复变函数2-3初等函数

1、1回顾回顾导数、微分、解析函数导数、微分、解析函数基本概念：基本概念：基本关系：基本关系：可导与连续、可导与连续、可导与可微、可导与可微、可导与解析可导与解析重要定理：重要定理：函数在一点可导与在区域内解析的充要条件函数在一点可导与在区域内解析的充要条件. , ),( ),( : ),(),()( 满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程并并且且内内可可微微在在与与解解析析的的充充要要条条件件是是内内在在其其定定义义域域函函数数定定理理二二DyxvyxuDyxivyxuzf xvyuyvxu , .)(yvyuiyuiyvxvixuzf 12P34 T32续续。在在原原点点与与负负实实轴轴上上不不连连

2、试试证证zarg处无意义，故不连续。处无意义，故不连续。在在0arg zz证明：证明：时，时，当当000 xz zyxxarglim00 zyxxarglim00在在负负实实轴轴上上也也不不连连续续。所所以以zarg3第三节第三节 初等函数初等函数一、指数函数一、指数函数二、对数函数二、对数函数三、乘幂三、乘幂 a ab b 与幂函数与幂函数四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数重点把握以下几点重点把握以下几点1、初等函数定义、初等函数定义2、初等函数的性质、初等函数的性质3、与实变函数的区别、与实变函数的区别4一、指数函数一、指数函数

3、实变：实变：xexe )(1.1.指数函数的定义指数函数的定义: : )( 个个条条件件在在复复平平面面内内满满足足以以下下三三当当函函数数zf;)( (1)在在复复平平面面内内处处处处解解析析zf).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其中其中时时当当);()( (2)zfzf 的的指指数数函函数数此此函函数数称称为为复复变变数数 z处处可导处处可导5)sin(cos)(yiyezfx )sin(cosexpyiyezx )(,2)(expArg,|exp|为任何整数为任何整数其中其中kkyzezx 指数函数指数函数(exponential记作记作:function)注：注：

4、0exp )1( z)exp(zexpexp )2(2121zzz 加加法法定定理理仍仍然然成成立立：ze exp )3(。的的符符号号，没没有有幂幂的的意意义义仅仅是是代代替替zez6 , exp 为为周周期期函函数数指指数数函函数数z。周期是周期是ik 2.)2sin2(cos 22zzikzikzekikeeee 例例1 zieiyxz2)1( , 求求设设解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 xzee 所所以以其其模模zie2 )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 重要性质：重要性质：7例例2 求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值: :解解

5、 )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为整数为整数kkyez .,(- arg 内内的的一一个个辐辐角角为为区区间间其其辐辐角角主主值值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie ,24Arg43 kei;)2(43ie ;24arg43 ie;)2(43ie ie 2)1(8二、对数函数二、对数函数|;|lnlnzru 1. 1. 定义定义zwzfwzzewLn , )( )0( 记记为为称称为为对对数数函函数数的的函函数数满满足足方方程程令令 irezivuw , iuwrevivee )sin(cos即即zizzwArglnLn kvr

6、eu2, 所以所以Argzv 对数函数是一个多值函数呦对数函数是一个多值函数呦! !9 Ln 的主值的主值zzizzarglnln 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的的一一个个分分支支称称为为上上式式确确定定一一个个单单值值函函数数对对于于每每一一个个固固定定的的zk特殊地特殊地, , .,lnln Ln , 0 是是实实变变数数对对数数函函数数的的主主值值时时当当xzzxz ), 2, 1, 0(2lnLn kxikxx 此时此时10例例 解解 . )1(Ln , 2Ln 以以及及与与它它们们相相应应的的主主值值求求 ,22ln2Ln ik 因为因

7、为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以 注意注意: : 在实变函数中在实变函数中, , 负数无对数负数无对数, , 而复变数而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广对数函数是实变数对数函数的拓广. .（1）（2）或者或者ii )1arg(1ln)1ln(11例例解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k122. 2. 对数函数的性质对数函数的性质,LnLn)(

