第三章多维随机变量及其分布

1、结束放映结束放映第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布在上一章中，讨论的问题中只涉及一个随机变量，在实在上一章中，讨论的问题中只涉及一个随机变量，在实际问题的研究中，只用一个随机变量往往是不够的际问题的研究中，只用一个随机变量往往是不够的例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身高和体重两例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身高和体重两个随机变量来描述；研究某地区的气候状况需要考虑温个随机变量来描述；研究某地区的气候状况需要考虑温度、湿度等多个随机变量；度、湿度等多个随机变量；研究国民经济状况，就需要用研究国民经济状况，就需要用GDP、固定资产投资、各、固定资产投资、各产业产值、人

2、均消费额等很多随机变量来描述本章学产业产值、人均消费额等很多随机变量来描述本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用结束放映结束放映第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布l主要内容主要内容 3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布 3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布 3.3 3.3 条件分布条件分布 3.4 3.4 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 3.5 3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布第三章总结第三章总结结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及

3、联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.1 3.1.1 多维随机变量的概念多维随机变量的概念【定义【定义3.1】如果如果X1( )，X2( )，Xn( )是定义在同是定义在同一个样本空间一个样本空间 = 上的上的n个随机变量，则称个随机变量，则称为为n维随机变量维随机变量或或n维随机向量维随机向量, 简记为简记为X = (X1, X2. , Xn)注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上，注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上，对于不同样本空间上的多个随机变量，本章将不涉及这对于不同样本空间上的多个随机变量，本章将不涉及这类问题类问题)(,),(),()(21 nXXXX 结束放

4、映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.1 3.1.1 多维随机变量的概念多维随机变量的概念【例【例3-1】在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于】在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点每个家庭（样本点 ）的衣食住行四个方面，若用）的衣食住行四个方面，若用X1( )，X2( )，X3( )，X4( )分别表示衣食住行的花费，则分别表示衣食住行的花费，则(X1，X2，X3，X4)就是一个四维随机变量就是一个四维随机变量n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)的性质不仅与其中每个随机的性质不仅与其中每个随机变量的性质有关，而且还

5、依赖于这变量的性质有关，而且还依赖于这n个随机变量的相互关个随机变量的相互关系因此，逐个地来研究每个随机变量的性质是不够的，系因此，逐个地来研究每个随机变量的性质是不够的，还需要将还需要将(X1，X2，Xn)作为一个整体来进行研究作为一个整体来进行研究本章主要研究二维随机变量，二维以上情况可类似进行本章主要研究二维随机变量，二维以上情况可类似进行结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.2 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数【定义【定义3.2】设设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x，y，

6、称事件，称事件X x，Y y同时发生的概率同时发生的概率为随机变量为随机变量(X,Y)的的分布函数分布函数, 或或X与与Y的的联合分布函数联合分布函数如果将二维随机变量如果将二维随机变量(X,Y)看成看成是平面上随机点的坐标，那么分是平面上随机点的坐标，那么分布函数布函数F(x, y)在在(x, y)处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点(X,Y)落在以点落在以点(x，y)为右上角的无穷矩形内的概率，为右上角的无穷矩形内的概率，,),(yYxXPyxF ),(yxOyx1 . 3图图结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.2 3.1.2 二维随机

7、变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数容易证明分布函数容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质具有以下的性质(1) 单调性：单调性：F(x，y)分别对分别对x或或y是单调不减的，即是单调不减的，即 当当x1x2时，有时，有 当当y1y2时，有时，有(2) 有界性：对任意的有界性：对任意的x和和y，有有0F(x,y)，且，且),(),(21yxFyxF ),(),(21yxFyxF 0),(lim),( yxFyFx0),(lim),( yxFxFy1),(lim),( yxFFyx),(yxOyx1 . 3图图结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布

8、l3.1.2 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数容易证明分布函数容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质具有以下的性质 (3) 右连续性：对每个变量是右连续的，即右连续性：对每个变量是右连续的，即对任意的对任意的x0，有；，有；对任意的对任意的y0，有，有:(4) 非负性：对任意的非负性：对任意的a b，c d有有事实上，具有上述四条性质的二元函数事实上，具有上述四条性质的二元函数F(x，y)一定是一定是某个二维随机变量的分布函数某个二维随机变量的分布函数),(),(lim00yxFyxFxx ),(),(lim00yxFyxFyy 0),(),(),(),(,

