第七章IIR滤波器设计

1、15.1 数字滤波类型与指标 5.2 模拟滤波器设计方法5.3 设计IIR滤波器-脉冲响应不变法5.4 设计IIR滤波器-双线性变换法5.5 设计IIR滤波器-频率变换法5.6 设计IIR滤波器-z平面变换法 第5章 IIR数字滤波器设计 2l滤波的目的： 为了压制输入信号的某些频率成分，改变信号频谱中各频率分量的相对比例5.1 数字滤波类型与指标 )()()()()()(jjjeHeXeYnhnxny3l广义滤波包括对信号的检测与参量的估计l信号的检测:确定在干扰背景中信号是否存在l信号参量的估计:为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值l滤波技术包括:l滤波器设计:根据给定滤波器的频

2、率特性，求得满足该特性的系统函数 l滤波过程的实现：获得系统函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的4DF按频率特性分类：-低通、高通、带通、带阻和全通特点：l数字频率以 周期2l频率特性只限于 范围，依采样定理，对应于 实际模拟采样频率的一半 l频率变量以数字频率 表示,其中 模拟角频率，T采样时间间隔， 采样频率sf)(sfT5s/2cs2)(jXa0-s2ss(b)-ccccaajXjX, 0),()(S/2)( jXassff2/fT/0fsfs22/sf2/sfsf2s/2s/s2006注意：数字滤波器和模拟滤波器的区别 数字滤波器的频率响应都是以 为周期的，滤波2器的低通频

3、带处于 的整数倍处，而高频频带处于 的奇数倍附近。2理想滤波器的频率响应 7l性能指标描述 滤波器的指标通常都在频域给出，数字滤波器的频率响应一般为复函数，表示为 kHeeHeHjjj其中 称为幅频响应， 称为相频响应。jeH )(Im)(Re)(22jjjeHeHeH)(Re)(Im)(jjeHeHarctan zH系统函数： nh滤波器的单位脉冲响应：8DF的技术指标（低通为例）1：通带容限2：阻带容限ps：过渡带9ps：过渡带TppTss阻带sjeH2pjeH1111通带10通带下限上限截至频率阻带截至频率 p2p1,s2s1,通带频率处的衰减p阻带频率处的衰减s通带（允许的）最大衰减滤

4、波器的设计步骤与实际的要求及实现的硬件条件有关-运算结构、量化方法零极点累试法：适用于简单的低阶网络频率响应的几何确定法 1111jjz eMMjrrrrNNjkkkkH eH zecCAAedD 其中 和 分别为的零点和极点。因此除了一个常数 之外，系统函数可完全由它的零极点来决定。 kckd H zAl若需设计滤波器的幅频特性是任意的或者形状比较复 杂，可采用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计l设计思想)(jdeH 希望的滤波器幅频响应： )(jeH 设计的滤波器幅频响应： 选择一种最优化的准则，例如采用最小均方误差准则最优化设计法212MijjdiieHeH 改变 的系数 ,iib

5、a,使均方误差 最小 当滤波器阶数N较高时，转换为一个多变量最优化问题，需要大量的迭代运算，因此必须采用计算机。 zH对一组离散的频率点 Mii, 2 , 1,利用模拟滤波器的理论设计：5.2 模拟滤波器的设计 l模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题。l由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换），将它转换成满足给定指标的数字滤波器。l这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。

6、一、模拟滤波器设计的基本概念 1 模拟滤波器的频率特性与衰减特性 jsaasHjH| )()( 工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，一般用反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义dBjHjHAaa| )(|lg20| )(|lg10)(2)(eHeHeHAppjjj0p11lg20)(lg20)()(lg2020slg20)(Hlg20)(H)(Hlg20sseeeAjjj2 由幅度平方函数确定系统函数 )()(| )(|2jHjHjHaaa 由于滤波器冲激响应 是实函数，因而 具有共轭对称性，所以)(tha)( jHa)()(jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH)()(

