2022年常微分方程发展简史

1、精品资料欢迎下载第三讲 常微分方程进展简史 解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19 世纪19 世纪为常微分方程进展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由cauchy 开创的 . 在 cauchy 之后,重点转向大范畴的争论；级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解 , 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是 17、18 世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象 , 特殊是在弦振动的争论中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分别法解偏微分方程的努力导致求解常微

2、分方程的问题. 此外 , 由于偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是生疏的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分别变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分担忧解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法 . 应用分别变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是bessel 方程 .其中参数 n 和 x 都可以是复的 .x2 yxy x2n 2 y0对 bessel 来说 , n 和 x 都是实的 . 此方程的特殊情形早在 1703 年 bernoulli jacobi 给leibnitz 的信中就已提到 , 后来 bernoulli d

3、aniel 、euler、fourier、poisson 等都争论过此问题 . 对此方程的解的最早的系统争论是由 bessel 在争论行星运动时作出的 . 对每个 n , 此方程存在两个独立的基本解 , 记作j n x 和 yn x , 分别称为第一类bessel 函数和其次类 bessel 函2数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. bessel 自 1816 年开头争论此方程, 第一给出了积分关系式jn xqcosnuxsinudu. 201818 年 bessel 证明白jn x 有无穷多个零点 . 1824 年, bessel对整数 n 给出了递推关系式xjn1 x2

4、 njn xxjn1 x0和其他的关于第一类bessel 函数的关系式 .后来又有众多的数学家（争论天体力学的数学家）独立地得到了bessel 函数及其表达式和关系式 . bessel 为微分方程解析理论作出了庞大奉献；解析理论中另一重要内容是legendre 方程的级数解和legendre 多项式方面的结果 . 1784年, legendre 争论了 legendre 方程 1x2 y2 xyy0 , 给出了幂级数形式的解 , 得到了 legendre 多项式 . 与此同时 , hermitec 争论了方程 y2xyy0 , 得到了其幂级数解 , 当为 非 负 偶 数 时 即 为 著 名 的

5、hermite多 项 式 .tchebyshevy在 研 究 方 程1x2 yxyp2 y0 的解时 , 得到了 tchebyshevy 多项式 .1821 年, gauss 争论了 gauss几何方程x1x y1 yy0 .这个方程及其级数解f , x1x11 x2112 1早已为人们所熟知了，由于它已由 euler 争论过 . 此级数称为超几何级数 , 包含了几乎全部的当时已知的初等函数和很多像 bessel 函数、球函数那样的超越函数 . 除了证明此级数的一些性质外， gauss 仍建立了闻名的关系式f ,1.gauss仍建立了此级数的收敛性；记号f , x 应归源于 gauss.这一时

6、期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作仍有很多, 这里不一一介绍 .奇点理论、自守函数19 世纪中期，常微分方程的争论走上了一个新的历程；存在性定理和sturm-liouville 理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数；另一方面， 某些已经考虑过的微分方程，如bessel 方程、 legendre 方程、 gauss超几何方程，假如表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1 时，它们的系数具有奇特性，在奇特点的邻域内级数解的形式是特殊的，所以数学家们便转而争论奇点邻域内的解， 也就是一个或多个系数在其上奇特的那种点的邻域内的解；对于

7、这个问题，gauss 关于超几何级数的工作指明白道路；先导者是riemann 和 fuchs（ weierstrass的同学和他在柏林的继承者）；此理论被称为线性常微分方程的riemann-fuchs l 奇点理论，这是 19 世纪常微分方程 解析理 论中一 个特别重 要的成 果；奇 点邻域内 的解的 争论是由briot1866年 和1bounque1856 年起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的留意力集中于形为y np z y n 1pn z y0的线性常微分方程，其中pi z 除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数；此方程之所以受到重视，是由于它

8、的解包括全部初等函数甚至某些高等函数；这方面的重要工作仍有 briot a a 和 bouquet j 的由常微分方程动身建立的椭圆函数 （特殊的自守函数）的一般理论、 fuchs 和 poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论 , 最终是1882 年至 1884 年 poincare j 的工作和 klein f 在 1884 年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰 . 这样 , 微分方程和自守函数建立了亲密的联系 .当自守函数理论仍正处在创立的阶段时， 天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的爱好；此方程源于闻名的 n 体问题； n 体问题可以用一句话写出来：在三维

9、空间中给定 n 个质点，假如在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动；最简洁的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动；在浩渺的宇宙中， 星球的大小可以忽视不及，所以我们可以把它们看成质点；假如不计太阳系其他星球的影响， 那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题；我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念；所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解；1877 年 hill george william （美国数学家）私人出版了关于月球近地点运动的一篇具有杰出创见性的论

