电磁场与电磁波(第四版之第三章静态场及其边值问题的解)

1、第3章 电磁场理论电磁场理论1分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件DBtBEtDJH0tJ出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEHBJE12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )nSet 第3章 电磁场理论电磁场理论2分类分析求解电磁问题分类分析求解电磁问题静态电磁场静态电磁场0t0t电磁波电磁波按时间变化情况按时间变化情况第第3章章第第4、5、6、7、8章章第3章 电磁场理论电磁场理论3第3章 电磁场理论电磁场理论400 HJEBD 0J 出发点出发点Maxwe

2、ll方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEHBJE 12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )0ne 静态电磁场问题静态电磁场问题0t特点：电场和磁场独立特点：电场和磁场独立第3章 电磁场理论电磁场理论5分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场静态电场按场的类型按场的类型静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论60 ED 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEJE1212()0()nnSeEEeDD12(JJ )0ne 静态电场问题静态电场问题按电荷静止

3、或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第3章 电磁场理论电磁场理论70HJB 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件HB 1212()()0snneeHHJBB 静态（恒定）磁场问题静态（恒定）磁场问题第3章 电磁场理论电磁场理论8 本章内容安排本章内容安排 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法

4、镜像法 3.6 分离变量法分离变量法第3章 电磁场理论电磁场理论9静态电场问题静态电场问题按电荷静止或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第3章 电磁场理论电磁场理论10面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论113.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5

5、静电力静电力第3章 电磁场理论电磁场理论12面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何突变边界？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论132. 2. 边界条件边界条件（一般性问题）（一般性问题）0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程（基本方程（一般性问题一般性问题）0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式：积分形式：02t1tn2n1EEDDS或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件3. 3. 按媒质分类的两类问题按媒质分类的两类问题（特殊性问题）（特殊性问题）0理

6、想介质理想介质：0存在导体存在导体：第3章 电磁场理论电磁场理论14介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE导体内部的电场为零导体内部的电场为零0nnEDeeS0tnEDS或或 理想介质情况理想介质情况 导体情况导体情况 界面两侧场矢量的方向关系界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00DDEE 介质表面的自然边界条件介质表面的自然边界条件 静电平衡静电平衡 导体表面的边界条件导体表面的边界条件导体导体介质介质2, 011, 020E1EEne第3章 电磁场理论电磁场理论15面对的问题！面对的问题！分析求解方法：分析求解方

7、法：l 已有方法及其适用范围？已有方法及其适用范围？l 利用静电场的特性，研利用静电场的特性，研究新方法及其优越性究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论160E由由()r称为静电场的标量称为静电场的标量电位函数电位函数或简称或简称电位电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题第3章 电磁场理论电磁场理论17求求2. 电场强度与电位函数的关系电场强度与电位函数的关系EdEl 已知已知EdddlEl 已知已知求求E如何求出电位函数？第3章

8、 电磁场理论电磁场理论18在均匀介质区域中，有在均匀介质区域中，有3. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程介质介质2 2介质介质1 12122 E11 E21022021 电荷区电荷区第3章 电磁场理论电磁场理论194. 利用电位求利用电位求无限大均匀媒质空间无限大均匀媒质空间中的问题中的问题2( )()qrrr 介质介质 E20 ( )q r r 点电荷源情况：点电荷源情况：( )4qrCRoxzyRrr r第3章 电磁场理论电磁场理论204. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题利用电位求无限大均匀媒质空间中的

9、问题( (续续) )dqd任意电荷源情况：任意电荷源情况：( (元电荷产生电位的迭加）元电荷产生电位的迭加）( )( )4r dvrCR dqdvl体分布电荷源体分布电荷源( )4sdsrCRsdqdSl面分布电荷源面分布电荷源( )4ldlrCRldqdll线分布电荷源线分布电荷源( )4dqdrCR第3章 电磁场理论电磁场理论2112()0v5. 利用电位求存在利用电位求存在不同媒质空间不同媒质空间中的问题中的问题 导体表面边界面导体表面边界面D 两理想介质分界面两理想介质分界面 （无强加自由电荷）（无强加自由电荷）0Snn1122常数，常数，SnSnn112221 静电位的边界条件静电位

