万有引力--教案-

1、万有引力-教案作者:知识框架：万有引力定律：表述：自然界中任何两个物体都是相同吸引的，引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟它们的距离平方成反比。公式：F =Gm1Zm2o引力常量G =6.67Ml0/1N|_m2/kg2（在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力）由于地球自转，重力为万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转的向心力。 题型体系：题型一、万有引力定律例1如图，三个质点a、b、c质量分别为mi、m2、M （M >> mi, M >> m2）.在C的万有引 力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比 ra

2、：rb=1:4，则它 们的周期之比Ta：Tb=;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了 次。第4页共12页A.3Gpi_4_3、 一B. M = - R3：C.3D.根据G M； =m41r ,得T =，4" r ,所以Ta： Tb=JTJ : "r； =1:8。在b运动一周的过程中，a运 r2 T2GM动8周，所以a、b、c共线了 8次。1:8 8题型二、大体自转天体的自转角速度不能太大，否则天体将解体。例1 一物体静置在平均密度为 p的球形大体表面的赤道上。已知万有引力常量为 G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为赤道表面的物体

3、对天体表面的压力为零说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体运动所需 的向心力，有GMm = m'红）R M =4 nR3P要使天体不解体，自转周期必须大于 自"R2IT J 3IGPJ题型三、大体的运动研究天体的运动，当一个大体的质量远远大于另外天体的质量时，一般认为中心天体是不动的, 环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受到中心天体的万有引力作用, 这个引力提供环绕天体做圆周运动的向心力。例1某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过 N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题图所示。该行星与地球的公转半径比为2233A "3B.C .

4、 "T D.NN -1NN -1Am由GMg=mr,红得匚=4匚。地球绕太阳公转T2=Q ,某行星绕太阳公转 工2=江，rT r GM113 GM优 GM2由每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上可得N-NT1=1,联立解得”二匚必 下T21N -1例2太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看做圆轨道。下列 4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg (T/To)，纵轴是lg (R/Ro);这里T和R分别是行星绕太阳运行周期和相应的圆轨道半径，To和Ro分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是太阳系中的8大行星绕太阳做匀速圆周

5、运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律和万有引力定律，对于水星有GMmoRo空)，对于行星有GMmR，生联立解得 RoToR2TRR 33，T、2 1一 二一两边取对数，得3 lg (R/Ro) =2 1g (T/To),所以正确选项是B。IR J 5 J例3月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ,设月球表面的重力加速度大小为gl,在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2,则A. gi =a B. g2=a C. g+g2=a D. g2gi=a月球绕地球做匀速圆周运动的向心力等于在月球绕地球运行的轨道处地球对月球的引力，所以g2 =a在月球绕地球运行的轨道处由地球引

6、力产生的加速度就是月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度。题型四、万有引力提供向心力例1探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比A.轨道半径变小 B.向心加速度变小 C.线速度变小 D.角速度变小例2 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A点从圆形轨道I进 入椭圆轨道R, B为轨道R上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有A.在轨道H上经过A的速度小于经过B的速度 B.在轨道H上经过A的动能小于在轨道I上经过AC.在轨道n上运动的周期小于在轨道I上运动的周期D在轨道n上经过A的加速度小于在轨道I上经过

7、 A的加速度例3宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为 R,地球质量为M,引力常量为G,地球自转周期为Too太阳 光可看作平行光，宇航员在 A点测出的张角为口，则()A.飞船绕地球运动的线速度为一空RB. 一天内飞船经历“日全食”的次数为 T/ToTsin(1 /2)C.飞船每次“日全食”过程的时间为:To /（2二）D.飞船周期为T =2 二RRsin（1 /2） GM sin（： /2）例4火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期X,神舟飞船

8、在地球表面附近的圆形轨q,则Ti与T2之比道运行周期为丁2,火星质量与地球质量之比为 P,火星半径与地球半径之比为A.、pq3例5第一颗人造地球卫星“东方红一号”运行轨道为椭圆轨道，其近地点度分别为439km和2384km,则A.卫星在M点的势能大于N点的势能 B.卫星在M点的角速度大于M和远地点N的高C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度 D.卫星在N点的速度大于N点的角速度7.9km/s时N例6 一物体静置在平均密度为P的球形大体表面的赤道上已知万有引力常量G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为A(1)5B.(1)2C.()G：D(G：题型五、万有引力和重力、重力

9、加速度2011年10月开始第萤火星探测器例1为了萤火星及其周围的空间环境的探测，我国预计于“萤火一号”。假设探测器在火星表面为度分别为 A1和A2的圆轨道上运动时，周期分别为 T1和T2o火星可视为 度量分布均匀的球体。忽略火星的自转影响，万有引力常量为Go仅利用以上数据，可以计算出A.C.的引力例2火星的密度和火星表面的重力加速度B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力火星的半径和“萤火一号”的质量D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若它在某星球表面以相同R星：R地=1 ： 4,求该星球的质v v=gt; vv =的