7、)()(| )(|2 由于 的零、极点共轭成对出现 的零、极点必成象限对称。)(sHa)()(sHsHaa 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数2| )(|jHa来表示，即由 确定 的方法 sHa2| )(|jHa 1）由 得到象限对称的 平面函数。)()(| )(|222sHsHjHaasas 3）按照 与 的低频特性对比，或高频特性对比，确定出增益常数 。)(sHa)( jHa0K2）将 因式分解，得到各个零点和极点。)()(sHsHaa极点选择：为稳定，选择左平面的极点作为)(sHa)(asH平面的极点作为 的极点。的极点，右零点选择：没有特殊要求，可将对称零点的任意；如果要求最小相位延迟

8、特性，则)(sHa)(sHa的零点取左半平面。一半分配给 4）由zeros、poles、 得例4-1 给定滤波器的幅度平方函数)9)(4(14)(22222jHa求具有最小相位特性的传输函数 。)(sHa0KnmapspspszszszsKsH10100)(332214)9)(4(14)()(222222sssssssssHsHaa其极点为 ；零点为 （皆为二阶，位于虚轴上）。3, 2ssjs 为了系统稳定，选择左半平面极点 及一对虚轴共轭零点 作为零、极点，并设增益常数为 ，则3, 2ssjs0K 解： 由于 是非负有理函数，它在2)( jHaj是偶次的，所以满足幅度平方函数条件，的表达式，

9、可得js2)( jHa轴上的零点将 代入321)(20sssKsHa 按照 和 的低频特性或高频特性对比可以确定增益常数，在这里我们采用低频特性，即由 sHajHa 00jHsHasa的条件可得增益常数 ，因此20K2222)(2ssssHa二、寻找一个恰当的近似函数来 逼近理想特性逼近问题l最常用的滤波器逼近函数：l巴特沃思(Butterworth)滤波器l切比雪夫(Chebyshev)滤波器l椭圆(elliptic)函数或考尔（Cauer）滤波器l实现线性相位的贝塞尔滤波器三、巴特沃思Butterworth低通滤波器 1特点-用巴特沃思函数近似滤波器的系统函数l幅频特性在通频带内最平坦特性

10、l在通带和阻带里单调下降l频率选择性差 归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性 半功率点242 BW低通模平方函数NcajH22)/(11| )(|lButterworth滤波器的主要特征：(1) 对于所有N,(2) 对于所有N，(3) 是 的单调下降函数。(4) 随着阶次N的增大而更加接近于理想滤波器。201a= Hj=212ca= Hj= 2a Hj2a Hj25NcajjjH22)/(11| )(|代入jsNcaas/jsHsH2)(11)()(幅度平方的各极点N,kejsNk-jccNk221)() 1(212212/ 126极点分布特点：1) 的2N个极点以 为间隔均匀分布在半径为 的圆

11、上，这个圆称为Butterworth圆。)()(sHsHaaN/cjj2)所有极点以 轴为对称轴对称分布， 上没有极点。cs3)当N为奇数时，有两个极点分布在 上 当N为偶数时，实轴上没有极点27 NrrNkkNcaassBssAjssHsH11211其中 为左半平面极点， 为右半平面极点。A，B均为常数ksrs NkkassAsH1 21NkkkassssAsH 对于物理可实现系统,它的所有极点均应在s的左半平面上 。当N为偶数时，28模拟Butterworth滤波器传递函数为： 21NkkkNcasssssH式中 为左半平面极点， ，A由滤波器在 处的单位响应来确定，即ks的共轭极点是kk

12、ss0 NcNkNkckNkkkasAssAH2121222110当N为奇数时，也可得到同样的结果。式中 为左半平面极点， ，N为偶数。ks的共轭极点是kkss29模拟Butterworth滤波器传递函数为： 211NkkkcNcassssssH当N为奇数时系统函数的构成 )()(1kNkNcasssH平面左半平面巴特沃思圆周上的极点为N,kejsNk-jccNk21)() 1(212212/ 130由滤波器的设计指标参数ssppAA,求滤波器的阶次N和截止频率c)lg(2 ) 110() 110(lg1 . 01 . 0spAAspNNcsssNcpppjHAjHA2222)(11lg10)