10、的边界条件(任意静电场情况任意静电场情况)02t1tn2n1EEDDS12c 实际问题中典型的静电场情况实际问题中典型的静电场情况第3章 电磁场理论电磁场理论226. 由电位函数引出的经典物理量由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）电压（电位差）( )()dddPPQPQQElPQEl P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功dEl 问题：问题：选择不同的选择不同的积分路径会改变积分路径会改变电压的计算结果吗？电压的计算结果吗？第3章 电磁场理论电磁场理论23静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值选参考点选参考点令参考点电位为

11、零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (与零电位点的电压与零电位点的电压) ) 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。应使电位表达式最简单。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。7. 电位参考点电位参考点解决办法：解决办法：第3章 电磁场理论电磁场理论24 例例 3.1.1 求电偶极子的电位和电场强度求电偶极子的电位和电场强度. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开

12、，由于，得用二项式展开，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rP化简化简第3章 电磁场理论电磁场理论25ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为ErE)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电力线的微分方程电力线的微分方程：等位线方程等位线

13、方程：求电场强度求电场强度第3章 电磁场理论电磁场理论26解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标为坐标原点，而任意点原点，而任意点P 的位置矢量为的位置矢量为r ，则，则000( )( )ddPPoOPOElErEr rrrrrr若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0O0( )PEr rr0ExzOPr 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。用拉普拉斯方程如何求解第3章 电磁场理论电磁场理论27xyzL-L( , , ) z zddlzR 解解 建立一个最好的建立一个最好的坐标系，如图，则坐标系，如图，则02201()

14、d4()LlLrzCzz2200ln() 4LlLzzzzC220220()()ln4()()lzLzLCzLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l选一个最利的电位参考点确定选一个最利的电位参考点确定C，例如，例如 则则C=0 ()0 第3章 电磁场理论电磁场理论2822022000()()( )limln4()()2 ln2lLlzLzLrCzLzLLC任选有限远处的某点为电位参考点，例如，任选有限远处的某点为电位参考点，例如，= a 点，则有点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar求无限长直均匀线电荷

15、产生的电位求无限长直均匀线电荷产生的电位最有利的零电位点选择？最有利的零电位点选择？第3章 电磁场理论电磁场理论29 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0

16、S121122( ),( )xx 分析分析用直接积分方法求解？第3章 电磁场理论电磁场理论300110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 最后得最后得xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a 处，处，0220( )( )SxbE xxea确定待定常数确定待定常数利用边界条件利用边界条件方法第3章 电磁场理论电磁场理论31 两区的介质不同？两区的介质不同？ 用高斯定理求解？用高

17、斯定理求解？ 用用MaxwellMaxwell微分方程求解？微分方程求解？ 其它坐标系下的同类问题？其它坐标系下的同类问题？延伸应用思考：延伸应用思考：obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S12121E2E第3章 电磁场理论电磁场理论32面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用：l 静电感应l 静电屏蔽关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论33电容器在实际问题中的作用：电容器在实际问题中的作用： 3.1.3 导体系统的导体系统的电容电容与部分电容与部分电容典型的有利作用典型的有利作用：储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频

18、等典型的不利作用典型的不利作用：电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题第3章 电磁场理论电磁场理论34qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两导体两导体所所组成电容器的电容组成电容器的电容12qqCU *多导体系统中导体两两间形成部分电容多导体系统中导体两两间形成部分电容 Cq 12Cqq 12311C33C22C12C23C13C111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC第3章 电磁场理论电磁场理论35导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质导体系统的结构、尺寸、形

19、状和其周围的电介质与导体的与导体的带电量和电位无关带电量和电位无关决定电容量大小的因素决定电容量大小的因素第3章 电磁场理论电磁场理论36假定假定导体导体/两导体两导体带电荷带电荷q /q求导体求导体/两导体间两导体间的电位的电位/电压电压 方法一：方法一：UqC 求解电容量的方法求解电容量的方法（利用与导体的（利用与导体的带电量带电量和和电位电位无关）无关） 方法二：方法二：按定义求得电容按定义求得电容假定假定导体导体/两导体两导体的电位的电位/电压电压求导体表面所带电量求导体表面所带电量q 第3章 电磁场理论电磁场理论37 解解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外

20、导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压同心导体间的电压04abqCUba球形电容器的电容球形电容器的电容04Ca当当 时，时，b 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容abo第3章 电磁场理论电磁场理论38 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线

21、半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l解解 设两导线上的带电量分别为设两导线上的带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近似，故可近似地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间x处的电场强度为处的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差2100d11 ()dln2DallaUElDaxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第3章 电磁场理论电磁场理论39 例

