随机变量及其分布

1、随机变量及其分布随机变量及其分布 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份哈尔滨的最高温度；七月份哈尔滨的最高温度；每天从哈尔滨下火车的人数；每天从哈尔滨下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但

2、我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 例如：掷一个质地均匀的硬币，用例如：掷一个质地均匀的硬币，用X表示试验结果表示试验结果，当反面出现，当反面出现，当正面出现，当正面出现01X任意事件任意事件A都可由随机变量都可由随机变量X表示，如表示，如 不出现不出现若若出现出现，若，若A0A1，X这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数实值函数.e.X(e)sR这种实值函数与在高等数学中大家接触到这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？的函数一样吗？（1

3、）它随试验结果的不同而取不同的值，）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在称这种定义在样本空间样本空间上的上的实值函数实值函数为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v. 随机变量定义：随机变量定义：设设E是随机试验，它的样本是随机试验，它的样本空间是空间是S，如果对，

4、如果对S中的每个基本事件中的每个基本事件e，都有唯，都有唯一的实数值一的实数值X（e）与之对应，则称与之对应，则称X（e）为随为随机变量，简记为机变量，简记为X。特点：特点：1随机变量随机变量X是基本事件是基本事件e的函数，的函数，其定其定义域为义域为S，值域为某个实数集合。，值域为某个实数集合。 2随机变量随机变量X取某个值或某些值表示事取某个值或某些值表示事 件。件。 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 有了随机变量有了随机变量,随机试验中

5、的各种事件，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来就可以通过随机变量的关系式表达出来. 二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用叫次数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 可见，随机事件这个概念实际上是包可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内容在随机变量这个更广的概念内. 也可以也可以说，说，随机事件是从静态的观点来研究随机随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则

6、是一种动态的观点，现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样就象数学分析中常量与变量的区别那样. 随机变量概念的产生是概率论发展随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件史上的重大事件. 引入随机变量后，对引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律三、随机变量的分类三、随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”，

7、“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实，实际中常遇到的际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间. 分析分析例例1 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元. 报馆每天给报童报馆每天给报童1000份报，并规定份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回他不得把卖不出的报纸退回. 设设X为报童每为

8、报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X60即即 PX20注意到注意到 也就是说，加油站因代营业务得到的收也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.PX20=PX=30+PX=40=0.6X 10 20 30 40P0.15 0.25 0.45 0.15二二. 下面介绍几种常见的分布列。下面介绍几种常见的分布列。（一）（一）. 01分布分布 （伯努利（伯努利Bernoulli分布，两点分布）分布，两点分布）若随机变量若随机变量

9、X只可能取只可能取0和和1两个值，其分布列为：两个值，其分布列为：1011,)()(kppkXPkk0p1.或或X 0 1 P 1 p p 则称则称X服从服从01分布（或伯努利分布（或伯努利Bernoulli分布或两点分布），记为分布或两点分布），记为XB（1，p）.例例5. 有有100件产品件产品,其中有其中有95件正品件正品,5件次品件次品,从从 中任取一件产品中任取一件产品, 定义定义: 抽抽到到次次品品抽抽到到正正品品,01X求求X的分布列的分布列.X 0 1 P 0.05 0.95 解解:（二）、二项分布（二）、二项分布若随机变量若随机变量X的分布列为：的分布列为： ,)(knkkn

10、qpCkXP k=0,1,2,n, 0p1, q=1p,则称则称X服从参数为服从参数为n, p的二项分布，的二项分布， 记为记为XB（n, p） 特例：特例：n=1时时 10111,)(kqpqpCkXPkkkkk即为即为01分布。分布。 在在n重重Bernoulli试验中，设成功发生的次数试验中，设成功发生的次数为为X，则，则X B（n, p）.性质：性质： ,)(0knkknqpCkXP1. k=0,1,2,n。2 . 100nnkknkknnkqpqpCkXP)()( 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时 ,概率概率P(X=k) 先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到

11、最大值, 随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点： XB(n,p)当当(n+1)p不为整数时，二项概不为整数时，二项概率率P(X=k)在在k=(n+1)p达到最达到最大值；大值；( x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数). . .n=10,p=0.7nPk0 对于固定对于固定n及及p，当，当k增增加时加时 ,概率概率P(X=k) 先是随先是随之增加直至之增加直至 达到最大值达到最大值, 随后单调减少随后单调减少.二项分布的图形特点：二项分布的图形特点： XB(n,p)当当(n+1)p为整数时，二项概率为整数时，二项概率P(X=k)在在k=(n +1)p和

12、和k =(n+1)p-1处处达到最大达到最大值值.课下请自行证明上述结论课下请自行证明上述结论.n=13,p=0.5Pkn.0例例6. 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次，次，令令X 表示表示3 3次中出现次中出现“4”4”点的次数点的次数3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkkX的概率分布列是：的概率分布列是：不难求得，不难求得，007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP例例7. 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地取地取3次，每次任取次，每次任取1个，求在所取的个，求在所取的3个中恰有个中恰有2

13、个次品的概率个次品的概率.因为这是有放回地取因为这是有放回地取3次，因此这次，因此这3 次试验次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设设X为所取的为所取的3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为：则则 X B (3,0.05)，解解:注：若注：若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为”无放无放回回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解努里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与贝努里概