13、(lg10)(11lg10)(lg10NA.scNA.pcsp210210110110或31巴特沃思滤波器系统函数求解步骤巴特沃思归一化低通滤波器分母多项式系数 Na1a2a3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.1

14、6341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.392511012211NNNNaasasasas的系数N 巴 特 沃 思 多 项 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(

15、s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)巴特沃思多项式系数因式分解34例 试设计一个巴特沃什低通滤波器，要求在 20rad/s处的幅频响应衰减不多于2dB，在 30rad/s处幅频响应衰减大于10dB。因此选N=4 解 按照题意，技术指标为10dB,302dB,20ssppAsradAsrad371. 3)lg(2 ) 110() 110(lg1 . 01 . 0spAAspN35因为

16、N=4，可得巴特沃什低通原型滤波器的系统函数为当 时，用 对 进行反归一化这就是要设计的巴特沃什低通滤波器。0.21/8c20/(101)21.387 4221( )(1 0.765)(1 1.848)Hsssssc21.387 c/s 6422s21.3870.209 10( )(457.4 16.37)(457.439.52)sHsssss sHa36或直接由Butterworth圆求解，左半平面极点为121221,2,3,4kjNkcsek 12341122( )()()()()()()()()NcaNcHsssssssssssssssss64220.209 10( )(457.4 16

17、.37)(457.439.52)Hsssss四、切比雪夫Chebyshev低通滤波器 巴特沃思滤波器的特性曲线，无论在通带还是阻带内都是频率的单调函数。因而当通带的边缘处满足指标要求时，通带内肯定会有富裕量，亦即会超出指标的要求，显然并不经济。所以更有效的设计方法应该是将指标的精度要求均匀地分布在通带或阻带内，或者同时分布在通带与阻带之内。这样，就可以用阶数较低的系统来满足要求，这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。切比雪夫滤波器的幅度特性就具有这种等波纹特性，将精确度均匀地分布在整个通带或阻带内，这样就可以用阶数较低的系统满足要求。37切比雪夫滤波器有两类:第一类是

18、在通带内有起伏波纹，阻带内单调第二类是在阻带内有起伏波纹，通带内单调1211 )( jHascA/ 10211 )( jHascA/ 10ssppAA,38第一类切比雪夫低通滤波器的平方幅频响应表示式: 为N阶切比雪夫多项式10,)/(11)(222a其中cNCjHNC1 )coshcosh(1 )coscos()(11xxNxxNxCN ( N ：阶数 由阻带指标确定)：通带截止频率，滤波器的某一衰减分贝处的c为限定的波纹系数， 越大，波纹起伏越大。 39通带宽度这一分贝数不一定是3dB第一类切比雪夫滤波器的主要特性为： 在通带内 在1和 之间等波纹振荡起伏 在截止频率 处幅频平方为 N为偶

19、数时 。 N为奇数时 。c1 211 2)( jHa21/1)0(jHa10 jHa211 在过渡区和阻带内 单调下降， 当其减小到 处时的频率称为阻带截 止频率 。21/ As 2)( jHa2ssmaxslg20)(lg20)()(lg20jHjHjHAChebyshev设计步骤1)通带截止频率 ，给定2) 表征通带内波纹的大小，由通带衰减确定1101 . 0pA3)阻带指标确定Npc)1lg(10)11/ 1lg(20)()(lg2022minmaxpjHjHAAAslg20数查表获得系统函数的系N,cssppAAA/ 12)/(cosh)1101(cosh)/(cosh)1A1(cos

20、h11 . 01121csAcssN)/(11)(222cNaCjH 1 )coshcosh(1 )coscos()(11xxNxxNxCNChebyshev滤波器的系统函数 NkkNNcasssH112求解归一化切比雪夫滤波器的系统函数01111112121)s (asasasssHNNNNNkkNacssaacsHsHss| )()(,反归一化，令a）查表，求解归一化切比雪夫分母多项式系数b）或者查表求解归一化切比雪夫分母多项式因式分解的系数 或者求解切比雪夫滤波器的极点，极点分布在椭圆上，直接求解实际切比雪夫滤波器系统函数 NkkNNcasssH112例： 试设计一切比雪夫低通滤波器，使

