空间向量数量积及坐标运算

1、31.3两个向量的数量积两个向量的数量积 1、空间向量的夹角空间向量的夹角 (1)定义及记法定义及记法 已知两个已知两个 a，b，在空间中任取一点，在空间中任取一点O，作，作 a， b，则，则 叫做向量叫做向量a与与b的夹角，记的夹角，记作作 (2)范围和性质范围和性质 范围：范围： a，b 性质：性质：a，b b，a 如果如果a，b ，则称，则称a与与b互相垂直，记作互相垂直，记作 非零向量非零向量AOBa，b090abOA OB （3）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为夹角为0，反向共线时，夹角为，反向共线时，夹角为.

2、2异面直线的定义异面直线的定义 的两条直线叫做异面直线的两条直线叫做异面直线 3两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角 把异面直线把异面直线 ，这时两条直线的夹，这时两条直线的夹角角( )叫做两条异面直线所成的角如果所叫做两条异面直线所成的角如果所成的角是直角，则称两条异面直线成的角是直角，则称两条异面直线 .不同在任何一平面内不同在任何一平面内平移到一个平面内平移到一个平面内锐角或直角锐角或直角互相垂直互相垂直4异面直线夹角的范围是异面直线夹角的范围是(0， 2 1空间两个向量的数量积空间两个向量的数量积 已知空间两个向量已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积，把平面向量的数量积 叫做

3、两个空间向量叫做两个空间向量a，b的数量积的数量积(或内积或内积) 2两个空间向量的数量积的性质两个空间向量的数量积的性质 (1)ae (2)ab (3)|a|2 (4)|ab| 正射影数量？正射影数量？ab|a|b|cosa，b|a|cosa，eab0aa|a|b|3两个向量的数量积是实数，它可正、可负、可为零两个向量的数量积是实数，它可正、可负、可为零4两个空间向量的数量积的运算律两个空间向量的数量积的运算律(1)(a)b (2)ab (3)(ab)c (ab)baacbc31.4空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算 1单位正交基底与坐标向量单位正交基底与坐标向量 建立空间直角坐标

4、系建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿，分别沿x轴，轴，y轴，轴，z轴的轴的正方向引单位向量正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底成空间向量的一个基底 ，这个基底叫做，这个基底叫做 单位向量单位向量i，j，k都叫做都叫做 i，j，k单位正单位正交基底交基底坐标向量坐标向量2空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算(1)设设a(a1，a2，a3)b(b1，b2，b3)向量坐标运算法则向量坐标运算法则ab ab a ab (2)设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则，则也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表

5、也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的示这个向量的有向线段的 (a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3(x2x1，y2y1，z2z1)终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标 abab0a1b1a2b2a3b30练习：练习：设设a(1，5，1)，b(2，3，5) (1)若若(kab)(a3b)，求，求k； (2)若若(kab)(a3b)，求，求k. 思路点拨思路点拨先建立空间直角坐标系，写出各向量先建立空间直角坐标系，写出各向量的坐标，再利用向量方法进行求解的坐标，再利用向量方法进行求解3已知已知a，b是异面直