同济大学高等数学第六版上第一章第五节-极限运算法则推荐课件

1、2021/8/221极限运算法则极限运算法则 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义2021/8/2221.定

2、义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, , 那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当

3、函函数数xx2021/8/223, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2021/8/2242.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.证证 必要

4、性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 2021/8/225意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代

5、数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得, 0, 0, 021 NN2021/8/226;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 , )(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn2021/8/227定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xU

6、u.0, 0, 0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当2021/8/228,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小

7、都是无穷小2021/8/229二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.定定义义 2 2 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数M( (不不论论它它多多么么小小) ), ,总总存存在在正正数数 ( (或或正正数数X) ), ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx( (或或 xX) )的的一一切切x, ,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Mxf )(, ,则则称称函函数数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时时为为无无穷穷小小, ,记记作作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或2021/8/2

8、210特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.2021/8/2211.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx xxy1sin1 ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(

9、,0Mxyk 充充分分大大时时当当无界，无界，), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大2021/8/2212.11lim1 xx证证明明例例证证11 xy. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 2021/8/2213三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程

10、中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx 2021/8/2214. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.2021/8/2215四、极限运算法则四、极

11、限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得2021/8/2216)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 2021/8

12、/2217,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：)()()(limxAxfAxf (1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数 (2)有两个重要的推论有两个重要的推论2021/8/2218推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而

13、而存存在在如如果果定理的条件：定理的条件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立任何一个过程都成立2021/8/2219五、求极限方法举例五、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx5

14、2322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx3123 .37 2021/8/2220小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ2021/8/2221例例2 2.3214l

15、im21 xxxx求求解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得.3214lim21 xxxx2021/8/2222例例3 3.321lim221 xxxx求求解解.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x)00(型型.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 (消去零因子法消去零因子法)2021/8/222

16、3例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)2021/8/2224小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子

17、,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.2021/8/2225例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n先变形再求极限先变形再求极限.222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 2021/8/2226 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可

18、以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。关系求极限。六、复合函数极限六、复合函数极限定理定理 （复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则变量代换法则变量代换法则）AufxfAufaxxaxauxxauxx )(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 则则又又的某去心邻域内的某去心邻域内但在但在设设2021/8/2227证证知知由由Aufau )(lim0, 0 有有时时使使当当,|0 au |)(|Auf得得又又由由axxx )(lim0 00 ，对上述对上述有有时时使使当当,|00 xx |)(|axax )( 又又 |)

19、(|0ax |)(|Axf由极限定义得由极限定义得Aufxfauxx )(lim)(lim0 2021/8/2228此定理表明：此定理表明：满满足足定定理理的的条条件件与与若若)()(xuf 则可作代换则可作代换转化为转化为把求把求)(lim)(0 xfxuxx )(lim),(lim0 xaufxxau 这里这里极限过程的转化极限过程的转化注注AufAufxaxuau )(lim)(lim)(lim)(lim换成换成换成换成如将如将 可得类似的定理可得类似的定理2021/8/2229无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小