21、其满 足下述指标： 1 要求在通带内的波纹起伏 ； 2 通带截止频率为40rad/s； 3 阻带52rad/s处的衰减 。解 根据题意步骤如下第一步，对频率进行归一化处理。2pAdB20sAdB)1lg(1011lg20)()(lg2022minmaxpjHjHA（1）归一化截止频率为1rad/s。因为通带截止频率为 40rad/s；所需修正系数为1/40，则（2）阻带截止52rad/s处归一化处理 第二步，求波纹系数 以及参数A和N。140/1/40crad srad s 152/1.3/40srad srad s （1）pc(2) 因为As=20dB， 所以(3)10AAAslg2034)

22、/()1101()/()1A1(11 . 01121.coshcoshcoshcoshNcsAcss5N76501101 . 0.pA第三步，求滤波器归一化系数系统函数，分母查表)706. 0499. 1693. 0459. 0081. 0/(081. 05432sssss01111112121)s (asasasssHNNNNNkkNa将上式进行反归一化 变量代换，得到实际参数设计的滤波器传递函数40/ss l或者，查表，极点s的取值得因式展开式为l将上式共轭对写成二次实数因式将上式进行反归一化 变量代换，得到实际参数设计的滤波器传递函数5( ) 0.081/(0.21)(0.060.97)

23、(0.060.97)(0.170.06)(0.170.60)H sssjsjsjsj)39. 035. 0)(95. 0135. 0)(21. 0/(081. 0)(225ssssssH40/ss )(.)(./(.)(6241415204548102982265ssssssH1 Ap=2 dB2 通带截止频率40rad/s；3 阻带截止频率52 rad/s；4 As=20 dB。779. 9)lg(2 ) 110() 110(lg1 . 01 . 0spAAspN10N325.41110087.4111021 . 021 . 0NAscNApcsp如果用巴特沃思滤波器求解：5.3 脉冲响应不

24、变法 设计的过程是：l先根据技术指标要求设计出一个相应的模拟低通滤波器，得到系统函数 l按照一定的转换关系将设计好的模拟滤波器的系统函数 转换成为数字滤波器的系统数 l转换方法有两种：脉冲响应不变法 双线性变换法 ( )aHs)(zH( )aHs冲激响应不变法：使数字滤波器的脉冲响应序列等于模拟滤波器的冲激响应 的采样值，即 )(nh( )ah t( )( )()at nTah nh th nT1 变换原理 aHs 设模拟滤波器的传输函数 只有单阶极点，且分母阶数高于分子阶数，则 其拉普拉斯反变换1( )NiaiiAHsss 1( )iNs taiih tAe u t对 采样，得到数字滤波器的

25、单位脉冲响应 为11( )1iNisTiAH zez( )h n( )ah t1( )iNs nTaiih nhnTAeu nT 对 取z变换，即得到数字滤波器的系统函数( )h n 可见，s平面的极点 映射到z平面的极点 ，而对应系数不变。isisTe例 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器 22332asHsss极点： 。121,2ss 0.110.211111H zezez变换为数字滤波器 ，采样周期 。( )H z0.1Ts 解：模拟滤波器的传输函数 223113212asHsssss 因此，所求数字滤波器的系统函数为2 对脉冲响应不变法的进一步讨论 目的：研究 的z变换与 的拉普拉斯变换之

26、间的关系)(nha( )h t nnznhzH)(nh 比较序列 的z变换与 ，可得 nsnTanstastnastaaenThdtenTtthdtenTtthdtethsH)(nh ( )sTaz eH zHs 由于 ，将 代入，得sj ksaajkjHTjH1)( ksaezjksHTzHsT1 因此ksaajksHTsH1)( zHjksHTlnTsksaz11 zH与 的周期延拓建立了关联！ sHa 令 ， 得sj jzrejTj Treee3 s平面与z平面的映射关系sTze 因此 TreT 讨论：（1） ，表明s平面虚轴映射为z平面的单位圆。0,1r（2） ，表明s左半平面映射为z

