《高等代数一》知识点_6927

1、高等代数知识点第一章多项式1 数域的定义、 常见数域2 （系数在）数域P 上的多项式的定义3 多项式相等4 多项式的次数、零多项式和零次多项式5 一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理6 整除的定义：gxfxfxg x h x （证明，不整除则用反证法）、因式和倍式7 整除的性质：（ 1） 一些特殊的整除性（ 0，常数，自身）（ 2） 整除的反身性（ 3） 整除的传递性（ 4） 整除的组合性8 带余除法 f x q x g xrx 、综合除法9 整除的判定法则：余式为零10整除不受数域的影响11公因式及最大公因式的定义、f x , g x ， 0, g( x)g ( x) ，

2、0,0 012最大公因式的求法（辗转相除法）P44：513最大公因式可以表示为fx , gx 的一个组合 d ( x)u( x) f (x) v( x) g (x) 45： 814互素的定义15互素的相关定理（证明）P45： 12、14（ 1）fx , g x11u( x) f (x)v( x) g( x)（ 2）f x , g x1, f x g x h xf x h x（ 3）f1 x g x , f 2 x g x , f1 x , f2 x1, f1 x f 2 x g x16不可约多项式的定义（次数大于等于1）17平凡因式、不可约等价于只有平凡因式18可约性与数域有关19不可约多项式

3、的性质：（1）p x不可约，则 cpx 也不可约（2）p x不可约，f xP x ,p( x) | f (x), orf (x), p( x) 1（3）p x不可约， pxfx g xp(x) | f ( x), orp x g x20标准分解式 f (x)cp1r1 (x) p2r2 (x)psrs ( x)21K 重因式的定义、微商的定义22重因式的相关定理：px 是不可约多项式（1）若 px 是 fx 的 K重因式，则p x是 fx 的 K1 重因式（2）p x是f x的重因式p(x) | f ( x),p(x) | f ( x)（f (x), f ( x) 1）（3）f x 没有重因式

4、f ( x), f(x)1（ 4）p x是 f x的K重因式p( x)为 f (x), f ( x) 的 K 1 重因式（ 5）f (x), f ( x)cp1r1 ( x) p2r2 (x)psrs ( x)pi ( x)为f (x)的ri1重因式23多项式函数的定义24余数定理 f (x)(xc) q( x)rrf (c)25因式定理 (xc)f ( x)f (c)0 P45:1926重根与重因式的关系：c是f ( x)的k重根( x c)是 f ( x)的k重因式 ，但是有重因式未必有重根27求重因式P45： 1628根的个数定理：( f ( x)n根的个数至多为 n个29函数相等的判断

5、定理：( f (x), ( g( x) n, f (ai )g(ai ), i 1,n 1 f ( x)g( x)30多项式相等与函数相等的一致性31代数基本定理： 复数域上的多项式必有一根，必有一个一次因式，复系数多项式的不可约多项式只有一次多项式32复系数多项式的因式分解定理：唯一地分解为一次因式的乘积33n 次复系数多项式有 n 个复根，重根按重数计算34实系数多项式的复根定理35实系数多项式的因式分解定理：唯一地分解为一次和二次不可约因式的乘积36有理数域上存在任意次不可约多项式37复系数实系数多项式的标准分解式、4 次的因式分解38本原多项式的定义、性质：（ 1） 任给一个有理系数多

6、项式总可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的） （ 2） Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是本原多项式39 整系数多项式的因式分解定理： 若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积40求有理系数多项式的有理根的方法（结合综合除法验证）P46： 2741艾森斯坦 (Eisenstein)判别法 P46： 28第二章行列式1 二级、三级行列式的计算（对角线法则）2 排列、逆序、逆序数、排列的奇偶性、对换的定义3 逆序数的求法96： 5、对换改变奇偶性4 n 级行列式的定义及计算P9

7、7:85 特殊行列式的计算6 行列式的性质（转置、换行（冒泡）、数乘、和、线性运算）7 余子式、代数余子式的定义及相关计算（A11A12A13）8 行列式按行（列）展开法则（=D ， =0）9 行列式的计算（降阶） （四阶、 P98： 13（ 1）（3）（ 4）10行列式的证明 （ n 级字母型： 按行列展开、 以第一行为标准加减、各列加到第一列、相邻行相加减、加一行一列）P99：17（ 1）（ 2）（ 3）、 18（ 1）（ 5）11范德蒙德行列式及应用（转置换行）12克拉默法则及解的判定定理（非齐次方程组有唯一解D0，齐次方程组有非零解D 0）第三章线性方程组1 线性方程组、解、同解的概念

8、2 线性方程组的初等变换3 矩阵的定义、初等变换及应用，行阶梯形、行最简形矩阵4 解线性方程组5 向量的定义、表示（行向量与列向量）、相等6 特殊向量（零向量、负向量）7 向量的运算（加法和数乘）及运算性质8 向量空间的定义9 线性组合的定义：对应的非齐次线性方程组有解、向量组线性表出P154:1210向量组等价的定义、等价的性质（反身性、对称性、传递性）11线性相关定义：有一个向量可以由其余向量线性表出12线性相关等价定义：存在不全为零的K 使得等式成立对应的齐次线性方程组有非零解13线性无关：对应的齐次线性方程组只有零解（证明）（ P155:6）14线性相关（无关）的判定（用矩阵的秩来判定

9、）15线性相关（无关）的性质：（ 1） 单个向量、两个向量的相关性（ 2） 单位向量组线性无关（ 3） 含有零向量的向量组必线性相关（ 4） 整体与部分的相关性（整体无关则部分无关，部分相关则整体相关）（ 5） 线性无关的向量组扩维后还是线性无关的（ 6）设1 , 2 ,r 与1 , 2 ,s 是两个向量组。如果1）向量组1 , 2 ,r 可以经过 1, 2, s 线性表出； 2） rs ，那么向量组1,2, ,r 必线性相关。（7）任意 n+1 个 n 维向量必线性相关 .（特例）（8）如果向量组1, 2 , , r 可由向量组1, 2 , , s 线性表出，且1 , 2 , , r 线性无

10、关，那么 rs （逆否）（9）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量. （逆否 +向量组等价）16极大线性无关组的定义：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话 )，所得的部分向量组都线性相关。 （不唯一）17极大线性无关组的性质：（ 1） 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价（ 2） 一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.（ 3） 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量18向量组的秩的定义： 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩19向量组的秩与其线性无关性之间的关系（

11、 1） 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同（ 2） 等价的向量组必有相同的秩20向量组的极大无关组及其秩的求法P155： 1121矩阵秩的定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵 A 的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩,记作 R(A).22矩阵的秩与行列式之间的关系：|A| 0R( A)n,| A | 0R( A)n23矩阵的子式的定义24矩阵的秩与其子式之间的关系：R(A)=r充要条件是矩阵 A 中有一个 r 级子式不为零，同时所有 r+1 级子式全为零25矩阵的秩的计算26极大线性无关组的求法27非齐次线性方程组有解的充分必要条件：系数矩阵与增广矩阵有相同的秩28非齐次线性方程组解的判定（三种）（参数型讨论；求解） P157： 1929齐