22、例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体间，内外导体间填充的介电常数为填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线l

23、n( / )2lb a第3章 电磁场理论电磁场理论40面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用典型应用! !关联的一般性物理问题:l 静电场的能量l 电容的储能第3章 电磁场理论电磁场理论41 静电场能量的分布空间静电场能量的分布空间静电场具有能量的实验证据静电场具有能量的实验证据3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第3章 电磁场理论电磁场理论421. 静电场的能量静电场的能量l 通过电位计算通过电位计算体分布电荷情况体分布电荷情况面分布电荷面分布电荷电容器的储能电容器的储能iq 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中： i

24、iiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第3章 电磁场理论电磁场理论432. 电场能量密度电场能量密度EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE l 通过电场分布计算通过电场分布计算第3章 电磁场理论电磁场理论44由于体积由于体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结

25、式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故11dd22SVDSE D V 推证推证：()DDD ()ddVSD VDSE D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDV第3章 电磁场理论电磁场理论45 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。520242062202022015

26、4)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第3章 电磁场理论电磁场理论46)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 先求出电位分布先求出电位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第3章 电磁场理论电磁场理论47静态电场问题静态电场问题按电荷静

27、止或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第3章 电磁场理论电磁场理论48面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论493.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第3章 电磁场理论电磁场理论50面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何特殊现象？l 边界有何物理量的突变？分析方法？典型应用？

28、关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论51 什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！第3章 电磁场理论电磁场理论520 ED 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEJE1212()0()nnSeEEeDD12(JJ )0ne 静态电场问题静态电场问题第3章 电磁场理论电磁场理论532. 2. 边界条件边界条件（一般性问题）（一般性问题）() D微分形式：微分形式：()DE本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程（基本方程（一般性问题一般性问题）12nn12()0()0eJJeEE J d0d0SCSEl积分形式

29、：积分形式：1n2n1t2t00JJEE或或3. 3. 按媒质分类的两类问题按媒质分类的两类问题（特殊性问题）（特殊性问题）0导电媒质导电媒质：0存在介质存在介质：3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件00EJ(D d)SqSJE n12()SeDD1n2nSDD均匀导电媒质中存在净电荷？第3章 电磁场理论电磁场理论541t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEDEED1n2n0SDE 导电媒质情况导电媒质情况 存在介质情况存在介质情况 界面两侧场矢量的方向关系界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00JJEE 分界上两侧的边界条件分界上两侧的边

30、界条件 界面上两侧场量的特殊性界面上两侧场量的特殊性导体导体介质介质22, 11, 01Ene导电媒质导电媒质2 2导电媒质导电媒质1 122, 11, 212E1Ene2E面电荷？1n2n()SDD导体是等位体？有限有限21?第3章 电磁场理论电磁场理论55ab11、第3章 电磁场理论电磁场理论56面对的问题！面对的问题！分析方法：l 哪些方法最适合？典型应用？关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论57什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！分析解决问题的关键是求电场强度分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法基于已知电荷的方法 基于电流（欧姆定律）

31、基于电流（欧姆定律） 基于电位的方法基于电位的方法20第3章 电磁场理论电磁场理论58（1 1）利用欧姆定律（导电媒质的本构关系）表示了电场强度）利用欧姆定律（导电媒质的本构关系）表示了电场强度 基于电流求解分析恒定电场问题的方法基于电流求解分析恒定电场问题的方法（2 2）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量JEdQPUEl第3章 电磁场理论电磁场理论59 电位函数满足电位函数满足LaplaceLaplace方程方程121212nn 基于电位求解分析恒定电场问题的方法基于电位求解分析恒定电场问题的方法 电位的边界条件电位的边界条件201212()snn

32、 1t2t1n2n00EEJJ1n2n()SDD()E 第3章 电磁场理论电磁场理论60 例例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，：极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U2d1d22, 11, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU122112122112()SJUdd 第3

33、章 电磁场理论电磁场理论61 例例3.2.2 如图示设内导体的电压为如图示设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1）同轴线中各区域中的电流密度和电场强度分布；（同轴线中各区域中的电流密度和电场强度分布；（2）各分界面上）各分界面上的自由电荷面密度。的自由电荷面密度。J1212I外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1abc11、22、0U第3章 电磁场理论电磁场理论62 （1）设同轴电缆中的径向电流为）设同轴电缆中的径向电流为I ,则由则由 可得可得电流密度电流密度Sd,JSI()2lIJeac111()2lIJEeab 介质中的电场介质中的电场222()2lI