27、平面的单位圆内部，而s右半平面映射为z平面的单位圆内部。0,1;0,1rr s平面上每一条宽为 的横条，都将重叠的映射到整个z平面上。脉冲响应不变法不是从s平面到z平面的简单映射关系。2T4 频率混叠效应 根据时域采样理论，采样序列 的z变换与模信号 的拉普拉斯变换之间满足如下关系 h n aht ksaaezjksHTsHzHsT1)( 将 数字滤波器的频率响应 sjT 和=kajkTjTjHTeH21 数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓。 与时域采样定理吻合！脉冲响应不变法中的频率混叠现象 只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于折叠频率以内，即 有 0,aHjT ,1TjHTeH

28、aj 此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。 但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠失真。 答：当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰减越大时，混叠失真就越小。 问题：要求混叠失真小，对模拟滤波器的频响有何要求？混叠TTfs63(2) 根据技术指标设计 ，并将其写为 (3) 获得冲激响应不变法设计的数字滤波器的系统函数 冲激响应不变法设计数字滤波器的过程可以归纳为以下几点：(1) 确定模拟滤波器的技术指标；( )aHs1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkAH zez单阶极点，分母多项式的阶数大于分子多项

29、式阶数,N,cssppAA5 优缺点 1）数字滤波器的单位脉冲响应完全模拟模拟滤波器的冲激响应，所以时域逼近良好。 2）频率变化是线性关系 ，频率特性形状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重 ）。T 缺点：优点： 会产生频率混叠现象。只适合带限滤波器（如低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。651）消去T的影响 )()(TjHTeHaj16 几点修正 数字频率响应与模拟频率响应的差别是具有一个乘法因子 ，当采样频率 很高时，将使滤波器的增益很大，对下式作修正：sfT 1sf nTttThnh令662）直接用数字频率 求 在实际滤波器设计中，模拟滤波器系统函数的表格都是归一化

30、低通原型 ，其滤波器截止频率都归一化在 。c 1Hsa( ) 原因：设计公式及有关参数表格化，通用化。只要知道滤波器的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。)/()(casHsHc)(zH 当滤波器的实际截止频率不等于1时，须进行反归一化，以( )代替 中的s，即实际低通滤波器的系统函数 应为Hsa( )cs )(sH67为归一化模拟原型系统函数的极点 sk有由,TccNksckzeAzHck111)( NkkkacassAsHsHsH1 NkckckNkkckcassAssAsHsH11 NkTscknTtzeTAtThZTzHck11168例：已知模拟滤波器的系统函数 为 (1) (2)

31、式中， 、 为常数，设 因果稳定，试用冲激响应不变法求数字滤波的 。( )aHs22( )()asaHssab22( )()abHssabab( )aHs)(zH69解 （1） 的极点为22( )()asaHssab1sajb 2sajb 1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez将 用待定系数法部分分式展开122212( )()aAAsaHssabssss22122121)()(bassAsAsAAa( )Hs70解方程组可得22122121)()(bassAsAsAA2/12/121AA比较分子可得方程组22( )()asaHssab1sajb 2sajb 1/2

32、1/2( )()()aH ssajbsajb 21()1()111/21/2( )111kks Ta jb Ta jb TkTTTAH ze zezez asAsAAA122121171 由于两个极点共轭对称，所以将 的两项通分化简，可得11221cos()( )1 2cos()aTaTaTebT zH zTebT zez)(zH21(j )1(j )111/21/2( )111kks Tab Tab TkTTTAH ze zezez )(bTcoseaT)(2bTcoseaTaTe211zzT72将 用待定系数法部分分式展开：( )aHs1sa jb 2sa jb 1122( )()()aj

33、jHssajbsajb （2）的极点为()1()11122( )11ajb Tajb TTjTjH zezez 11221sin()( )1 2cos()aTaTaTebT zH zTebT zez22( )()abHssab1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez5.4 双线性变换法：产生频率混叠现象，使 数字滤波器的频率响应偏移模拟滤波器的频率响应， 不能用来设计高通和带阻滤波器。 原因：从s平面到z平面是多值的映射关系采用非线性频率压缩方法，通过两次压 缩映射消除混叠现象，这种方法就是双线性映射法。基本思想: 利用数值积分将模拟系统变换为数字系统。设模拟系统的

