回溯算法与八皇后问题N皇后问题

1、回溯算法与八皇后问题(N皇后问题)1 问题描述八皇后问题是数据结构与算法这一门课中经典的一个问题。下面再来看一下这个问题的描述。八皇后问题说的是在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。更通用的描述就是有没有可能在一张N*N的棋盘上安全地放N个皇后？2 回溯算法              回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。在现

2、实中，有很多问题往往需要我们把其所有可能穷举出来，然后从中找出满足某种要求的可能或最优的情况，从而得到整个问题的解。回溯算法就是解决这种问题的“通用算法”，有“万能算法”之称。N皇后问题在N增大时就是这样一个解空间很大的问题，所以比较适合用这种方法求解。这也是N皇后问题的传统解法，很经典。下面是算法的高级伪码描述，这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘：1) 算法开始, 清空棋盘，当前行设为第一行，当前列设为第一列2) 在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第4步3) 在当前位置上满足条件的情形：在当前位置放一个皇后，若当前行是最后

3、一行，记录一个解；若当前行不是最后一行，当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置；若当前行是最后一行，当前列不是最后一列，当前列设为下一列；若当前行是最后一行，当前列是最后一列，回溯，即清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置；以上返回到第2步4) 在当前位置上不满足条件的情形：若当前列不是最后一列，当前列设为下一列，返回到第2步;若当前列是最后一列了，回溯，即，若当前行已经是第一行了，算法退出，否则，清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置，返回到第2步;  算法的基本原理

4、是上面这个样子，但不同的是用的数据结构不同，检查某个位置是否满足条件的方法也不同。为了提高效率，有各种优化策略，如多线程，多分配内存表示棋盘等。为了便于将上述算法编程实现，将它用另一种形式重写：Queen()Loop:      if check_pos(curr_row, curr_col) = 1 then             put_a_queen(curr_row, curr_col);

5、0;            if curr_row = N then                    record_a_solution();           

6、  end if;                   if curr_row != N then                    curr_row = curr_row + 1;&#

7、160;                   curr_col = 1;             else              

8、60;     if curr_col != N then                           curr_col = curr_col + 1;          

9、          else                           backtrack();          &#

10、160;         end if;             end if;            else            &#

11、160;if curr_col != N then                    curr_col = curr_col +1;             else        &#

12、160;           backtrack();             end if;           end if;end Queen;3 实现3.1 数据结构这里，用一个N个元素的一维数组来表示。数组的下标表示棋盘的行，数组的元素表示

13、该行皇后所在的列。这个结构自然就消除了列冲突，因为每一行只有一个皇后。还有利用它解决行冲突，也很简单，只要比较各个元素就行了，看有没有相等的元素。斜线冲突也简单，因为同一斜线上的在一直线上，该直线的斜率为+1(左下至右上)或-1(左上至右下)，所以，左下至右上的冲突检测方法为看式子是否成立(row curr_row)/(col curr_col) = 1，也就是(row - col) = (curr_row curr_col)，相同，则有冲突。同理，左上至右下看式子(row + col) = (curr_row +curr_col)。这里，也是看下标与其对应元素的和与差是不是与要检测位置的相应

14、结果相同，如果有一个相同，就有冲突。数据结构一确定，冲突检测方法就有了，关键的部分的算法就完成了。3.2 代码/*     File: NQueen.c     Descripton: N皇后问题求解之回溯版     Author: liuqh, Hunan University     Date: 2007.5.22, Tues.     Version: 1.0*/#include <s

15、tdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <time.h>#include <math.h>#define SOLS(n)     (int)(pow(2.0, (double)(n)#define DEBUG/*全局变量定义*/int N = -1;               

16、0;        /*棋盘的大小*/char *p_board = NULL;        /*指向棋盘，这里是用一个长度为N的一维数组表示的*/char *buf = NULL;     /* 输出缓冲 */int buf_index = -1;/*     本编译单元的函数声明*/static int queen(FILE *fp);static int clear_b

17、oard(int i);static int check_pos(int curr_row);static int record_a_solution(FILE *fp, int solutions);static int backtrack(int *p_curr_row);static void flush_buf(FILE *fp, int solutions);/* 函数：main()* 功能：程序入口* 入口: 参数个数（整型）；程序名与N的大小* 出口：* 返回：成功返回0，否则返回-1* 备注：*/int main(int argc, char *argv)clock_t sta

18、rt, finish;double       duration;int solutions;FILE *fp;/* 命令行参数检查*/            if (argc != 2)                 fprintf(stderr, "用法:

19、0;    queen Nn") ;                   return -1;            N = atoi(argv1);          

