人教版编号40选修4 5第三讲二一般柯西不等式

1、二(1 )二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式(a? ?b )(c? ?d )? ?(ac? ?bd) (a,b,c,d? ?R)当且仅当当且仅当 ad? ?bc时时,等号成立等号成立 . 22222复习复习:(2 ) a? ?b? ?c? ?d? ?ac? ?bd(3 ) a? ?b? ?c? ?d? ?ac? ?bd(4)柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式? ? ? ? ? ? ? ?.当且仅当当且仅当? ?是零向量是零向量 ,或存在实数或存在实数k,使使? ? ?k? ?时时,等号成立等号成立 . 22222222从从 平平 面面 向向 量量 的的 几几 何何 背背能能景景得得

2、 到到? ? ? ? ? ? ? ? ，将将 平平 面面 向向 量量 的的 坐坐 标标 代代，入入化化 简简 后后 得得 二二 维维 形形 式式2222的的 柯柯 西西 不不 等等(式式 :a1? ?a2) (b1? ?b2)? ?(a1b1? ?a2b2)当当 且且 仅仅 当当 a1b2? ?a2b1时时,等等 号号 成成 立立 .类似地类似地 ,从空间向量的几何背景从空间向量的几何背景也能得到也能得到? ? ? ? ? ? ? ?,将空间向量的坐标代入将空间向量的坐标代入， ，化简后得化简后得2(a12? ?a22? ?a3)2(b12? ?b22? ?b3)? ?(a1b1? ?a2b2

3、? ?a3b3)2当当 且且 仅仅 当当? ?,? ?共共 线线 时时,即即? ? ?0,或或 存存 在在 一一 个个 数数 k,使使 得得ai? ?kbi(i? ?1 ,2,3)时时， ，等等 号号 成成 立立 .(a? ?a? ? ?a )(b? ?b? ? b )? ?(a1b1? ?a2b2? ? anbb)分析：分析：设设A? ?a21222n2122猜想柯西不等式的一般形式猜想柯西不等式的一般形式2n21222n2构构造造二二次次函函数数212221? ?a? ? ? ? ?a，B? ?a1b1? ?a2b2? ? ?anbn2222C? ?b1? ?b2? ? ? ? ?bn，则

4、不等式就是则不等式就是AC? ?B2n2f(x)? ?(a? ?a? ? ?a )x? ?2 (a1b1? ?a2b2? ? anbn)x ? ?(b? ?b? ? b )222又又f(x)? ?(a1x? ?b1)? ?(a2x? ?b2)? ? ? ? ?(anx? ?bn)? ?0222n? ? 二次函数二次函数 f (x)的判别式的判别式 ? ? ? ?0,即即4(a1b1? ?a2b2? ? anbn)2? ?(b12? ?b22? ? ?bn)? ?22? ?4(a12? ?a22? ? an)0定定 理理(一一 般般 形形 式式 的的 柯柯 西西 不不 等等 ) 式式设设a1,a

5、2,a3,? ,an,b1,b2,b3,? ,bn是是 实实 数数,则则(a? ?a? ? ?a )(b? ?b? ? b )? ?(a1b1? ?a2b2? ? anbb)21222n21222n2当当 且且 仅仅 当当 bi? ?0(i? ?1 ,2,? ,n)或或 存存 在在 一一 个个 数数k,使使 得得ai? ?kbi(i? ?1 ,2,? ,n)时时,等等 号号 成成 立立 。例例1 已已知知a1,a2,? ,an都都是是实实数数,求求证证12222(a1? ?a2? ? ?an)? ?a1? ?a2? ? ?ann证明证明:(1? ?1? ? ?1)(a? ?a? ? ?a )

6、? ?(1? ?a1? ?1? ?a2? ? ?1? ?an)21222n222221222n? ?n(a? ?a? ? ?a ) ? ?(a1? ?a2? ? ?an)12222? ?(a1? ?a2? ? ?an)? ?a1? ?a2? ? ?ann2例例2 已知已知a,b,c,d是不全相等的正数是不全相等的正数,证明证明a? ?b? ?c? ?d? ?ab? ?bc? ?cd? ?da证明证明:(a? ? ?c? ?d )(b? ?c? ?d? ?a ) ? ?(ab? ?bc? ?cd? ?da)2222222222222abcd?a,b,c,d是不全相等的正数是不全相等的正数 ,?

7、? ? ? ?不成立不成立bcda? ?(a? ?b? ?c? ?d )? ?(ab? ?bc? ?cd? ?da)即即 a? ?b? ?c? ?d? ?ab? ?bc? ?cd? ?da22222222 22例例3 已知已知x? ?2y? ?3z? ?1 ,求求x? ?y? ?z 的最小值的最小值证证明明:(x? ?y? ?z )(1? ?2? ?3 )? ?(x? ?2y? ?3z)? ?11222? ?x? ?y? ?z? ?14xyz113当当且且仅仅当当 ? ? ?即即x? ?,y? ?,z? ?时时123147141222x? ?y? ?z 取取最最小小值值142222222222P41 6. 设设x1,x2,? xn? ?R? ?,且且x1? ?x2? ? ?xn? ?1,1求证求证:? ? ? ? ?1? ?x11? ?x21? ?xnn? ?1证证明明:(n? ?1 )? ?(2x12x12x22xn1? ?x1? ?2x21? ?x2? ? ?2xn1? ?xn2x1)? ?2x2 ? ?(1? ?x1? ?1? ?x2? ? ? ? ?1? ?xn)? ?(2xn1? ?x11? ?x2? ?x1x2 ? ? ?)? ?( 1? ?x1? ? ?1? ?x2? ?