9、 caFcbFdaFdbFdYcbXaP结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律【定义【定义3.3】如果二维随机变量如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可列只取有限个或可列个数对个数对(xi，yj)，则称，则称(X，Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量，称，称为为(X，Y)的的分布律分布律，或，或X与与Y的的联合分布律联合分布律，也可用如下，也可用如下表格形式表示表格形式表示(X，Y)的分布律的分布律 YXy y1 1y y2 2y yj jx x1 1p p11

10、11p p1212p p1 1j jx x2 2p p2121p p2222p p2 2j jx xi ip pi i1 1p pi i2 2p pijij, 2 , 1, jipyYxXPijji结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律【定义【定义3.3】如果二维随机变量如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可列只取有限个或可列个数对个数对(xi，yj)，则称，则称(X，Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量，称，称为为(X，Y)的的分布律分布律，或，或X与与Y的的

11、联合分布律联合分布律，也可用如下，也可用如下表格形式表示表格形式表示(X，Y)的分布律的分布律联合分布律有如下性质：联合分布律有如下性质：(1) 非负性：非负性：(2) 归一性：归一性：, 2 , 1, jipyYxXPijji, 2 , 1, 0 jipij111 ijijp结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律【例【例3-3】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为0.2，乙每次命中率为乙每次命中率为0.5以以X、Y分别表示甲、乙各射

12、击两分别表示甲、乙各射击两次的命中次数，试求次的命中次数，试求(X，Y)的分布律的分布律解解: 由题知由题知, X, Y均可取均可取0, 1, 2. 由于甲、乙是独立进行射击由于甲、乙是独立进行射击, 所以所以X = i与与Y = j两事件相互独立，两事件相互独立，i, j = 0, 1, 2,于是于是 i, j=0, 1, 2于是于是(X, Y)分布律为分布律为iiiC 228 . 02 . 0,5 . 05 . 022jjjC ,jYiXP jYPiXP 结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维

13、离散型随机变量及联合分布律【例【例3-3】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为0.2，乙每次命中率为乙每次命中率为0.5以以X、Y分别表示甲、乙各射击两分别表示甲、乙各射击两次的命中次数，试求次的命中次数，试求(X，Y)的分布律的分布律解解: i, j = 0, 1, 2,分布律为分布律为iiiC 228 . 02 . 0,5 . 05 . 022jjjC ,jYiXP jYPiXP Y Y X X0120120.160.320.160.080.160.080.010.020.01结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布

14、l3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律【例【例3-4】设随机变量】设随机变量X在在1，2，3，4四个整数中等可能四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量地取一个值，另一个随机变量Y在在1，2，.，X中等可能中等可能地取一整数值，试求地取一整数值，试求(X，Y)的分布律的分布律解：解：X = i，Y = j的取值情况是：的取值情况是：i = 1，2，3，4，j取取不大于不大于i的正整数，且的正整数，且于是于是(X,Y)的分布律为：的分布律为：,jYiXP |iXjYPiXP ijii , 4 , 3 , 2 , 1,41结束放映结束放映3.1 3

15、.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律【例【例3-4】设随机变量】设随机变量X在在1，2，3，4四个整数中等可能四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量地取一个值，另一个随机变量Y在在1，2，.，X中等可能中等可能地取一整数值，试求地取一整数值，试求(X，Y)的分布律的分布律解：解：分布律为：分布律为：,jYiXP |iXjYPiXP ijii , 4 , 3 , 2 , 1,41 Y X2143134201/4001/81/8001/121/1201/121/161/161/161/16结束放

16、映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度【定义【定义3.4】如果存在二元非负函数如果存在二元非负函数f (x，y)，使得二维，使得二维随机变量随机变量(X，Y)的分布函数的分布函数F(x，y)可表示为可表示为则称则称(X，Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，称，称f(x，y)为为(X，Y)的的概率密度概率密度，或，或X与与Y的的联合概率密度联合概率密度显然，在显然，在F(x，y)偏导数存在的点上有偏导数存在的点上有 xydudvvufyxF),(),(yxyxFyx

17、f ),(),(2结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度【定义【定义3.4】如果存在二元非负函数如果存在二元非负函数f (x，y)，使得二维，使得二维随机变量随机变量(X，Y)的分布函数的分布函数F(x，y)可表示为可表示为则称则称(X，Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，称，称f(x，y)为为(X，Y)的的概率密度概率密度，或，或X与与Y的的联合概率密度联合概率密度联合概率密度有如下性质：联合概率密度有如下性质：(1) 非负性：非负性：f(x，y) 0(2