34、JEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。所以电流密度成轴对称分布。J单位长度的径向电流第3章 电磁场理论电磁场理论6312021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()lUIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcllabIIbcUEEab由于由于于是得到于是得到第3

35、章 电磁场理论电磁场理论6412011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1222112112021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I第3章 电磁场理论电磁场理论65面对的问题！面对的问题！分析方法！分析方法！典型应用：l 导体的电阻和电导关联的一般性物理问题？第3章 电磁场理论电磁场理论66UIG

36、IUGR13.2.3 电阻和电导电阻和电导第3章 电磁场理论电磁场理论67(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(3) 由定义求电导：由定义求电导：21dlEUUIG/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 由由 ，求出两导体，求出两导体 间电流；间电流； (3) 由定义求电导：由定义求电导：SISJdUIG/ 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CG第3章 电磁场理论电磁场理论68恒定电场与静

37、电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC0d, 0dlESDCS第3章 电磁场理论电磁场理论69 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的

38、电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。第3章 电磁场理论电磁场理论70012222000, 0U 方程通解为方程通解为21CC 例例3.2.4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上， 由两个半径为由两个半径为r1 和和 r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计

39、算沿示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。 解：解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且电流密度是随方向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是只是变量变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到10020/,CUCU环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J第3章 电磁场理论电磁场理论71电流密度电流密度00UJEe两电极之间的两电极之间的电流电

40、流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 第3章 电磁场理论电磁场理论72面对的问题！面对的问题！分析方法！分析方法！典型应用！典型应用！关联的一般性物理问题：l 功耗第3章 电磁场理论电磁场理论73 导体媒质的功耗导体媒质的功耗 功耗密度和功耗功耗密度和功耗Jw EJdvvW E为什么电阻R消耗的功率是WIV第3章 电磁场理论电磁场理论74分类分析求解电磁问题分类分析求解电磁问题静态电磁场静态电磁场0t0t电磁波电磁波按时间变化情况按时间变化情况第第

41、3章章第第4、5、6、7、8章章第3章 电磁场理论电磁场理论75分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场静态电场按场的类型按场的类型静态磁场静态磁场静电场静电场恒定电场恒定电场第3章 电磁场理论电磁场理论76 一、静止电荷产生的场（静电场）一、静止电荷产生的场（静电场）n 导体（导体（ ）内部的电场为零）内部的电场为零n 导体表面的切向电场为零导体表面的切向电场为零 等势体等势体n 导体内部的电荷为零导体内部的电荷为零n 电荷只能位于导体表面，密集于表面类锐部分电荷只能位于导体表面，密集于表面类锐部分n 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针，应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针，

42、静态电场的典型现象和结论静态电场的典型现象和结论0第3章 电磁场理论电磁场理论77 二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）n 导体（导体（ ）内部可）内部可存在存在电场电场n 导体表面的切向电场一般导体表面的切向电场一般非非零零 非非等势体等势体n 导体内部可导体内部可有运动有运动电荷，但电荷，但净电荷量净电荷量为零为零n 净电荷只能位于导体表面净电荷只能位于导体表面n 理想导体（理想导体（ ）内部电场为零，电流为零）内部电场为零，电流为零n 理想导体边界上的电场垂直于表面理想导体边界上的电场垂直于表面 等势体等势体典型静电场现象典型静电场现象 0,JE第

43、3章 电磁场理论电磁场理论78进一步理解进一步理解静电场静电场和和恒定电场恒定电场思考题：思考题：导体导体0U U求：求：1 1） ；2 2）储能或功耗？）储能或功耗？,?E导体导体0wt0tU U第3章 电磁场理论电磁场理论79分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场静态电场按场的类型按场的类型静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论80面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论813.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量

44、磁位3.3.3 电感电感3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第3章 电磁场理论电磁场理论82面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 突变边界上有何现象？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论830HJB 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件HB 1212()()0snneeHHJBB 静态（恒定）磁场问题静态（恒定）磁场问题第3章 电磁场理论电磁场理论842. 2. 边界条件边界条件（一般性问题）（一般性问题）微分形式：微分形式：