14、型不同，有何区别？古典概型与贝努里概型不同，有何区别？00618. 0) 2(310025195CCCXP请思考：请思考： 贝努里概型对试验结果没有等可能的贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ， A 且且P(A)=p ， ； pAP1)(（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立. .可以简单地说，可以简单地说，例例8. 某类灯泡使用时数

15、在某类灯泡使用时数在1000小时以上小时以上的概率是的概率是0.2，求三个灯泡在使用，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率小时以后最多只有一个坏了的概率. .设设X为三个灯泡在使用为三个灯泡在使用1000小时已小时已坏的灯坏的灯泡数泡数 . X B (3, 0.8)，把观察一个灯泡的使用把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验时数看作一次试验,“使用到使用到1000小时已坏小时已坏”视为视为“成功成功”.每次试验每次试验,“成功成功”的概率为的概率为0.8 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2 . 0()8 . 0(

16、)(33kkkCkXP3 , 2 , 1 , 0k解解:例例9. 为保证设备正常工作，需要配备适量为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员的维修人员 . 设共有设共有300台设备，每台的工台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若若在通常的情况下，一台设备的故障可由一在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：我们先对题目进行分析： 300台设备，独立工作，出

17、故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01. 一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01 . 可看作可看作n=300的贝努里概型的贝努里概型.XB(n,p)，n=300, p=0.01可见，可见， 300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 .

18、一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300, p=0.01设需配备设需配备N个维修人员，个维修人员，所求的是满足所求的是满足的最小的的最小的N.P(XN) N) N) kkNkkC3003001300)99. 0()01. 0(30013!3Nkkken大大,p小小,np=3,用用 =np=3的泊松近似的泊松近似下面给出正式求解过程：下面给出正式求

19、解过程：13!3Nkkke解解:即至少需配备即至少需配备8个维修人员个维修人员.查书末的泊松分布表得查书末的泊松分布表得N+1 9,即即N 8我们求满足我们求满足1301.0!3Nkkke的最小的的最小的N.,0038. 0!393kkke,012. 0!383kkke（三）、泊松分布（三）、泊松分布（Possion分布）的定义分布）的定义 及图形特点及图形特点若随机变量若随机变量X的分布列为：的分布列为： ,!)( ekkXPk 0（常数），（常数），k =0,1,2,， 则称则称X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布， 记为记为XP（）。）。性质：性质： 1. P（X=k）0, k=

20、0,1,2,， 1000 eekeekkXPkkkkk!)(2. 泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特点： XP( ) 历史上，泊松分布是作为二项分布的近历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于似，于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，近数十年来，泊松分布泊松分布日益显示日益显示其其重要性重要性,成为概率论中最重要的几成为概率论中最重要的几个分布之一个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布似服从泊松分布.二项分布与泊松分布二项分布与泊松分布 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中重贝努里试验中稀有事件稀有事

21、件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布. 我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等 在自然界和人们的现实生活中在自然界和人们的现实生活中, ,经常要遇经常要遇到在随机时刻出现的某种事件到在随机时刻出现的某种事件. .我们把在随机我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列时刻相继出现的事件所形成的序列, ,叫做随机叫做随机事件流事件流. . 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流

22、（则称该事件流为泊松事件流（泊松流泊松流）. . 泊松分布产生的一般条件泊松分布产生的一般条件下面简要解释下面简要解释平稳性、无后效性、普通性平稳性、无后效性、普通性. .平稳性平稳性: : 在任意时间区间内，事件发生在任意时间区间内，事件发生k次次(k0)的的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性无后效性: :普通性普通性: : 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的互独立的. 如果时间区间充分小，事件出现两次或如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计两次以上的概率可忽略不计.都可以看作泊

23、松流都可以看作泊松流.某电话交换台收到的电话呼叫数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数一台纺纱机的断头数; 一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子数；粒子数；例如例如 对泊松流，对泊松流，在任意时间间隔在任意时间间隔(0,t)内内,事件事件(如交通事故如交通事故)出现的次数服从参数为出现的次数服从参数为 t 的的泊松分布泊松分布 . 称为泊松流的强度称为泊松流的强度.例例13. 13. 一家商店采用科学管理，由该商店过一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数去

24、的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进至少应进某种商品多少件？某种商品多少件？解解: :设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,已知已知X服从参数服从参数=5的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进设商店在月底应进某种商品某种商品m件件, ,求满足求满足 P(Xm)0.95的最小的的最小的m .进货数进货数销售数销售数求满足求满足 P(Xm)0.95的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得,032. 0!5105kkkeP(Xm)

25、 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=10,1505. 0!5mkkke或或m=9件件（四）超几何分布（四）超几何分布设有设有N件产品，其中有件产品，其中有M件次品。今从中件次品。今从中任取任取n件不同产品，则这件不同产品，则这n件中所含的次品数件中所含的次品数X的分布列为：的分布列为： nNknMNkMCCCkXP)(k=0,1,2,min(M,n), 规定当规定当im时，时， 则称则称X服从超几何分布。服从超几何分布。二项分布用来描述有放回抽样，超几何分布二项分布用来描述有放回抽样，超几何分布用来描述不放回抽样，当总体用来描述不放回抽样，当总体N很大，抽样数很大，抽样数n较较小，可用二项分布来逼近超几何分布。小，可用二项分布来逼近超几何分布。0imC定理：定理： 设在超几何分布中，设在超几何分布中，n是一个取定