8、Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz （3）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分支处处连续，处处可导且各分支处处连续，处处可导且.1)Ln(,1)(lnzzzz Lnz.n1zLn,nLnzLnznn 但是但是.arglnlnzizz , ln arg是是单单值值的的的的反反函函数数内内在在区区域域zwzezw wezzwdd1dlnd .1z LnzLnzzzLnLnz )(2 Lnz213三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数ba1. 1. 乘幂的定义乘幂的定义 , , , Lnabbeaba定定义义

9、为为乘乘幂幂复复数数为为任任意意一一个个为为不不等等于于零零的的一一个个复复数数设设 . Lnabbea 即即abbealn （实数的幂（实数的幂）注意注意: :)2(arglnLn 1)( kaiababbeea 故故ba一般是无穷多值的一般是无穷多值的 , )2(为为整整数数时时当当b Lnabbea ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具具有有单单一一的的值值ba14 ,0) ,( )3(时时为为互互质质的的整整数数与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有qab

10、.)1( , 2 , 1 , 0 时时相相应应的的值值即即取取 qk)2arg(ln kaiaqpbea 15; , bzwza 就就得得到到一一般般的的幂幂函函数数为为一一复复变变数数如如果果2、幂函数定义、幂函数定义两种特殊情况的讨论：两种特殊情况的讨论： ,)( )1时时正整数正整数当当nb )2(arg|ln| kzizne Lnznnez . zzz iznzne)arg(|ln| )argsin()argcos(| zniznzn )argsinarg(cos|)argsinarg(cos| zizzzizz ,)( 1 )2时时分数分数当当nb z nLn11 znnezzzzz

11、n单值解析函数单值解析函数16例例5 5 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ke22 )2(arglnLn kaiababbeea ., 2, 1, 0 k其中其中 ikiie22 173. 3. 幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在在复复平平面面内内是是单单值值解解析析幂幂函函数数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个个分分支支具具有有是是多多值值函函数数幂幂函函数数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。各个分支在除去原点和负实轴的复平面

12、内是解析的。 nnzz1 zneLn1.111 nznLnznnez11 它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的, , ,) 1 ( (3)也也是是一一个个多多值值函函数数两两种种情情况况外外与与除除去去幂幂函函数数nnbzwb ., 是是无无穷穷多多值值的的为为无无理理数数或或复复数数时时当当b.)(1 bbbzz18四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1. 1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, , 得得,2cosiyiyee

13、y .2sinieeyiyiy ,2cosizizeez .2sinieeziziz 有关性质：有关性质：zizeizsincos 欧拉公式的推广欧拉公式的推广.cos , sin 是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数zz.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz (1) (2)(3)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz (4)19有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(222

14、12121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix(5)不再成立。不再成立。1|cos| , 1|sin| zz yyychyeeyi|cos|2 |2|sin|ishyieeyiyy .cossin)sin(,sincos)cos() 3(xshyixchyyixxshyixchyyix202. 2. 双曲函数的定义双曲函数的定义,2 zzeechz 双双曲曲余余弦弦函函数数为为,2sh zzeez 双双曲曲正正弦弦函函数数为为. zzzzeeeethz 双双曲曲正正切切函函数

15、数为为(偶函数偶函数)(奇函数奇函数)(周期周期 )i 2(奇函数奇函数),)(chzshz .)(shzchz 解析函数解析函数易得易得:,cosychyi .sinyishyi 21五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1. 1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记记作作的的反反余余弦弦函函数数为为那那么么称称设设,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得,1 2 zzeiw方程的根为方程的根为两端取对数得两端取对数得).1Ln(cosArc2 zziz012,2 zttetiw令令1)(22 zzt即即)

16、,1Ln(Arcsin2ziziz .11Ln2Arctaniziziz 22六、小结六、小结 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质, 又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性. 如如: 1. 指数函数具有周期性指数函数具有周期性) 2 (i周期为周期为2. 负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数23作业作业(2) 12题（题（3） 15题题18题题 23题题（1）认真阅读第二章课后小结）认真阅读第二章课后小结下次课：第三章一、二节下次课：第三章一、二节24作业作业(2) 12题（题（3） 15题题18题题 23题题（1）认真阅读第二章课后小结）认真阅读第二章课后小结下次课：第三章一、二节下次课：第三章一、二节25作业作业(2)