34、微分方程为)()(d)(dtaytxttyTkykTydtdttdykTTk) 1()()()1(dttaytxkTTk)1()()(用梯形面积近似计算等式右边的积分得TkayTkxkTaykTxTTkykTy) 1() 1()()()2/( ) 1()(双线性变换法assXsYsHsaYsXssY1)()()()()()(75所以近似描述离散系统的差分方程为) 1()()2/() 1()21 ()()2/1 (kxkxTkyTakyaT离散系统的系统函数为：azzTzaTzzTzaTaTzTzH11111111121)1 ( 2/)1 ()1)(2/() 2/1 () 2/1 ()1)(2/

35、()(和模拟系统的系统函数比较可得11112)()(zzTssHzHassXsYsH1)()()(TkayTkxkTaykTxTTkykTy) 1() 1()()()2/( ) 1()(cspapHsH)()(2tan211211TzzTs 另一方面11112)()(zzTssHzH1111112tan11122tan12zzzzTTspccc 当由归一化的模拟变量p变到数字变量z的过程中，系数2/T已被消去。这再一次说明T取值的大小是不重要的。 其中T为用梯形面积近似计算定积分的步长，或将模拟信号离散为抽样信号时的抽样间隔。 由以上的推导过程可见， T的取值可以任选，只要满足 ，即只要保证将

36、模拟频率带限在之间，不会产生因多值映射产生频率混叠现象。Ts77双线性变换法是通过两次映射实现:l第一次映射，先将整个 平面压缩到 平面中的一条横带内l第二次映射，将 横带映射到z平面上去，这种映射法就可以保证使s平面和z平面建立单值对应，从而消除混叠现象。1变换原理s1()TT 1()TT 从频域响应出发，直接使数字滤波器的频域响应 逼近模拟滤波器的频域响应 ,进而求出 。)( jH)(jeH zH1s78双线性变换的映射过程 脉冲响应不变法的映射过程 正切映射1es Tz 791111122122sin222cos2TTjjTTjjTjeejTTTee 2tan21TT 延拓到整个 平面和

37、 平面，令 ， ，则得1ss js11 js1111sin22 121cos2jTjTTjesTTTe 将s平面的虚轴变换到 平面虚轴 之间T1s引入正切变换80112 11s Ts TesTe 再将 平面映射到z平面，应用 ，从而实现了s平面到z平面的单值映射。1sTsez1112 11zsTz22TszTs 这种s平面单值映射为z平面的映射关系称作双线性变换法。81 112 11zasTzH zHs 用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相应模拟滤波器的系统函数 后，只要将相应的变换关系代入 ，即可得到数字滤波器的系统函数。 sHa sHa822模拟频率和数字频率之间的关系 将s平面中的虚

38、轴 映射成z平面单位圆时，频率按照下式进行畸变 即 或 上述映射最终实现了将左半s平面映射到z平面单位圆内。 j2 12()tan()12jjejjTeT Tsez1T12tan2T2arctan2T1111tan()221jTjTTTejje 832tan2T 在在 附近接近线性关附近接近线性关系；当系；当 增加时，增加时， 增加得越增加得越来越快；当来越快；当 趋近于趋近于 时，时， 趋近于趋近于 。正是这种非线性。正是这种非线性关系，消除了频率混叠现象。关系，消除了频率混叠现象。 与与 之间的非线性关之间的非线性关系同时也是双线性映射法的缺系同时也是双线性映射法的缺点，直接影响数字滤波器

39、的频点，直接影响数字滤波器的频响逼真于模拟滤波器的频响。响逼真于模拟滤波器的频响。 0 消除了频率混叠现象，可用于低通、高通、带通或带阻等各类型数字滤波器的设计。缺点：优点：3优缺点 与 之间呈非线性关系，引入了非线性频率失真。85双线性变换的映射关系满足关于映射关系可行性的两个条件 （1）s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上；jTjeeTsjj)2tan(2112,jez 令11112zzTs代入表达式得：说明s平面的虚轴映射成了z平面的单位圆86sj令 ,代入sTsTz22得：jTjTz222222)2()2(TTz保证系统函数经映射后稳定性不变 （2）s左半平面的极点映射到z平面的单位圆内