10、初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.(取地球表面重力加速度 g= 10 m/s2,空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g; (2)已知该星球的半径与地球半径之比为量与地球质量之比 M星：M地.(1)小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有- 第5页共12页Mm grTR r91g' 5t,所以有g' = g= 2 m/s 2.(2)忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有 5mg 所以有 M=噂，可解得：Ms： M地= 1X12 ： 5X4 2=1 ： 80. ： (1)2 m/s 2 (2)1 ： 80

11、题型六、距离、高度问题例1地球质量大约是月球质量的 81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和 月球对它的引力大小相等时，这个飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少？设R是飞行器到地心的距离，r是飞行器到月球的距离。则由题意：GM孚=G、Rr第10页共12页例2地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.8倍，则地球表面重力加速 度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛一物体，物体 在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？ 设想地球表面有一质量为 m的物体，忽略自转，则mg1=GMm同理在月球表面:R1mg2 =GM 2m2-R2生

12、=% =必定6由竖直上抛运动规律可得，上升的最大高度g2 M2 R2H="2gH1g2H2g16题型七、加速度、角速度、线速度问题例1地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响，在距地面高度为 h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为 Ro不计地球自转的影响，物体的重力等于物体受到的万有引力。地面： mg=G粤 h高处：R2mg' = GMm-Z2(R h)史R2g -(R h)2例2月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6, 一根纯子在地球表面能拉着 3kg的重物产生最大为10m/s2的竖直向上的加速度，g地取10m/s2,将重物和绳子带到月球表面

13、用该绳子 能使重物产生在月球表面竖直向上的最大加速度是多大？由牛顿第二定律可知：在地球表面：F-mg=ma 在月球表面：F-mg' = ma'a-mamgng a-g,=10 1010=18.州s2) m6例3在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星。它们围绕两球连线上的某一点作圆周运动。由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变。已知两星质量分别为Mi和M2,相距L,求它们的角速度。如图，设Mi的轨道半径为门，M2的轨道半径为2,由于两星绕。点做匀速圆周运动的角速度相仃岑”二乂02r之而i+2 = l以上三式联立解得:一对相互作用力，分别提供各自做匀速圆周运动的向同，

14、都设为切, 根据牛顿第二定律有：G MM" = M-21E=：JG（耳匹双星之间的万有引力是心力，所以它们能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，且角速度相同例4月球与地球质量之比约为1 ： 80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动.据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（）A. 1 ： 6400B. 1 ： 80C. 80 ： 1D. 6400 ： 1月球与地球做匀速圆周运动的圆心在两质点的连线上，所以它们的角速度相等，其向心力是相互作用的万有引力提供的，大小相等，即rnio 2r = ML 2R,所以m

15、w - w r = Mw -R,即mv= Mv',所以v ： v' = M：m= 80 ：1,例5我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多可地球同步卫 星，这有助于减少我国对 GPSt航系统白依赖，GPS*运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS1航的轨道半径分别为R和R2,向心加速度分别为日和a2,则R : R是多少？ a1：a2是多少？（可用根式表小）GMmR24 二二m-rT23 GMT24 二 2所以RR2 一 1GMm maR2GM得a 2R2所以曳区1a2R13163二 r3GT2R3g =9.8m/s2 ,求地球的平均密度

16、。题型八、密度、质量问题 （万有引力全部提供向心力）由Mm'2nf /曰一 _4几23宜一 4 -3c由 G 二 m r 得 M =又 M = nR Pr2<T ）GT23例1已知地球的半径R= 6400km,地面重力加速度2设在地球表面上有一质量为 m的物体，则mg =GM?,得M =生，而 RG：、.MVgR2二 R3G3g4 二 GR代入数据得：=5.4 103kg/m3例2木星的一个卫星运行一周需要时间1.5X 104s,其轨道半径为9.2X107m,求木星的质量为多少千克？木星对卫星的万有引力提供卫星公转的向心力：Mm 2G = m，r , M r2 34二 r一 GT

17、24二2 (9.2 107)36.67 1 0-1 (1.5 1 04)2= 2.0 1027 kg例3地球绕太阳公转，轨道半径为 R,周期为To月球绕地球运行轨道半径为r,周期为t, 则太阳与地球质量之比为多少？2.2 ：地球绕太阳公转，太阳对地球的引力提供向心力则 Gm粤 =m地安R,得：m日=至R2地 t2 ，GT2 2.23月球绕地球公转，地球对月球的引力提供向心力则 G 里咀=m月与Lr得：m地=4-RtGt太阳与地球的质量之比 业=驾 mtar T例4地球可视为球体，自转周期为 T,在它两极处，用弹簧秤测某物体重力为 P,在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为 0.9P,地球的平