18、) 归一性：归一性：1),( dxdyyxf xydudvvufyxF),(),(结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度【定义【定义3.4】如果存在二元非负函数如果存在二元非负函数f (x，y)，使得二维，使得二维随机变量随机变量(X，Y)的分布函数的分布函数F(x，y)可表示为可表示为则称则称(X，Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，称，称f(x，y)为为(X，Y)的的概率密度概率密度，或，或X与与Y的的联合概率密度联合概率密度联合概率密度有如下性质：联合

19、概率密度有如下性质：(3) 随机变量随机变量(X, Y)落在平面上某个区域落在平面上某个区域G内的概率为内的概率为dxdyyxfGYXPG ),(),( xydudvvufyxF),(),(结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度【例【例3-5】已知随机变量】已知随机变量X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为试求试求PX Y解：解：由联合概率密度的性质由联合概率密度的性质3知：知：积分区域积分区域(x,y)|x y与与f(x, y)取值取值非零的区域的交集如图非零的区

20、域的交集如图3-2中阴影部分中阴影部分 其其它它, 00,0 ,),()(yxeyxfyx dxdyyxfYXPyx ),(Oyx2 . 3图图xy yx 结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度【例【例3-5】已知随机变量】已知随机变量X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为试求试求PX Y解：解： 其其它它, 00,0 ,),()(yxeyxfyxYXP Oyx2 . 3图图xy 0)(dydxexyx 0dydxeexyx 02dxex21 dxdyyxfyx )

21、,(x结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度【例【例3-6】设二维随机变量】设二维随机变量(X，Y)具有概率密度具有概率密度求分布函数求分布函数F(x，y)解：解： 其它其它, 00, 0,2),()2(yxeyxfyx),(yxF yxdydxyxf),( 其它其它0,0,),),- -)(1)(1- -(1(10, 02yxee-yx-),(yxOyx1 . 3图图, 00, 0 yx yxyxdxdye00)2(,2其它其它结束放映结束放映3.1 3.1 多维随

22、机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.5 3.1.5 常用二维分布常用二维分布1. 1. 二维均匀分布二维均匀分布【定义【定义3.5】设设G是平面上的一个有界区域，其面积为是平面上的一个有界区域，其面积为A，令令以以f(x，y)为概率密度的二维随机变量为概率密度的二维随机变量(X，Y)称为服从区称为服从区域域G上的均匀分布上的均匀分布 其它其它, 0),(,1),(GyxAyxf结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.5 3.1.5 常用二维分布常用二维分布1. 1. 二维均匀分布二维均匀分布【例【例3-7】设】设( X，Y )服从区域服

23、从区域G：0 x 2；0 y 2上上的均匀分布，求的均匀分布，求P| X Y | 1解：解：设设D表示区域表示区域| x y| 1, 由于由于( X, Y )的概率密度为的概率密度为所以所以 其其它它, 0),(,41),(Gyxyxf1| YXPdxdyyxfyxD 1|:|),(结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.5 3.1.5 常用二维分布常用二维分布1. 1. 二维均匀分布二维均匀分布【例【例3-7】设】设( X，Y )服从区域服从区域G：0 x 2；0 y 2上上的均匀分布，求的均匀分布，求P| X Y | 1解：解：设设D表示区域表

24、示区域| x y| 1, 由于由于( X, Y )的概率密度为的概率密度为所以所以 其其它它, 0),(,41),(Gyxyxf1| YXP图图3-3dxdyGD 4143 1/4 区域区域DG的面积的面积结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.5 3.1.5 常用二维分布常用二维分布2. 2. 二维正态分布二维正态分布【定义【定义3.6】如果二维随机变量如果二维随机变量(X，Y)的概率密度为的概率密度为则称则称(X, Y)服从二维正态分布服从二维正态分布, 记为记为(X, Y)N( 1, 2, 1, 2， )，其中，其中- 1, 1 0, -1

