5.3-留数在定积分计算中的应用推荐课件

1、2021/8/221 15.3 留数在定积分计算中的留数在定积分计算中的应用应用2021/8/222 20. 一般性陈述一般性陈述在高等数学以及实际问题中，常常需要计算一些定积分或广在高等数学以及实际问题中，常常需要计算一些定积分或广义积分，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用初等义积分，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用初等函数表示出来；有的即使可以求出原函数，但计算也往往比函数表示出来；有的即使可以求出原函数，但计算也往往比较复杂。较复杂。利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只须利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数计算某

2、些解析函数在孤立奇点的留数！（1） 被积函数与某一个解析函数相关联被积函数与某一个解析函数相关联,（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分。积分线可化成沿着某个闭路的积分。关键：关键：如何把如何把计算积分的问题计算积分的问题转化成转化成计算留数的问题。计算留数的问题。2021/8/223 3利用留数定理计算定积分或广义积分没有普遍适用的方法，利用留数定理计算定积分或广义积分没有普遍适用的方法，我们只考虑我们只考虑几种特殊类型的积分几种特殊类型的积分：)( )0( )( )3()( )( )2()( )sin,(cos ) 1 (20的积分有理函数乘以三角函数的积分形如有理函数积分的积分形如三角有

3、理函数积分的积分形如adxexRdxxRdRiax1. 几种特殊类型的积分几种特殊类型的积分2021/8/224 4)( )sin,(cos ) 1 (20三角有理函数积分的积分形如dR（1） 被积函数与某一个解析函数相关联被积函数与某一个解析函数相关联.（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分积分线可化成沿着某个闭路的积分.21)(21cos,21)(21sin1,20 ,22zzeezizeeidzizddiedzeziiiiii则令.1|20:正向绕行一周恰好沿时，当zznkkzzzfsidzizzizzzRdR11|2220),(Re2 121,21)sin,(cos于是，有要求：要求：

4、1. 圆周无奇点圆周无奇点.2. 圆内只有有限个圆内只有有限个孤立奇点孤立奇点.2021/8/225 5例例1的值计算202) 10( cos212cospdpp解：解：).(21)(212cos ),(21)(21cos1,20 , 22221zzeezzeedzizddiedzeziiiiii则令dzzfdzpzpzizzdzizpzzpzzIzzz1|1|241|2122)()(1(21 1)(21211)(21因此而为一级极点为二级极点其中内在且只有被积函数有三个奇点.,0,1|, 0,/1 , 0pzzzpzppz2021/8/226 6.21)(1(21lim0),(Re22242

5、0ipppzpzizzzdzdzfsz.)1 (21)(1 (21)(lim),(Re224240pipppzpzizzpzpzfsz)1(2121222422pippippiI于是2021/8/227 7)( )( )2(有理函数积分的积分形如dxxR（1） 被积函数与某一个解析函数相关联被积函数与某一个解析函数相关联.（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分积分线可化成沿着某个闭路的积分.)( . 2 ,)()(1111在实轴上没有奇点且设替换用zRnmbzbzazazzRxRmmmnnnxz(1)(2)R-RRC1 z2 zKz .)(,内都含于上半平面内所有的奇点在使得闭路成了一个取积分

6、路线如图，则构CzRRRCCR要求！要求！2021/8/228 8KkkCRRzzfsidzzRdxxRR1),(Re2)()(于是，有总可使充分大时注意：当因为,|. 2 ,|1|1|1|)(|1111znmzbzbzazazzRmmnnnm.10/1| |,|1111mmnnzbzbzaza有充分大时故当,| z.|210/1110/11| 1 . 2 ,|1|1| 1|)(|21111zznmzbzbzazazzRnmmmnnnm02021/8/229 9.022|2|)(|)(|,0 22RRRdszdszRdzzRRRRRCCC有时当因此，KkkCRRRzzfsidzzRdxxRdx

7、xRR1),(Re2)()(lim)(于是，有R-RRC1 z2 zKz 2021/8/221010例例2的值计算)0, 0( )(22222badxbxaxx解：解：.,)()(22222函数满足上述条件易见令bzazzzR于是且都为一级极点点为在上半平面内的所有奇函数.,)(biaizzR)(2)()()(lim),(Re222222baaiabzaizaizzaizaizRsaiz.)(2)()()(lim),(Re22222abibbizbizazzbizbizRsaiz21),(Re2)(kkzzfsidxxR于是，有2021/8/221111)( )0( )( )3(的积分有理函数

8、乘以指数函数的积分形如adxexRiax（1） 被积函数与某一个解析函数相关联被积函数与某一个解析函数相关联.)( . 1 ,)()(1111在实轴上没有奇点且设替换用zRnmbzbzazazzRxRmmmnnnxz（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分积分线可化成沿着某个闭路的积分.R-RRC1 z2 zKz .)(,内点都含于在上半平面内所有的奇使得闭路成了一个取积分路线如图，则构CezRRRCCiazR(2)(1)2021/8/221212KkkiazCiazRRiaxzezRsidzezRdxexRR1,)(Re2)()(故，我们得到0Jordan引理引理3.1见下页见下页Kkkiaz

