第7讲--形函数、刚度矩阵

1、4.5单元刚度矩阵的性质与物理意义假设单元的结点位移如下： Te000001 ixmyixmxixjyixjxixiyixixymxmyjxjyixiKKKKKKFFFFFF,得到结点力如下：2.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 单元刚度矩阵的物理意义： 将 写成分块矩阵 写成普通方程 其中 表示结点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。mjimmmjmijmjjjiimijiimji KKKKKKKKKFFF K K KF K K KF K K KFmmmjmjimiimjmjjjijijmimijijiiii eF rsK eF iiiii

2、jjimmjjiijjjjmmimiimjjmmmFK K K FK K K FK K K rsK2.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 单元刚度矩阵的物理意义： 将结点力列矩阵 与结点位移列矩阵 均展开成(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵： 元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。 eF emmjjiimmmmmjjmmiimmmmmjmjmimimjmmjjjjjjiijmjmjjjjjijijimmiijjiiiiimimijijiiiiimmjjiivuvuvu KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKV

3、UVUVU eFiiiiijijimimiiiijimimiiijijijijjjjjmjmjjijjjmjmjijjjmimjmmmmmimjmmimjmmmmmimjmKKKKKKUKKKKKKVKKKKKKUKKKKKKVKKKKKKUKKKKKKV e2.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 单元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如 表示结点j在垂直方向产生单位位移时，在结点i所需要施加的水平结点力的大小。mj,i,Sss

4、rssrrm)j,i,)(rvKu(K UrrssrssS i, j, mV (K uK v )(ri, j,m)rssrsrsr，K，K，KKjiKrssrsrsS i, j,mrrssrssS i, j,mU (K uK v )(ri,j,m)V (K uK v )(ri,j,m)rsrsrsrsK ，K ，K ，KijK2.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 单元刚度矩阵的性质： 1)对称性： 是对称矩阵 2)奇异性： 是奇异矩阵， 单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。 eKe

5、K0 eK eKeK0表示s结点在水平方向产生单位位移时，在结点r的垂直方向上需要施加的结点力。sxryK,sxrxK,表示s结点在水平方向产生单位位移时，在结点r的水平方向上需要施加的结点力。选择不同的单元结点位移，可以得到单元刚度矩阵中每个元素的物理含义：syrxK,表示s结点在垂直方向产生单位位移时，在结点r的水平方向上需要施加的结点力。syryK,表示s结点在垂直方向产生单位位移时，在结点r的垂直方向上需要施加的结点力。单元刚度矩阵中每个元素都可以理解为刚度系数，即在结点发生单位位移时所需要施加的结点力。单元刚度矩阵的性质：1）对称性2）奇异性3）对角线上的主元恒正首先证明单元刚度矩阵

6、的对称性，即TeeKK)()(sTTrTrTsTsrBDBBDBKrssTrTsrKBDBKTDD假定单元产生了x方向的单位位移的刚体移动，Te010101 再证明单元刚度矩阵是奇异的，即0eKTeTK010101 000000对应的单元结点力为零，可以得到，在单元刚度矩阵中1，3，5列中对应行的系数相加为零，由行列式的性质可知，单元刚度矩阵是奇异的。如何说明单元刚度矩阵对角线上的元素恒正？4.6整体分析整体分析包括以下4个步骤：1）建立整体刚度矩阵，2）根据约束条件修改整体刚度矩阵，3）解方程组，求出结点的位移，4）根据结点位移，求出单元的应变和应力。建立整体刚度矩阵的基本方法是刚度集成法，

7、即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。刚度集成法的物理意义 结构中的结点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的元素是相关单元的单元刚度矩阵元素的集成。刚度矩阵集成的规则：1）将单元刚度矩阵中的每个分块放到在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵。2）将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。单元刚度矩阵元素取决于单元结点的局部编号顺序，必须知道单元结点的局部编号与该结点在整体结构中的总体编号之间的关系。例2.7、图示结构的单元结点的局部编号与整体的对应关系如下： 求结构的整体刚度矩阵。单元（2）的单元扩大刚度矩阵的分块矩阵形式如下，只列出非零的分块：整体刚度矩阵编程实现整体刚度矩阵

8、集成NEC(i,1)，表示单元(i)中I结点的整体编号；NEC(i,2)，表示单元(i)中J结点的整体编号；NEC(i,3)，表示单元(i)中M结点的整体编号。分块矩阵Krs中的系数按以下地址加入整体刚度矩阵：在编制有限元程序时，可以用一个二维数组来保存单元结点的局部编号与该结点在整体结构中的总体编号之间的关系。假定最大单元数目为NELEM，用Fortran语言可以定义以下数组，DIMENSION NEC(NELEM,3)数组的行与单元对应，数组的第1列为单元中I结点的整体编号，第2列为单元中J结点的整体编号，第一列为单元中M结点的整体编号。例如，NEC(2,1)=5，表示单元(2)中I结点的

9、整体编号为5；NEC(2,2)=2，表示单元(2)中J结点的整体编号为2；NEC(2,3)=4，表示单元(2)中M结点的整体编号为4。 例2.8、对于例2.6给出的有限单元网格，单元结点的局部编号顺序如下：e1(1,2,3)，e2(2,4,5)，e3(2,5,3)。试给出整体刚度矩阵。单元1的扩大刚度矩阵，0000000000000000)1()1()1()1()1()1()1()1()1(mmmjmijmjjjiimijiiKKKKKKKKK单元2，0ibabjabmaciacj0mc2102121021011021232112121121232101102102121021)1 (22)2(EtK单元2的单元刚度矩阵单元2的扩大刚度矩阵，)2()2()2()2()2()2()2()2()2(0000000000000000mmmjmijmjjjiimijiiKKKKKKKKKabi0jbabm0icacjacm单元3，2321121212123212111100212102121021210212101001)1 (22)3(EtK单元3的单元刚度矩阵单元3的扩大刚度矩阵，)3()3()3()3()3()3()3()3()3(0000000000000000jjjmjimjmmmiijimiiKKKKKKKKK假定