节矩阵的初等变换

1、1.6 矩阵的初等变矩阵的初等变换换 三种初等变换对应于三种初等矩阵三种初等变换对应于三种初等矩阵.一般地，对一般地，对于于 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E，有，有 交换交换 E 的第的第 i、j 行行(列列) ( i j )，得到的初等，得到的初等矩阵记作矩阵记作 P ( i , j ): 10.1111.01),(jiP)()(行行行行ji)()(列列列列ji 11.0110.11I)()(行行行行ji)()(列列列列ji 用非零常数用非零常数 k 乘以乘以 E 的第的第 i 行行(列列)，得到的，得到的矩阵记作矩阵记作 P( i(k) ), 1111)(kkiP行行i列列i 将将 E 的第

2、的第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行行(或或第第 i 列的列的k 倍加到第倍加到第 j 列列) ( i j )，得到的初等矩阵记，得到的初等矩阵记作作P( i，j(k) ), 11.011.11)(,kkjiP)()(行行行行ji)()(列列列列ji可以直接验证，初等矩阵具有以下性质：可以直接验证，初等矩阵具有以下性质： ),(),(1jiPjiP kiPkiP1)(1)(,()(,(1kjiPkjiP 矩阵的初等变换和初等矩阵有着非常密切的关系矩阵的初等变换和初等矩阵有着非常密切的关系.由下面的定理给出由下面的定理给出. 左行右列左行右列BAji行行交交换换第第 ,BAji列列交

3、换第交换第 ,AjiP),( ),(jiAP BAik 行行乘第乘第0BAik 列列乘乘第第0AkiP)( )( kiAP BAikj行行倍倍加加到到第第行行的的第第BAikj列列倍倍加加到到第第列列的的第第AkjiP)(,( )(,(kijAP 设设 654321A分别将分别将 A 的第一、二行互换和将的第一、二行互换和将 A 的第一列的第一列的的 2倍加到第二列，求出对应的初等矩阵，倍加到第二列，求出对应的初等矩阵，并用矩阵乘法将这两种变换表示出来并用矩阵乘法将这两种变换表示出来.的乘法的乘法的初等变换转化为矩阵的初等变换转化为矩阵通过它将矩阵通过它将矩阵初等矩阵的主要作用是初等矩阵的主要

4、作用是TTPAPCDAPPCCPAPCBAPPCAPCBBAA .,100010011,211,12,3211则则记记列得列得倍加到第倍加到第列的列的的第的第再将再将行得行得行加到第行加到第的第的第将将阶矩阵阶矩阵为为设设例例*.,)2(3BADBACBABBAABAnnA 矩阵矩阵的第一行与第二行得到的第一行与第二行得到交换交换矩阵矩阵的第一列与第二列得到的第一列与第二列得到交换交换矩阵矩阵的第一行与第二行得到的第一行与第二行得到交换交换矩阵矩阵的第一列与第二列得到的第一列与第二列得到交换交换则则矩阵矩阵的第一行与第二行得到的第一行与第二行得到交换交换可逆矩阵可逆矩阵阶阶为为设设例例 OOO

5、Er行行r 列列r 0.0.000.0.000.1.000.0.100.0.01D )()()()(rnrmrrmrnrrOOOI mnmmnnaaaaaaaaaA.212222111211 mnmnnaaaaaaa.0.0.222211211 mnmnaaaa.0.00.012222 mnmnaaaa.0.00.012222D 求下列矩阵的等价标准形求下列矩阵的等价标准形 153541132)1 523012101)2 OOOEQQAQPPPrts2112 OOOEPAQr 证明证明证明证明A 可逆的充分必要条件是存在可逆的充分必要条件是存在 n 阶初等阶初等矩阵矩阵P1, P2, , Ps

6、和和 Q1, Q2, , Qt, 使得使得PsP2 P1A Q1Q2Qt= E,而而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有A = P1-1P2-1Ps-1E Qt-1Q2-1Q1-1= P1-1P2-1Ps-1Qt-1Q2-1Q1-1 .证毕证毕证毕证毕A A可逆可逆kGGGA.21 阶初等矩阵。阶初等矩阵。均为均为其中其中nGGGk,.,21kGGGA.211 AGGGAAk.211 1, AEEA初等行变换初等行变换AGGGEk.21 EGGGAk.211 求下列矩阵的逆矩阵求下列矩阵的逆矩阵323513123)25231)A）行初等变换法求逆矩阵的计算形式，还可行初等变换法求逆矩阵的计算形式，还可以用于以用于求解形如求解形如AX = B的矩阵方程的矩阵方程. A 为已知的为已知的 n 阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，B 为为已知的已知的 n m 矩阵，矩阵，X 为未知的为未知的 n m 矩阵矩阵. 求解矩阵方程求解矩阵方程 AX = A + 2X , 其中其中 321011324A直接求逆矩阵直接求逆矩阵解法一解法一.9122692683 X行初等变换法行初等