河海大学弹性力学徐芝纶版张量分析ppt(本科)

1、第一节第一节 问题的提出问题的提出第二节第二节 矢量的基本运算矢量的基本运算第三节第三节 坐标变换及张量的定义坐标变换及张量的定义自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长坐标系引入后的相关表达式冗长 引入张量方法引入张量方法 A A1 指标符号指标符号),(n21ixi下标符号下标符号 i 称为指标；称为指标；n 为维数为维数指标指标 i 可以是下标，如可以是下标，如 xi 也可以是上标，如也可以是上标，如 xi nxx ,x21记作记作指标的取值范围如不作说明，均表示从指标的取值

2、范围如不作说明，均表示从13定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标 xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(一若干约定一若干约定 哑标和自由标哑标和自由标 1. Einstein求和约定求和约定 凡在某一项内，凡在某一项内，重复一次且仅重复一次重复一次且仅重复一次的的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为并称这样的指标为哑指标哑指标。

3、如：。如： n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa ),(又如：又如： zyx332211jjii重复不止一次的指标，求和约定失败重复不止一次的指标，求和约定失败 求和约定仅对字母指标有效，如求和约定仅对字母指标有效，如 同一项内二对哑标应使用不同指标，如同一项内二对哑标应使用不同指标，如 3311ijijijijija x xa x x z331234哑标可以换用不同的字母指标哑标可以换用不同的字母指标2.2.求导记号的缩写约定求导记号的缩写约定 jijijjxuux, ) () (22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k3.3.自由标自由标 定义：凡在同

4、一项内不重复出现的指标。如定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如 jijibxaj 为自由标为自由标 j=1 1313212111bxaxaxa同一个方程中各项自由标必须相同同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标，但所有项的不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变自由标可以改变 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：二二克罗内克（克罗内克（Kronecker-）符号）符号 定义定义： jijiij当当01由定义由定义 111213212223313233100010001ijIjiijii2222j3213j32j21j1iijdx

5、dxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性质：性质： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3, A A2 张量的定义和张量的定义和 代数运算代数运算 ia分量矢量 a标方向的单位矢量） ( 个坐基矢量3 e e e321 33221iiaaaaeeeea1说明说明任意矢量可以表示为基矢量的线性组合任意矢量可以表示为基矢量的线性组合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1. 矢量的基本运算矢量的基本运算 基矢量点积基矢量点积 ijjiee 任意两矢量的点积任意两矢量的点积

6、babababajjiiijjijijieeba123矢量的基本运算还有叉积矢量的基本运算还有叉积 、混合积等、混合积等 点积点积 并矢（并乘）并矢（并乘） 定义：定义： jijieeeeabjijibaba展开共展开共9项，项， 可视为并矢的基可视为并矢的基 ije ejiba为并矢的分解系数或分量为并矢的分解系数或分量 2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e2. 平面笛卡儿坐标系旋转变换平面笛卡儿坐标系旋转变换1ee22x2x1x1x2x1x1x2x),j ,i ()cosji21 (jie ,e令：cossinsincosji)cos()cos()cos()cos(22122111e

7、,ee ,ee ,ee ,e则：1e2ee21e)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同样：21121 xxxxji）式得由（1 :jiTji比较ji为正交矩阵为正交矩阵引用指标符号：引用指标符号：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 讨论讨论: :上式的几何意义上式的几何意义说明说明 1基矢量具有与坐标分量相同的变换规律基矢量具有与坐标分量相同的变换规律jijieeeeijji2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律规律jijijjiivvvv

8、3. 三维情况三维情况jiijjijieeee 考虑一位置矢量考虑一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理同理jijixx同二维问题，可得同二维问题，可得ikkjij（正交性）（正交性）可试证：可试证：kijkji4. 张量定义张量定义 定义：在坐标变换时，满足如下变换关系定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量的量称为张量lkjillkkjjiiijklijklkkjji ilkji自由标数目自由标数目n张量的阶数；对于三维空间，张量的阶数；对于三维空间，张量分量的个数为张量分量的个数为3n个，变换式也有个，变换式也

9、有3n个。个。采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）采用并矢记号（不变性记法或抽象记法） ()ijklijkle e e e可写成上式的量也称为张量（第二种定义）可写成上式的量也称为张量（第二种定义）讨论讨论 ijk lTTijklTe ee e12上述表达式具有不变性特征；上述表达式具有不变性特征；张量分量张量分量 与坐标系有关；与坐标系有关；ijT3 在坐标变换时遵循相同的变换规律在坐标变换时遵循相同的变换规律ijT5.矢量与张量的点积矢量与张量的点积 ijiTaijiTe eae12左点乘：左点乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右点乘右点乘 :kiikj

10、ieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i时相等只有一般jiijTT, aTTaA A3 张量分析张量分析一一 .梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度力学中：力学中：几何方程与位移场的梯度有关几何方程与位移场的梯度有关转动量与位移场的旋度有关转动量与位移场的旋度有关平衡方程与应力场的散度有关平衡方程与应力场的散度有关1、哈密顿、哈密顿(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表可以表示为示为:iixiiee 可以证明可以证明, Hamilton算子具有张量的属性算子具有张量的属性,相

11、当相当于一阶张量。于一阶张量。2、梯度、梯度 1标量场标量场 iei321gradxxx,),( 为一阶张量矢量为一阶张量矢量 2张量场张量场 jieeijA A（1）左梯度）左梯度kjiijkkjjkiiAAeeeeee,A （2）右梯度）右梯度高一阶的张量场 ikjijkikjjkiAAeeeeee,A AA 一般3、散度、散度 1矢量场矢量场 ueeji jijjuu,divu为一标量为一标量2张量场张量场 （1）左散度）左散度kkkjieeeeejjkijijkjkiAAA,A （2）右散度）右散度kjjikjeeeeeejkjkjkkiijkjkiAAAA,A 4、旋度、旋度 1矢量

12、场矢量场 ueeeeeeeeujijik321 jijijikji321uuueuuuzyxcurjiee 2张量场张量场 （1）左旋度）左旋度jikrkrkjieeeeeeeeej,rkikrk,ijrjir jik,ijkjiAeAeeAA A（2）右旋度）右旋度jiijrjikjeeeeeeeeek,rijrkk,rji rkk,ijr ikkjiAeAeAeA AAA 一般二二. 高斯高斯Gauss公式公式SipjkVipjkdsnTdvT.,.式中，式中，S S是空间体积的封闭边界面，是空间体积的封闭边界面，n ni i为边为边界面界面S S的外法向方向余弦。的外法向方向余弦。 ,SijVijdsnAdvA ,