25、1 yx-yyxxyxfi,)()(2)()1(21exp121),(222221212122221 结束放映结束放映3.1 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布l3.1.5 3.1.5 常用二维分布常用二维分布2. 2. 二维正态分布二维正态分布二维正态分布概率密度的图形很像一顶四周无限延伸的二维正态分布概率密度的图形很像一顶四周无限延伸的草帽，其中心点在草帽，其中心点在( 1， 2)处，其等高线是椭圆处，其等高线是椭圆图图3-4为二维标准正态为二维标准正态分布分布N(0，0，1，1，0)的概率密度曲面图的概率密度曲面图图图3-4 二维标准正态分布概率密度图二维标准正态分布概

26、率密度图结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布二维随机变量的分布主要包含三个方面的信息，每个分二维随机变量的分布主要包含三个方面的信息，每个分量的信息，即边缘分布，两个分量之间的关系程度，即量的信息，即边缘分布，两个分量之间的关系程度，即相关系数，以及给定一个分量时，另一个分量的分布，相关系数，以及给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布，本节先讨论边缘分布即条件分布，本节先讨论边缘分布结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.1 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数【定义】设二维

27、随机变量【定义】设二维随机变量(X，Y)具有分布函数具有分布函数F(x，y)X和和Y都是一维随机变量，也各有对应的分布函数都是一维随机变量，也各有对应的分布函数FX(x)和和FY(y)，依次称为二维随机变量，依次称为二维随机变量(X，Y)关于关于X和关和关于于Y的的边缘分布函数边缘分布函数计算如下计算如下以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分量的分以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分量的分布函数，但由各个分量的分布函数不一定求出联合分布布函数，但由各个分量的分布函数不一定求出联合分布函数函数 )(xFX )(yFY ,YxXP),(limyxFy),( xF ,yYXP),(limy

28、xFx),(yF xXP yYP结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.1 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数【例【例3-8】设】设(X，Y)的分布函数为的分布函数为求关于求关于X和和Y的边缘分布函数的边缘分布函数FX(x)、FY(y)解：解：由定义知由定义知同理可求得（或由对称性可得）同理可求得（或由对称性可得） yxyxyxF,),2)(arctan2(arctan1),(2 ),(lim)(yxFxFyX )2)(arctan2(arctan1lim2 yxy )2(arctan12x yyyFY- - ,21a

29、rctan1)( xx- - ,21arctan1 结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【定义】设二维离散型随机变量【定义】设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则，则称称为为(X，Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律同理，同理，(X,Y)关于关于Y的分布律为的分布律为, YxXPxXPii, 2 , 1,11 ipyYxXPjijjji, 2 , 1,1 ipxXPpjijii, 2 , 1,

30、1 jpyYPpiijjj结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例【例3-9】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字个球上标有数字0，现从中，现从中(1) 有放回地摸两个球，有放回地摸两个球，(2) 无放回地摸两个球并以无放回地摸两个球并以X表示第一次摸到的球上标表示第一次摸到的球上标有的数字，以有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个

31、边缘分布律的联合分布律及其两个边缘分布律解：解：(1) (X，Y)所有可能取值为：所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则00 YPXP2595353 0, 0 YXP10 YPXP2565253 1, 0 YXP结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例【例3-9】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字个球上标有数字0，现从中，现从中(1) 有放回地摸两个球，有放回地摸两个球，(2

32、) 无放回地摸两个球并以无放回地摸两个球并以X表示第一次摸到的球上标表示第一次摸到的球上标有的数字，以有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律的联合分布律及其两个边缘分布律解：解：(1) (X，Y)所有可能取值为：所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则同理同理 于是于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：的分布律和边缘分布律如下：,2560, 1 YXP2541, 1 YXP结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二维离散型

33、随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例【例3-9】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字个球上标有数字0，现从中，现从中(1) 有放回地摸两个球，有放回地摸两个球，(2) 无放回地摸两个球并以无放回地摸两个球并以X表示第一次摸到的球上标表示第一次摸到的球上标有的数字，以有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律的联合分布律及其两个边缘分布律解：解：(1) YX01PX = xi09/256/253/516/254/252/5PY = y

34、j3/52/51结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例【例3-9】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字个球上标有数字0，现从中，现从中(1) 有放回地摸两个球，有放回地摸两个球，(2) 无放回地摸两个球并以无放回地摸两个球并以X表示第一次摸到的球上标表示第一次摸到的球上标有的数字，以有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律

35、的联合分布律及其两个边缘分布律解：解： (2) (X，Y)所有可能取值仍然为：所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则0, 0 YXP1034253 0|00 XYPXP1, 0 YXP1034253 0|10 XYPXP结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例【例3-9】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字个球上标有数字0，现从中，现从中(1) 有放回地摸两个球，有放回地摸