45、本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程（基本方程（一般性问题一般性问题）积分形式：积分形式：3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件0HJB0dddSSCSBSJlHBHSJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或第3章 电磁场理论电磁场理论85面对的问题面对的问题: :l 存在什么源？存在什么源？l 在何媒质环境中？在何媒质环境中？l 突变边界上有何现象？突变边界上有何现象？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论86面对的问题！面对的问题！分析求解方法：分析求解方法：l 已有方法及其适用

46、范围？已有方法及其适用范围？l 利用静磁场的特性，研利用静磁场的特性，研究新方法及其优越性究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论87()A r称为称为矢量磁位矢量磁位或简称或简称磁矢位磁矢位。1. 矢量磁位矢量磁位的定义的定义3.3.2 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度0BBA 在恒定磁场中通常规定，并称为在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范库仑规范。0A如何求出电位函数？第3章 电磁场理论电磁场理论882. 磁矢位的微分方程（磁矢位的微分方程（一般性问题一般性

47、问题）在无源区：在无源区：ABHJ0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 第3章 电磁场理论电磁场理论893. 无限大无限大均匀媒质均匀媒质空间中的问题空间中的问题（特殊性问题特殊性问题）21( )( )rr 类比方法求解类比方法求解1( )( )4Vr dvrCR211222233AJAJAJ 123123JxyzxyzA eA eA eJ eJ eJ eAJA2( )( )4iiiVJ r dvA rCRJ( )A( )C4Vr dvrR 第3章 电磁场理论电磁场理论903. 无限大均匀媒质空间无限大均匀媒质空间中的问题中的问题(

48、 (续续) )对于电流的不同分布形式：对于电流的不同分布形式：l体电流分布体电流分布l面电流分布面电流分布l线上的电流线上的电流J( )A( )C4Vr dvrR J ( )A( )C4ssr dsrR ( )A( )C4lI r dlrR 第3章 电磁场理论电磁场理论914. 存在不同存在不同媒质空间媒质空间中的问题（中的问题（一般性问题一般性问题） 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件0A 12AA12()nSeHHJ/HA121211()nSeAAJSCSBlAdd2t1tAA 2n1nAA12AA121211()nSeAAJJA2第3章 电磁场理论电磁场理论92面对的问题！面对的问题！分析

49、求解方法：分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？已有方法及其适用范围？l 利用静电场的特性，研利用静电场的特性，研究新方法及其优越性究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论93面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用：l 电感（自感、互感）关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论941. 磁通与磁链磁通与磁链3.3.3 电感电感 C 回路回路l 磁通磁通CSSlASASBdddl 磁磁链链CI电流回路电流回路特征：回路可以是任意几何回路特征：回路可以是任意几何回路与所有电流回路铰链的总磁通与

50、所有电流回路铰链的总磁通特征：特征：l 回路是电流回路回路是电流回路l 计入电流存在的所有回路计入电流存在的所有回路l 每个回路是计入与之铰链的全每个回路是计入与之铰链的全部磁通部磁通 I第3章 电磁场理论电磁场理论95n: 为磁场铰链的电流与回路为磁场铰链的电流与回路电流电流I 之比之比（不一定为整数不一定为整数） n 单匝线圈单匝线圈 多匝线圈多匝线圈CI 细回路细回路 粗导线回路粗导线回路 iCI o粗回路粗回路l 磁磁链计算链计算oi o :外磁链；外磁链； i :内磁链内磁链第3章 电磁场理论电磁场理论96IL称为导体回路称为导体回路 C 的的自感系数自感系数，简称，简称自感自感。

51、外自感外自感ILiiILoo2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与的磁介质有关，与电流和磁链的大小电流和磁链的大小无关。无关。 自感的特点自感的特点：特征：磁链是特征：磁链是I自已产生的自已产生的 iCI o粗回粗回路路第3章 电磁场理论电磁场理论9721211111 (=)MMLI回路回路 C1 对对回路回路 C2 的的互感系数互感系数，简称，简称互感互感。21212IM 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对对回路回路 C1 的的互感互感为为C

52、1C2I1I2特征：特征： 在在C2中看由中看由I1产生的磁链产生的磁链特征：特征： 在在C1中看由中看由I2产生的磁链产生的磁链纽曼公式纽曼公式122112012dd4CCMMMllMR 112C C1 1 中总磁链中总磁链: :1 1总总 =1 1+ +1212221C C2 2 中总磁链中总磁链: :2 2总总 =2 2 + +2121思考：思考： 1 1总总 =？； 2 2总总 =？第3章 电磁场理论电磁场理论984. 纽曼公式的证明纽曼公式的证明111021d4)(CRlIrAC1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r纽曼公式纽曼公式22112dCAl所以：所以：2102112211d