9、CiazRRiaxzezRsidzezRdxexRR1,)(Re2)()(于是，有RRRRaxdxxRaxdxxRsin)( cos)(,，式的积分：本方法可以计算下列形从上面可以看出2021/8/221313Jordan引理引理3.1有在闭区域内时如果当：且圆弧上连续区域）在闭区域（类似于扇形设函数,).( |,)0 ,(0 |,arg:)(0210021zRRzCRzRzzgR, 0)(lim0Imzgzz. 0)(lim , 0RCiazRdzezga有则对任何RRCzRRCz2021/8/221414sincsinc函数介绍函数介绍则函数在整个实轴连续用不严格的形式就写作所以定义但是因

10、为处是无定义的严格讲函数在, 10sin, 1)0sinc(1sinlim,00 xxxxxxx函数定义为sincxxxsin)sinc(2021/8/221515sinc(x)x2021/8/221616Jordan引理引理3.1的证明：的证明：于是有时当使得存在对任给的 .| )(| , 0, 00)(lim110ImzgRRRzgzz21Re)(Re)(dRieegdzezgiiaiCiaziR2121sin)sin(cos|)(Re|deRdegRaRiiaRi0sindeRaR2sin20sindeRdeRaRaR20sin2deRaRdd,令2021/8/22171720sin2d

11、eRaR2022deRaR注意注意:.2sin,22sinsin1sin,sin0即且是单调递减1 aRea.a. 0)(lim RCiazRdzezg从而有Jordan不等式不等式时当202021/8/221818例例3的值计算022)0( sinadxaxxx解：解：.,)(22函数满足上述条件易见令azzzR于是且都为一级极点点为在上半平面内的所有奇函数.,)(aizzR2)()(lim,)(ReaizaizizeaizaizzeaizaiezRs.,)(Re2)(aiezRsidxexRizix于是，有. )()(22izizeazzezRzf其中2021/8/2219192. 综合举

12、例综合举例例例4的值计算0 sindxxx解：解：:,1)(分则我们考虑如下积复积令zzR于是点在实轴上有一个孤立奇函数注意, 0)(:zzRdxxxdxxxxxsin21sin,sin0是偶函数，所以因为（1） 被积函数与某一个解析函数相关联被积函数与某一个解析函数相关联.dzezRiz)(（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分积分线可化成沿着某个闭路的积分.R-RRCrC-rr挖洞挖洞!有积分定理由,Cauchy0dzzedxxedzzedxxeRrCizixrRCizixRr变换变换xx:令2021/8/2220200dzzedxxedzzedxxeRrCizixRrCizixRr0dz

13、zedzzedxxeeRrCizRrCizixix所以0sin2dzzedzzedxxxiRrCizRrCiz记为记为I1记为记为I2有内另一方面，在引理知由,|0. 0limJordanzdzzeRCizRR-RRCrC-rr!)(! 2)(112nizizizzzeniz)(1! 211zznzizizzenniz.)0(,0z(z) ,i且解析在其中2021/8/222121rrrCCCizdzzdzzdzze)(1,有对上式两边积分.11 )1 (0 idrieredzziirezCir令022| )(|)(|, )2(0rCCCrdsdszdzzrrr有对上式两边积分0 0sin2i

14、dzzedzzedxxxiRrCizRrCiz于是2sin0dxxxR-RRCrC-rr0r当R当2021/8/222222例例5. 221cos sin0022的值计算dxxdxx解：解：. 202dxex已知（1） 被积函数与某一个解析函数相关联被积函数与某一个解析函数相关联.).sincos( 222zizeiz我们考虑解析函数RRCOBAD（2） 积分线可化成沿着某个闭路的积分积分线可化成沿着某个闭路的积分.BOCOACR成了一个闭路取积分路线如图，则构积分定理有由Cauchy002222BOizCizOAixCizdzedzedxedzeR有令40 ,irez004400422222

15、RieirieiRRixdreedRieedxeii4:irezBOiRzCRe:2021/8/22232304400422222RieirieiRRixdreedRieedxeiiRriieiRdreedRieei04402220 22dxex已知40)2sin2(cos40222deeRidRieeiiiRieiRi402sin2cos22deeRiiRiR40402sin2sin2cos402sin2cos22222deRdeRdeeRiRRiRiRiR,2sinJordan不等式：. , 0)1 (422404ReRdeRRR当2)2222(,04022idreedxeriix于是.s

16、incos222xixeix注意：2, 0 2021/8/222424例例5的值计算0 sindxxx解：解：积分定理有由成了一个闭路取积分路线如图，则构Cauchy.,321CCCRrCrRR00321CizCizCizRrizCizrRizizdzzedzzedzzedzzedzzedzzedzzer).sincos( zizeiz考虑解析函数00)()(0)(idyiyRedxixeidyiyRedxxedzzedxxeiyRiRRixiiyRiRrixCizrRixr或者1C2C3CRRrrrC课后习题课后习题5.10，见，见P94i2021/8/2225250 0)()(0)(idyiyRedxixeidyiyRedxxedzzedxxeiyRiRRixiiyRiRrixCizRrixr0 00dyiyReiedxixeedyiyReiedzzedxxeeyiRRRixyiRCizRrixixr0 sin200idyiyReedxixeeidyiyReedzzedxxxiyiRRRixyiRCizRrr2021/8/222626.lim4 . 30idzzerCizr，得，由例题. 0002200220RdsRedsyReidyiyReeyyiR. 002200RdsyReidyiyReeyiRRRRRixdxxixxixedxixee22)(sin