36、两个球，(2) 无放回地摸两个球并以无放回地摸两个球并以X表示第一次摸到的球上标表示第一次摸到的球上标有的数字，以有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律的联合分布律及其两个边缘分布律解：解： (2) (X，Y)所有可能取值仍然为：所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则同理，同理，(X,Y)的分布律及边缘分布律为的分布律及边缘分布律为,1030, 1 YXP1011, 1 YXP结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二

37、维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例【例3-9】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字】设一只口袋中有五个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字个球上标有数字0，现从中，现从中(1) 有放回地摸两个球，有放回地摸两个球，(2) 无放回地摸两个球并以无放回地摸两个球并以X表示第一次摸到的球上标表示第一次摸到的球上标有的数字，以有的数字，以Y表示第二次摸到的球上标有的数字，求表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律的联合分布律及其两个边缘分布律解：解： (2) YX01PX = xi03/103/103/513/101/102/5P

38、Y = yj3/52/51结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例【例3.9】从上例可以看出，对于两种情况，从上例可以看出，对于两种情况，X，Y的边缘分布是的边缘分布是相同的，但相同的，但(X，Y)的分布不同，说明由联合分布可得到的分布不同，说明由联合分布可得到边缘分布，但由边缘分布却不一定能确定联合分布边缘分布，但由边缘分布却不一定能确定联合分布 YX01PX = xi03/103/103/513/101/102/5PY = yj3/52/51 YX01PX = xi

39、09/256/253/516/254/252/5PY = yj3/52/51结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为的分布函数为F(x，y)，概率密度为概率密度为f(x，y)，因为，因为X的分布函数为的分布函数为由连续型随机变量的定义知，由连续型随机变量的定义知，X是一个连续型随机变量，是一个连续型随机变量，且其概率密度为且其概率密度为同样，同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为也是一个连续型随机变量，

40、其概率密度为 xXdxdyyxfxFxF),(),()(dyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()(结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度【定义】设二维连续型随机变量【定义】设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为的分布函数为F(x，y)，概率密度为，概率密度为f(x，y)，称，称X，Y的概率密度的概率密度分别为分别为(X,Y)关于关于X，关于，关于Y的边缘概率密度的边缘概率密度dyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()(结束放映结束放映3.

41、2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度【例【例3-10】设二维随机变量】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为的联合概率密度为求边缘概率密度求边缘概率密度fX(x)和和fY(y)解：解：f(x,y)的非零区域如图所示的非零区域如图所示 其它其它, 0| , 10, 1),(xyxyxfy=xy=-xdyyxfxfX ),()( 其它其它 , 010,2xx 其它其它 , 010,xdyxx结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.

42、3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度【例【例3-10】设二维随机变量】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为的联合概率密度为求边缘概率密度求边缘概率密度fX(x)和和fY(y)解：解：f(x,y)的非零区域如图所示的非零区域如图所示 其它其它, 0| , 10, 1),(xyxyxfdxyxfyfY ),()( 其它其它 , 010 ,01 ,11ydxydxyy 其其它它 , 010 ,101 ,1yyyyy=xy=-x结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连

43、续型随机变量的边缘概率密度【例【例3-11】设】设 试求二维正态试求二维正态分布的边缘概率密度分布的边缘概率密度fX(x)和和fY(y)解：解：由于的概率密度为由于的概率密度为且且),(),(222121 NYX )()(2)()1(21exp121),(222221212122221 yyxxyxfi212122112221212222)()()(2)( xxyyxy 结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度【例【例3-11】设】设 试求二维正态试求二维正态分布的边缘

44、概率密度分布的边缘概率密度fX(x)和和fY(y)解：解：所以所以令令),(),(222121 NYXdyxyedyyxfxfxX )()1(21exp121),()(2112222)(2212121 )(1111222 xyt结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度【例【例3-11】设】设 试求二维正态试求二维正态分布的边缘概率密度分布的边缘概率密度fX(x)和和fY(y)解：解：则有则有即即故故XN( 1， 12)，同理，同理即即YN( 2， 22),(),(222

45、121 NYXdteexftxX 22)(12212121)( xexfxX,21)(21212)(1 yeyfyY,21)(22222)(2 结束放映结束放映3.2 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布l3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给定的，亦即对于给定的 1, 2, 1, 2，不同的不同的 对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布都是对应不同的二维正态分布，它们的边缘分