53、d4CCllMIR 同理：同理：120211221dd4CCllMMR 12012dd4CCllMR 2210 1122112ddd4CCCIllAlR 而：而：故：故：第3章 电磁场理论电磁场理论99面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用！典型应用！关联的一般性物理问题：l 磁场能量l 电感的储能静态磁场静态磁场第3章 电磁场理论电磁场理论100 磁场能量的分布空间磁场能量的分布空间磁场具有能量的实验证据磁场具有能量的实验证据3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量cFIdlB 哪里有磁场，哪里就有磁场能量！哪里有磁场，哪里就有磁场能量！第3章 电磁场理论电磁场理论10

54、11. 通过磁场分布计算磁场能量通过磁场分布计算磁场能量磁场能量密度：磁场能量密度：磁场能量：磁场能量：积分区域积分区域V内的内的磁场能量磁场能量对于线性各向同性媒质，则有对于线性各向同性媒质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV第3章 电磁场理论电磁场理论102体分布电流时体分布电流时面分布电流时面分布电流时m1d2VWJ A V m1d2sSWJA S 回路线电流时回路线电流时md22CIIWAl 总2. 通过磁矢位计算磁场能量通过磁矢位计算磁场能量第3章 电磁场理论电磁场理论1033. 通过电感计算

55、磁场能量通过电感计算磁场能量电感储能（单个载流回路）电感储能（单个载流回路）：电感储能（电感储能（ N个载流回路）：个载流回路）：2m122IWI L总m11111221 2NNNjjjkjjjkNNjkjkjkWIII I M 总22m1 1221 21111222NNjkjkjkWI I ML IL IMI I例如对例如对2个载流回路个载流回路第3章 电磁场理论电磁场理论104面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用！典型应用！关联的一般性物理问题！关联的一般性物理问题！静态磁场！静态磁场！第3章 电磁场理论电磁场理论105 解解：先求长度为：先求长度为2L 的直线电流

56、的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221( )d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 3.3.2 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流的磁矢位的磁矢位 L 02( )ln2zILA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR第

57、3章 电磁场理论电磁场理论106 解解：先求：先求内导体内导体的内自感。设同轴的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I ，由安培环路定理，由安培环路定理0ii22,22IIHBaa处面元处面元的磁通为的磁通为0ii2ddd2IBSla(0)a 例例3.3.4 求同轴线单位长度的自感。求同轴线单位长度的自感。得得则其磁链为则其磁链为30ii4ddd2IIlIaabadIiB2222idaIaIIlHC第3章 电磁场理论电磁场理论107因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为300ii40dd28aIIlla0ii8LIl故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的再求内、

58、外导体间的外自感外自感。00ooddln22baIIblla00ioln82bLLLa02IB0ooddd2Il则则o0oln2bLIla故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为第3章 电磁场理论电磁场理论108 例例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。（计算平行双线传输线单位长度的自感。（D a ）00o11d()dln2DaaIIDaBSlxlxDxa011( )()2yIB xexDx外磁链为，外磁链为， 解解 应用安培环路定理和叠加原理应用安培环路定理和叠加原理 可得，可得，xyzxDaPII于是单位长度的外自感为，于是单位长度的外自感为，

59、o00olnlnDaDLIaa第3章 电磁场理论电磁场理论10900ioln4DLLLa00i284L 两根导线单位长度的内自感为两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为第3章 电磁场理论电磁场理论110 例例3.3.8 试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。 解解：由安培环路定理，得：由安培环路定理，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc第3章 电磁场理论电磁场理论11122220m322() () 2 d22cbIcWcb 三个区域单位长度内的磁场能量分别为三

60、个区域单位长度内的磁场能量分别为2200m120() 2 d2216aIIWa 2200m2() 2dln224baIIbWa 24220222223ln4()4()Icccbcbbcb第3章 电磁场理论电磁场理论112单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为mm1m2m3222422000222223lnln1644()4()WWWWIIIbcccbacbbcb单位长度的总自感单位长度的总自感422000m22222223lnln822()4()WbcccbLIacbbcb内导体的内自感内导体的内自感内外导体间的外自感内外导体间的外自感外导体的内自感外导体的内自感第3章 电磁场理论电