20、  if (N <= 0)                 fprintf(stderr, "用法:     queen N n N必须大于0n") ;                   re

21、turn -1;                          /*开始计时*/            start = clock();        &#

22、160;           p_board = (char*)calloc(N, sizeof(char);            if (NULL = p_board)                   

23、      fprintf(stderr, "为棋盘分配内存失败n") ;                    return -1;                 &

24、#160;                 fp = NULL;if (fp = fopen("solutions.txt", "w") = NULL)      free(p_board);             fprintf(std

25、err, "创建文件solutions.txt失败！n") ;             return -1;         solutions = queen(fp);if (-1 = solutions)     free(p_board);     if (fclose(fp) =

26、EOF)                  fprintf(stderr, "关闭文件solutions.txt失败！n") ;             return -1;           &#

27、160;        fprintf(stderr, "调用queen()失败n") ;                   return -1;               printf

28、("共有%d种解决方案，具体结果请查看文件solutions.txtn", solutions) ;           fprintf(fp, "solutions = %dn", solutions);free(p_board);/*操作完成，计时结束*/finish = clock();/*计算时间间隔，以秒为单位*/duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;printf("计

29、算完毕,共耗时%f秒!n", duration);fprintf(fp, "time = %fn", duration);if (fclose(fp) = EOF)            fprintf(stderr, "关闭文件solutions.txt失败！n") ;            return -1; &

30、#160; return 0;/* 函数：queen()* 功能：计算N皇后问题的解* 入口: 记录结果的文件指针* 出口：* 返回：成功返回解的个数，出错返回-1* 备注：*/int queen(FILE *fp)int curr_row;int result;    result = 0;if (clear_board(0) = -1)     fprintf(stderr, "清空棋盘失败！n") ;      

31、0;     return -1; curr_row = 0;p_boardcurr_row = (char)0;            buf = (char*)calloc(SOLS(N)*N, sizeof(char);            if (NULL = buf)     

32、                    fprintf(stderr, "为解分配内存失败n") ;                    return -1;    &

33、#160;                          while (1)      if (check_pos(curr_row)= 1)           if (N-1 = curr_row) &

34、#160;           result+;       record_a_solution(fp, result);                   if (curr_row != N-1)       

35、60;     curr_row+;       p_boardcurr_row     = (char)0;       continue;                    if (p_boardcurr_row 

36、;    != (char)(N-1)           p_boardcurr_row +;          else           if (backtrack(&curr_row) = 1)         

37、    break;           /* end while */flush_buf(fp, result);free(buf);return result;/* 函数：clear_board()* 功能：初始化棋盘* 入口: 初始化开始的行(整型), 全局变量p_board， N* 出口：初始化后的棋盘，这里指指针p_board指向的数组* 返回：成功返回0，出错返回-1* 备注：*/int clear_board(int i)if (memset(&p_bo

38、ardi, -1, N-i) = NULL)     return -1;return 0;/* 函数：check_pos()* 功能：检查某个位置是否能放一个皇后* 入口: 位置所在的行(整型), 全局变量p_board， N* 出口：* 返回：可以放置的话返回1，否则返回0* 备注：*/int check_pos(int curr_row)int i;int sum, sub;/*检查是否有行冲突*/for (i = 0; i < curr_row; i+)     if (p_boardi = p_bo

39、ardcurr_row)           return 0;     /*检查斜线方向的冲突*/sum = curr_row + p_boardcurr_row;sub = curr_row - p_boardcurr_row;for (i = 0; i < curr_row; i+)     if (i+p_boardi = sum | i - p_boardi = sub)   &#

40、160;       return 0;     return 1;/* 函数：record_a_solution()* 功能：记录一个合法的解* 入口：记录结果的文件指针；解的个数（整型） 全局变量p_board， N* 出口：存储解的缓存buf（字符串）* 返回：成功，返回0，否则返回-1* 备注：解先缓存在内存中，这样快一点，要提高速度，修改SOLS宏以获得更大的缓冲区*/int record_a_solution(FILE *fp, int solutions) if (+buf_index

41、60;    != SOLS(N)     if (memcpy(&bufbuf_index*N, p_board, N) = NULL)           fprintf(stderr, "拷贝解到缓冲时出错！n") ;      buf_index-;      return -1;  

42、;   else     flush_buf(fp, solutions); return 0;/* 函数：backtrack()* 功能：回溯到上一行* 入口:     全局变量p_board， N* 出口：当前行(整型指针)* 返回：可以回溯，返回0，否则返回1，表示算法可以退出了* 备注：可能递归调用自身*/int backtrack(int *p_curr_row)if (0 = *p_curr_row)     if (clear_board(p_board*p_curr_row) = -1)           fprintf