46、布都是一样的一样的.这一事实再次表明，单由关于这一事实再次表明，单由关于X和关于和关于Y的边缘分布，的边缘分布，一般来说不能确定随机变量一般来说不能确定随机变量X和和Y的联合分布的联合分布结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布l3.3.1 3.3.1 离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布【定义【定义3.7】设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为对一切使对一切使 的的yj ,称称为给定为给定Y=yj条件下条件下X的的条件分布律条件分布律, 2 , 1, 2 , 1, jipyYxXPijji01 iijjjppyYP, 2 , 1,|

47、ippyYPyYxXPyYxXPpjijjjijiji结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布l3.3.1 3.3.1 离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布【定义【定义3.7】设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为同理，对一切使同理，对一切使 的的 xi，称，称为给定为给定X=xi条件下条件下Y的条件分布律的条件分布律, 2 , 1, 2 , 1, jipyYxXPijji01 jijiippxXP, 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPpiijijiijij结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布【例【例3-

48、12】一名射手进行射击，击中目标的概率为】一名射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)，射击直至击中目标两次为止，设以，射击直至击中目标两次为止，设以X表示首表示首次击中目标所进行的射击次数，以次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射表示总共进行的射击次数，试求击次数，试求X和和Y的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律解：解：按题意按题意Y = n表示在第表示在第n次射击时击中目标，且在次射击时击中目标，且在第第1次，第次，第2次，次，第，第n 1次射击中恰有一次击中目标，次射击中恰有一次击中目标，已知各次射击是相互独立的于是不管已知各次射击是相互独立的于是不管m(mn)是

49、多少，是多少，概率概率其中其中q = 1 p，m = 1，2，n 1，n = 2，,nYmXP 22 nqp结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布【例【例3-12】一名射手进行射击，击中目标的概率为】一名射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)，射击直至击中目标两次为止，设以，射击直至击中目标两次为止，设以X表示首表示首次击中目标所进行的射击次数，以次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射表示总共进行的射击次数，试求击次数，试求X和和Y的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律解：解：其中其中q = 1 p，m = 1，2，n 1，n = 2，又又,nYmXP

50、22 nqpmXP nYP 1,mnnYmXP 122mnnqpqqpqpmmnn 112122 , 2 , 1,1 mpqm 11,nmnYmXP 1122nmnqp, 3 , 2,)1(22 nqpnn结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布【例【例3-12】一名射手进行射击，击中目标的概率为】一名射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)，射击直至击中目标两次为止，设以，射击直至击中目标两次为止，设以X表示首表示首次击中目标所进行的射击次数，以次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射表示总共进行的射击次数，试求击次数，试求X和和Y的联合分布律及条件分布律的联合分布律

51、及条件分布律解：解：其中其中q = 1 p，m = 1，2，n 1，n = 2，又又所求条件分布律为：所求条件分布律为：当当m = 1，2，时时,nYmXP 22 nqp, 2 , 1,1 mpqm|mXnYP 122 mnpqqp, 2, 1,1 mmnpqmnmXP 结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布【例【例3-12】一名射手进行射击，击中目标的概率为】一名射手进行射击，击中目标的概率为p(0p 0，则称，则称 为在为在Y = y的条件下的条件下X的条件概率密度，记为的条件概率密度，记为若对于固定的若对于固定的x，fX(x) 0，则称，则称 为在为在X = x的条的条件

52、下件下Y的条件概率密度，记为的条件概率密度，记为)(),(yfyxfY)(),(xfyxfX)(),()|(|yfyxfyxfYYX )(),()(xfyxfxyfXXY 结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布l3.3.2 3.3.2 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布【例【例3-14】设】设(X,Y)服从服从G=(x,y)|x2+y2 1上的均匀分布，上的均匀分布，试求给定试求给定Y = y的条件下的条件下X的条件概率密度的条件概率密度fX|Y (x | y)解：解：因为因为 由此得由此得y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 其它其它； , 01,1),(22yx

