式例例3： 设函数设函数 ，求求 2( )231yf xxx(1),( 1),( ),()fff afx 解：解：(1)f 2( 1)2 ( 1)3 (

9、1)1f 2( )2 ( )3 ( )1f aaa 2()2 ()3 ()1fxxx 22 (1)3 (1)1 0 6 2231aa 2231xx例例4 4：设函数设函数221( )011xxf xxxx 求求( 3),( 1),(1).fff解：解：2( 3)( 3)9f 31,x 1 ,x ( 1)0f 11,x (1)2f 2( )f xx ( )0f x( )2f xx （1）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数,dxd 设设函函数数的的定定义义域域 关关于于原原点点对对称称对对于于有有)()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf3

10、3、函数的基本性质、函数的基本性质24,yxyx如如为为偶偶函函数数也也为为偶偶函函数数；222( )()()f xxfxxx 时时，( )f x 常见的偶函数有常见的偶函数有68| ,xxxxycos xycos 余弦函数余弦函数 ，也是偶函数，也是偶函数 ,dxd 设设函函数数的的定定义义域域关关于于原原点点对对称称对对于于有有)()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 3,yxyx如如为为奇奇函函数数也也为为奇奇函函数数；( )()( )f xxfxxf x 时时，333( )()()f xxfxxx 时时，( )f x 常见的

11、奇函数有常见的奇函数有357,xxxxxysin 正弦函数正弦函数 ，也是奇函数，也是奇函数 例例1：判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性2(1)( )cos3f xxx 3(2)( )sin1f xxx 2(3)( )cosf xxx 2(4)( )sinf xxx (5)( )2xxeef x 解：解：2(1)( )cos3f xxx偶函数偶函数3(2)( )sin1f xxx非奇非偶非奇非偶2(3)( )cosf xxx 偶函数偶函数2(4)( )sinf xxx 奇函数奇函数(5)( )2xxeef x ()()()2xxeefx 2xxee 2xxee 奇函数奇函数( )f x

12、（2 2）函数的单调性）函数的单调性: :1()fxxyo()yfx 2()fxi( ),f xii设设函函数数在在区区间间 上上有有定定义义 如如果果对对于于区区间间上上任任意意;i单单调调在在间间 上上是是增增加加区区的的121212,()(),( )xxxxf xf xf x两两点点及及当当时时 恒恒有有则则称称函函数数 单调增加的函数，其图形是一条沿着单调增加的函数，其图形是一条沿着 轴正向逐轴正向逐渐上升的曲线渐上升的曲线x1x2x1()f x2()f xxyo( )yf x i( ),f xii设设函函数数在在区区间间 上上有有定定义义 如如果果对对于于区区间间上上任任意意;i单单

13、调调在在间间 上上是是减减少少区区的的121212,()(),( )xxxxf xf xf x 两两点点及及当当时时 恒恒有有则则称称函函数数 单调减少的函数，其图形是一条沿着单调减少的函数，其图形是一条沿着 轴正向逐轴正向逐渐下降的曲线渐下降的曲线x1x2x第二节第二节 初等函数初等函数一、六类基本初等函数一、六类基本初等函数oxyyc 1.常量函数常量函数 ，其中，其中 c 为常数为常数cy c2.幂函数幂函数()yx 是是常常数数113332,yxxyxxyx 23,yx yxyx是幂函数是幂函数是幂函数是幂函数113311,yxyxxx 都是幂函数都是幂函数3.指数函数指数函数) 1,

14、 0( aaayxxey 本课程中常用的指数函数本课程中常用的指数函数2.71828e 是指数函数是指数函数xxxyyy)21(,53，是指数函数是指数函数xxxy)31(3134. 对数函数对数函数xyalog 定义域为定义域为(0,) 本课程中常用的对数本课程中常用的对数 自然对数自然对数lnlogeyxxxyxxyxy31105log,lglog,log 是对数函数是对数函数5. 三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为(,) 1sin1x xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为(,) 1cos1x 特殊角的值：特殊角的值：02sin01

15、0cos101xxx 二、复合函数二、复合函数定义定义:设函数设函数 ，称，称 为两个函数的为两个函数的复合函数复合函数，并称，并称 为中间变量。为中间变量。( ) ,( )yf uux ( )yfx u2,1,yu ux如如21xy 则则 是复合函数是复合函数复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.例例如如,uy ,cotvu 2xv ，cot2xy 则则复复合合为为例：例：下列函数是有哪些函数复合而成的？下列函数是有哪些函数复合而成的？(1)sin2yx 2(2)xye (3)sinxye (4)lntan(21)yx解：解： 由最外层开始，一层一

16、层向内进行分解，使得每由最外层开始，一层一层向内进行分解，使得每一层均为基本初等函数或其四则运算式的复合。一层均为基本初等函数或其四则运算式的复合。(1)sin2yx sinyu 2ux 2(2)xye uye2ux (3)sinxye sinyuxue vuevx sinyuvx vue (4)lntan(21)yxlnyutan(21)uxtanuvlnyutan21uvvx例：例：下列函数是有哪些函数复合而成的？下列函数是有哪些函数复合而成的？(3)sinxye (4)lntan(21)yx,21vx三三 常用函数举例常用函数举例1 1、 关于几何图形的面积、周长等关于几何图形的面积、周

17、长等2(1).4axlx正正方方形形面面积积 ，周周长长 (2).2()axylxy长长方方形形面面积积 ，周周长长 2(3).2arlr圆圆面面积积 ，周周长长 xxxyr2 2、 关于几何图形的体积、表面积等关于几何图形的体积、表面积等(1).2()vxyhsxyyhxh长长方方体体体体积积 ，表表面面积积 22(2).22vr hsrrh圆圆柱柱体体体体积积 ，表表面面积积 xyhrh例例1：一长方形，边长为一长方形，边长为x和和y，试在其面积，试在其面积a为定值为定值的条件下建立长方形周长的条件下建立长方形周长l与其一边长与其一边长x之间的关系之间的关系式。又试在其周长式。又试在其周长l为定值时，建立其面积为定值时，建立其面积a与一边与一边长长x的关系式。的关系式。解：解：,2()axylxyaayx 当当 为为定定值值时时，2()alxx2llyx当当 为为定定值值时时，()2laxxxy22lxx0 x20lx 例例2 2：如图，直径为如图，直径为d 的一圆内接长方形，建立长方的一圆内接长方形，建立长方形面积形面