18、均密度是多少？重力是由于地球的吸引而产生的，但不能认为重力就是地球对物体的吸引力。只有在两极处，重 力才等于万有引力，在其他地方，由于地球自转，物体的重力都小于万有引力，严格来讲，重力 是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。设物体质量为m,地球质量为M,半径为Ro在两极处：物体重力等于万有引力 P=GM ,在R赤道处：地球对物体的万有引力与弹簧对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律：40二 2R32Mm4, 一、，GMm1-0.9P=m、R两式联立可得：MRT2 _40 二 RGT2:地球的平均密度P=MVGT230二和3GT2例5中子星是恒星演化过程的一种可

19、能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自1转周期为T=s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计30算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=6.6 7 乂 10 "11m 3/kg.s2）设想中子星赤道处一小块物质一，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时， 中子星才不会瓦解。设中子星的密度为 P,质量为M ,半径为R,自转角速度为8，位于赤道处的小物块质量为m,则有GMm = m2R 0 上M =4nR3P由以上各式得P= V ,代入数R2T3GT2据解得：P=1.27 x1014kg/m3。例6 （1）开普勒行星运动第三定律指出

20、：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与3它的公转周期T的二次方成正比，即 M = k, k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳T2的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为 G,太阳的质量为M太。（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心大体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84 X08m,月球绕地球运动的周期为2.36 106S,试计算地球的质M地。（G=6.67xi0-11Nm2/kg2,结果保留一位有效数字）（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和3牛顿第二定律有G行广太=

21、g （丝）2r于是有-ry=-GyM太即k = -GyM太r2TT2 4冗24元22在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R,周期T,由式可得R2=-G2M地T4 二解得 M地=6 X1024kg （M地=5 X1024kg也算对）题型九、周期问题例1 一探空火箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的 倍，则探空火箭绕太阳公转周期为多少年？方法一：设火箭质量 m1,轨道半径R,太阳质量为M,地球质量为m2,轨道半径为r。火箭绕太阳公转，则-R地球绕太阳公转，则GM2, Mm24G -2- = m2 -2- r 得:rT2GMT - 2nr3I 2 - 2A、T1 =

22、25=27火箭的公转周期为27年。例2设A、B两颗人造地球卫星的轨道都是圆形的,B距地面的高度分别为 hA、hB,且hA>hB,地球半径为R,则这两颗人造卫星的周期比是（a.Ta= 1TaB.TB<1) c.Ta(R+ hA3R+ hBTa R+ hAD. = " -Tb R+hB两颗人造卫星具有相同的中心天体，则可以应用开普勒第三定律处理关于运行半径和周期的关系，有TA RAtB=R 可得：TAT BR+ hA 3R+ hB 3,例3已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的一半,它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该

23、行星的自转周期约为（）A. 6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时设地球或行星的半径为r,根据万有引力提供向心力对地球或行星的同步卫星有GMmmr i + hir2 P2-3 3",其中 Ti = 24 h , hi=6ri, 2+ h2 ri p i卜2=2.52, P 13-、43 /口3兀 r+h . Th) , M= p - % r ,得 T= ；3 ，有二3Gp r”=2 p 2,代入上式得T2= i2 h.题型十、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力） 表面重力加速度： 1 G Mm' = mgo go =GM-轨道重力加

24、速度： ; GMm2 = mgh，gh = GM 2RRR hR h例i 一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为go,行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=8i,行星的半径Ro与卫星的半径R之比Ro/R=3.6,行星与卫星之间的距 离r与行星的半径Ro之比r/Ro=6O。设卫星表面的重力加速度为g,则在卫星表面有GMm2=mg r经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的i/36oo。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是卫星表面 驾

25、=g行星表面GM_=go即（员）2皿=且即g =o.i6go。 R2RoR M go题型十一、双星问题两个质量相差不太大、相距较近的两个大体称为双星。若忽略其他星球的影响，双星在万有引力 作用下绕两者的质心（双星连线上一点）运动，运动周期相等。例i两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀 速圆周运动。现测得两星中心距离为 R,其运动周期为T,求两星的总质量。设两星质量分别为Mi和M2,都绕连线上。点作周期为T的圆周运动，星球i和星球2到。的距离分别为li和12。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得Mi: GMlM9=Mi (空)2 liR2T.4 二2R2l1 M2GT2对 M2:gMM 2 = M2()2|2 - Mi =R12 两式相加得Mi + M2=(li + l2)=R2TGT2GT24 二2R3GT2io io页共i2页例2有双星A, B,都视为质点，A, B绕两者连线上的。做匀速圆周运动，AB之间距离不变， 引力常量为G观测到A的速率V和运行周期T,质量为m, m2 （1）求B的周期和速率（2） A受 B的引力Fa可等效为位于。点处质量为m'的星体对它的引力，试求 m，（用m、m表示）13 12页共12页（1）设A、B的轨道半径分别为一、2,它们做圆周运动的周期T、角速度都相同，根据牛顿运