53、yxf 其它其它 , 0; 11,12)(2yyyfY 结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布l3.3.2 3.3.2 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布【例【例3-14】设】设(X,Y)服从服从G=(x,y)|x2+y2 1上的均匀分布，上的均匀分布，试求给定试求给定Y = y的条件下的条件下X的条件概率密度的条件概率密度fX|Y (x | y)解：解： 所以当所以当-1y1时，时，fY(y) 0, 所以，所以， 其它其它； , 01,1),(22yxyxf 其它其它 , 0; 11,12)(2yyyfY 其它其它 , 011,1211212222yxyyy )

54、(),()(|yfyxfyxfYYX 结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布l3.3.2 3.3.2 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布【例【例3-15】设数】设数X在区间在区间(0，1)上随机地取值，当观察到上随机地取值，当观察到X = x（0 x 1）时，数）时，数Y在区间在区间(x，1)上随机地取值，上随机地取值，求求Y的概率密度的概率密度解：解：按题意按题意X具有概率密度具有概率密度对于任意给定的值对于任意给定的值x（0 x 1），在），在X = x的条件下，的条件下，Y的条件概率密度为的条件概率密度为 其它其它 , 010, 1)(xxfX 其它其它 ,

55、 01,11)(yxxxyfXY结束放映结束放映3.3 3.3 条条 件件 分分 布布l3.3.2 3.3.2 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布【例【例3-15】设数】设数X在区间在区间(0，1)上随机地取值，当观察到上随机地取值，当观察到X = x（0 x 1）时，数）时，数Y在区间在区间(x，1)上随机地取值，上随机地取值，求求Y的概率密度的概率密度解：解：于是于是(X，Y)的概率密度为的概率密度为, 010, 1)( 其它其它 xxfX 其它其它 , 01,11)(yxxxyfXY 其它其它 0 0 , 01,11)()(),(yxxxfxyfyxfXXY结束放映结束放映

56、3.3 3.3 条条 件件 分分 布布l3.3.2 3.3.2 连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布【例【例3-15】设数】设数X在区间在区间(0，1)上随机地取值，当观察到上随机地取值，当观察到X = x（0 x 0, 即使即使fX(x)0, fY(z-x)0, x与与z必满足必满足0 x 1, z-x0，即，即z x, 0 x 1. 将将x与与z的关系描绘在的关系描绘在xOz平面上便是图平面上便是图3-7中的阴影部分中的阴影部分 , , 0, 10 , 1)(其它其它xxfX , , 0, 0 ,)(其其它它yeyfyY dxxzfxfzfYXZ)()()(结束放映结束放映3.

57、5 3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布3.5.2 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例【例3-24】设】设X和和Y是两个相互独立的随机变量，其概率是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为密度分别为 求：随机变量求：随机变量Z = X + Y的概率密度的概率密度解：解：(1) z0时，由于时，由于fX(x)fY(y)=0, 故故fZ(z)=0;(2) 0 z1时，时，(3) z 1时，时， , , 0, 10 , 1)(其它其它xxfX , , 0, 0 ,)(其其它它yeyfyY图图3-7ze 1)(zfZ zxzdxe0)( 10)(

58、dxexz)(zfZzee )1(结束放映结束放映3.5 3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布3.5.2 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例【例3-24】设】设X和和Y是两个相互独立的随机变量，其概率是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为密度分别为 求：随机变量求：随机变量Z = X + Y的概率密度的概率密度解：解：综上所述，综上所述， , , 0, 10 , 1)(其它其它xxfX , , 0, 0 ,)(其其它它yeyfyY 1,)1(10,10, 0)(zeezezzfzzZ结束放映结束放映3.5 3.5 二维随机变量函数的分布

59、二维随机变量函数的分布3.5.2 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例【例3-25】（最大值与最小值分布）设】（最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互独立的是相互独立的n个随机变量，若个随机变量，若Y=max(X1, X2, , Xn), Z=min(X1, X2, , Xn), 试在以下情况下求试在以下情况下求Y和和Z的分布的分布(1) 解：解：(1)Y=max(X1,X2, , Xn) 的分布函数为的分布函数为 (3.8) ),max()(21yXXXPyFnY niXnyFyXPyXPyXPi121)( ,21yXyXyXPn ;, 2 , 1),(nixFXiXi 结束放映结束放映3.5 3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布3.5.2 3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例【例3-25】（最大值与最小值分布）设】（最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互独立的是相互独立的n个随机变量，若个随机变量，若Y=max(X1, X2, , Xn), Z=min(X1, X2, , Xn), 试在以下情况下求试在以下情况下求Y和和Z的分布的分布(1) 解：解：(