10、文； 1878 年，他在 ajm 上又发表了一篇关于月球运动的论文，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论；hill的一个基本思想是对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观看到的运动的周期解；于是他对这个周期解变差写出方程，便得到了一个带有周期系数的四阶线性常微分方程组；知道了某些积分后， 他将此四阶方程组化简为单独一个二阶线性微分方程d 2 xdt 2t x0,其中 t 为周期的偶函数； hill 证明白此二阶方程存在周期解，因而证明白月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的争论；在他的证明中，第一将t 绽开为 fourier 级数，然后用待定系数法确定级数解；他的方法用到了无

11、穷行列式和无穷线性方程组，证明不够严格，他的工作始终受人嘲笑；1885-1886 年， poincare 证明白 hill 的证明手法的收敛性；poincare 对 hill的成就的留意和完善，使 hill 和有关课题闻名了；poincare 参加了 hill 方程的争论，在 hill 的工作的刺激下， poincare 为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳固性的微分方程的周期解的争论开创了一条新的途径， 开创了常微分方程定性争论的新时代；4、常微分方程定性理论阶段： 19 世纪末期和 20 世纪初期从时间上看 , 19 世纪末期和20 世纪初期是常微分方程进展的第三个阶段. 这个阶段常微分方程

12、在三个方面有重大进展, 都与 poincare 的工作相联系；一是微分方程的解析理论, 前面已作论述；二是poincare 的定性理论；三是liapunov 的稳固性理论 .poincare的定性理论在代数学中， 五次代数方程没有一般的根式求解公式这一事实并不防碍sturm 创立用代数方法打算实根个数的新成就；类似地，在非线性方程一般不能求 初等解 " 的事实下， poincare 独立开创了常微分方程实域定性理论这一新分支；1881-1886 年, poincare 同一标题下连续发表了四篇论文,开创了常微分方程实域定性理论. 他只求通过考察微分方程本身就可以回答的关于稳固性等问题

13、的方法, 为微分方程定性理论奠定了坚实的基础.1892 年至 1898 年间 , poincare 刻画了天体力学系统运动的特点, 并引导到微分方程定性精品资料欢迎下载理论的创立 . 他发觉微分方程的奇点起着关键作用.他把奇点分为鞍点、结点、焦点和中心四类,争论明白在各种奇点邻近的性态. poincare将他的论文定名为 论微分方程所定义的积分曲线是突出了他所争论的主题和应用的方法； 这一新分支的内容包括奇点邻近积分曲线的分布、极限环（即孤立周期解）、奇点的大范畴分布、环面上的积分曲线、以及三维空间周期解邻近积分曲线的情形等等；poincare 关于常微分方程定性理论的一系列课题, 成为动力系

14、统理论的开端.poincare 的定性理论在争论思想上胜利突破了常微分方程定量求解的束缚 , 其创新之处表达在以下几个方面： 由复域的争论又转到实域的争论， 由定量争论转向定性争论， 由分析方法转为分析和几何方法的有机结合， 由函数作为对象的争论转到曲线作为对象的争论， 由个别解的争论转到解的集体的争论， 由解的解析性质的争论转到解所定义的积分曲线的几何拓扑性质的定性争论，由应用等式转到应用不等式，由局部争论转向全局争论；常微分方程定性理论另一位主要创始人是挪威数学家 bendixson, 从 1900 年起， 他开头从事 poincare 所开创的微分方程轨线的拓扑性质的争论工作 , 190

15、1 年发表了闻名论文 由微分方程定义的曲线 ；1926 年至 1927 年 birkhoff g 以三体问题为背景继承和进展了 poincare 的工作 , 创立了动力系统理论 . 到了 20 世纪 30 岁月 , 由于新的物理、力学以及工程技术和自动掌握等问题的推动 , 使微分方程定性理论中的概念、问题和方法又在新的条件下得到进展 .1937 年, andronov a 和 pontryagin l 提出了结构稳固性概念, 并严格证明白其充要条件,使动力系统的争论向大范畴进展 .由于天体力学， 特殊是 "三体问题 " 的需要， 庞加莱总结了天文学家a. 林斯泰特等人的方法

