高等数学上册课件：5-3 原函数和微积分学基本定理

1、二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 一、原函数一、原函数 第三节原函数和微积分学基本定理 第五五章 科学出版社一、原函数一、原函数定义定义 1 . 满足Ff 在区间 I 上的一个原函数 .则称 F 为f 问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 有多少个原函数,它们之间有何关系？若在区间 I 上定义的两个函数 F 及 f 科学出版社,Ff若是的一个原函数1) F + C 也是 f 的一个原函数，其中C为任意常数.证证:F Cf 是 的原函数()FC Ff2)Ff若 和是F0ff根据拉格朗日中值定

2、理的推论，知FC()C是某个常数的任意两原函数, 则则定理定理 1.2) f 的任意两个原函数只相差一个常数.1)F科学出版社 , ,fa b在( )dxaf tt有时也称设上可积，则当 x 在a, b上变动时, 定义了一个积分上限 x 的函数：( )( )d , , xaxf ttxa b为变动上限积分.类似可定义积分下限函数：( )d , , xaf ttxa b( )d , , bxf ttxa b二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数)(xx)(xfy xbayO科学出版社 , ,fC a b则变上限函数( )( )dxaxf tt证证:, , ,x xxa b 则有()

3、( )xxxx1x( )d( )dxxxaaf ttf tt1( )dxxxf ttx( )f()xxx0()( )limxxxxx0lim( )xf( )f x( ) x 定理定理2. , fC a b在a, b上可导, 且d( )( )d( )dxaxf ttf xx若 (称为微积分学基本定理之一)科学出版社注注:1) 定理 2 指出连续函数的原函数是存在的.2) 其它变限积分求导：bxttfxd)(dd)(xf( )d( )ddxaf ttx ( )( )fxx并且其积分上限函数就是它的一个原函数.( )( )d( )ddxxf ttx= ( )( )fxx( )( )d=( )d( )

4、ddaxxaf ttf ttx ( )( )fxx科学出版社21) ln d ;bxtt t2e2) ( )dxxaf tt解：解：2d1) ln ddbxtt tx2ed( )ddxxaf ttx2e2) ( )dxxaf tt由( )duayf tt2exux与复合而成.2lnxx ( )(2e )xf ux例例1. 2(e )(2e )xxf xx2dln ddxbtt txd( )dduaf ttu2d(e )dxxx求下列积分上限和积分下限函数的导数：科学出版社cos ln(1 sin )xx例例2. 0sin20ln(1)dlimxxttx解解: 原式0limx00 x200sin

5、lim( cos )limxxxxx例例3. 确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c0.b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故1.a 又由221cos1xx, 得12.c 洛洛洛洛1( 1)2 12 求科学出版社 ttf txfxd)()(0例例4. ,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxtt

6、fxfxd)()(0()xt0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)( xF 20d)(ttfx() ( )xfx )(xf)0(x科学出版社三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )( ) , F xf xa b设是可积函数在上的一个原( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证证: 根据微分中值定理，1111( )( )( )()( )(),nniiiiiiiF bF aF xF xfxx,n令由 f 可积得( )( )( )dbaF bF af xx( )d( )( )baf x x F bF a右式记作( )baF x定理定理3.函数 , 则()/ ,ixa i b an 令1(, )iiixx( )( )( )dbaF bF af xx证毕注：科学出版社牛顿莱布尼兹公式表明，间a. b上的定积分, 只要求出 f (x) 在区间a. b上的一个原函数 F (x)，并计算它由端点 a 到端点 b 的改变量 F (b) - F (a) 即可，要求