16、，系统地整理在天体力学的新方法一书中，并加以进展成为摄动理论或小参数理论；liapunov 的稳固性理论稳固性理论是微分方程理论的重要组成部分, 争论方程的解当时间趋于无穷时解的性态. 该理论在自然科学、工程技术、社会经济等方面有着广泛的应用；众所周知 , 任何一个实际系统总是经受着各种各样的干扰. 对于某些系统，微小干扰的影响并不显著，而对另外一些系统，微小干扰对系统的影响可能很显著. 承担干扰之后 , 第一要考虑的性能就是系统能否稳妥地保持预定的运动或工作状态, 这就是稳固性 . 严格地说 , 数学模型仅是实际系统的近似刻画, 这主要是由于在建立数学模型过程中, 不得不忽视某些次要因素 ,

17、 或者存在测量误差或运算的舍入误差等. 近似的数学模型能否照实地反映客观实际的动态 , 在某种意义上说 , 也是一个稳固性问题 .稳固性的概念 , 最早源于力学 . 一个力学系统具有某种平稳状态 , 在微小干扰的作用下 , 这种平稳状态能否保持 , 这就是稳固性的雏形 . 在静力学方面 , 早在 17 世纪 , torricelli e 就给出了 torricelli 原理 : 如物体仅受重力作用 , 就当其重心位置最低时 , 其平稳是稳固的 , 当重心位置最高时 , 其平稳是不稳固的; 后来 , laplacep 证明白太阳系的稳固性,建立了微分方程模型并提出了laplace 方程 ; 17

18、88 年, lagrange l 也证明白太阳系的稳固性,建立了力学系统孤立平稳的稳固性定理: 当作用于系统的力函数在这一平稳位置有极大值时, 平稳是稳定的 dirichlet j第一个给出了证明, 奠定了近代力学的基础; 1868 年, maxwell j关于离心调速系统的争论以及thomson w 和 tait p 也采纳过稳固性的概念, 但都没有给出稳固性的精确的数学定义 ; 1877 年, routh e 给出了某些循环运动稳固性的判别法; 1895 年, hurwitz a也提出了现在的routh-hurwitz判别法 , 但这些工作都有肯定的局限性, 没有在理论上解决一般稳固性问题

19、 . 至于对某些详细问题所建立的非线性微分方程组稳固性的争论, d'alambert,lagrange, maxwell,minkowski,ctodola 等都曾应用一次近似的线性方程组来代替非线性微分方程组争论稳固性 , 但未能从数学上证明这种代替的合理性. 稳固性的一般理论迟迟未建立起来 .1892 年, lyapunov a 在其博士学位论文运动稳固性的一般问题中将 poincare 关于在奇点邻近积分曲线随时间变化的定性争论进展至高维一般情形而形成特地的“运动稳固性 ”分支. poincare 在平面上引入的 “无切线段 ”的概念被liapunov 推广成高维空间中的 “li

20、apunov函数 ”的概念； liapunov第一次给出了运动稳固性的精确的数学定义, 建立了运动稳固性的一般理论 . 给出了判定运动稳固性的普遍的数学方法与理论基础.1892 年, liapunov 在其博士学位论文中提出了争论稳固性的两类方法. 第一类方法是归结为把一般解表示成某种级数的形式, 称为 liapunov第一方法 ; 其次类方法是归结为查找具有某种特性的帮助函数v t , x , 称之为 liapunov 其次方法或直接法.liapunov第一方法在理论上是比较完整的, 但一般推理较长, 条件也较多 , 它要确定解的幂级数 , 判定它的收敛性 , 确定一次近似系统的liapun

21、ov 示性数的符号与性质等, 但把解表示成级数以及检验级数的收敛性却并非易事, 因此 , 这一方法在有用上有很大的局限性, “第一方法 ”在 20 世纪 60 岁月末以前仍有一些进展. liapunov 其次方法或直接法虽然减轻了求解的负担 , 但构造函数v t , x 却没有一个普遍的方法可循, 从而引起了一系列需要解决的理论和技术困难 , 如 v t, x 的存在性和构造方法等 . 近年来 , liapunov 其次方法得到了长足的进展 , 成为争论稳固性的基本方法 .争论非线性 odes 系统的稳固性 , 主要采纳 liapunov 直接法 , liapunov 直接法是整个稳固性理论的核心 , 其基本思想是引入一个称为 liapunov 函数的帮助函数 , 这一方法的优点在于防止特别困难的方程求解 .1892 年, liapunov 以 liapunov 函数为基础第一提出了稳固、一样稳固、渐近稳固和不稳固的四个定理 称为 liapunov 基本定理 , 这四个基本定理奠定了运动稳固性理论的基础 .自此以后 , 很多学者对 liapunov 直接法的基本理论进行了深化而广泛的争论 .5、20 世纪中期以后20 世纪中期起，常微分方程的进展既深又广，进入了一个新的阶段，包括了四个方面的工作；第一是由