40、 当 时， 01zs左半平面的极点映射到z平面的单位圆内01zs右半平面的极点映射到z平面的单位圆外当 时， 由频率之间的非线性变换关系引起。理想微分器经双线性变换后 频率响应产生畸变4双线性变换法中的频率失真 与 之间呈非线性关系，引入了非线性频率失真。2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变。线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器1） 双线性变换法适合分段常数特性滤波器的设计。分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变。 这种频率的畸变，可通过频率的预畸加以校正。 预畸变就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上

41、。5预畸变91(2) 根据技术指标设计 (3) 获得双线性变换法设计的数字滤波器的系统函数 双线性变换法设计数字滤波器的过程可以归纳为以下几点：(1) 确定模拟滤波器的技术指标；( )aHs 11211( )zasTzH zHsssppAA,转换成数字滤波器技术指标，然后预畸变为模拟滤波器技术指标,NAAcsspp 例 设计一个巴特沃思数字低通，通带截止频率为200Hz，通带最大衰减为3dB,采样频率为1000Hz。p 解：本题采用双线性变换法，先求出待设计的数字滤波器的通带截止频率radffspp4 . 02经过预畸变后，相应的模拟滤波器通带截止频率sradtanTpp145322一阶巴特沃

42、思低通滤波器的传输函数为 14531453sssHppa所求得数字滤波器的系统函数为 1583. 01421. 011112zzsHzHzzTsa93例：利用双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器 通带数字截止频率 阻带数字截止频率 阻带内最小衰减 dBAp5 . 0dBAs1525. 0p55. 0s0.41421360.125)2(tantanpp1.17084960.275)2(tantanss解 第一步 进行频率预畸变求 sp ,通带内最大衰减 94第二步 计算巴特沃斯数字低通滤波器的阶数 第三步 通过查表求得3阶巴特沃思 归一化低通滤波器的系统函数 第四步 求3dB截止频率 c并反归

43、一化求得 2.6586997)/lg()110/() 110lg(211 . 01 . 0spAAspN) 1)(1(1)(2ssssHa95)345918. 0588148. 0)(588148. 0(203451. 0)()(2/ssssHsHcssaa第五步 求得H(z)代入双线性变换公式，化简后求得 1111)()(zzssHzH)3917468. 06762858. 01)(259328. 01 ()1 (0662272. 0)(21131zzzzzH5881480110414. 011065010210.NA.pcp9611c11112/t1111)()()(zzansazzsas

44、HsHzHc也可将第四步与第五步合并在一起，求出H(z) 设计滤波器的幅度响应与相位响应 归一化双线性变换法可分解成级联的低阶子系统双线性变换法可分解成并联的低阶子系统11211( )( ) 1,2,.,iiazsTzH zHsim12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz11211( )( ) 1,2,.,iiazsTzH zHsim其中其中冲激响应不变法只能分解成并联的低阶子系统98IIR数字滤波器设计举例 例 用冲激响应

45、不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，在通带截止频率 处的衰减不大于1dB，在阻带截止频率 处衰减不小于15dB。2 . 0p3 . 0s解 （1）由滤波器的指标得15lg201lg20spjjeHeH设T=1，将数字域指标转换成模拟域指标得将巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数15lg201lg203 . 02 . 0jajaeHeH代入上两式得NcajH22111 . 02102 . 01Nc5 . 12103 . 01Nc)lg(2 ) 110() 110(lg)lg(2 ) 110() 110(lg1 . 01 . 01 . 01 . 0psAAspAApsspN100解这两个方程得N=5

46、.8858，取整数N=6，且 （2）把N=6， 代入式NApcp21 . 0110 按上述值设计的滤波器满足通带指标要求，且阻带指标将超过给定值。7032. 0cNkesNkjck, 2 , 1,21221求得s平面左半平面的3对极点分别为极点对1：极点对2：极点对3：6792. 01820. 0j4972. 04972. 0j1820. 06792. 0j101由这3对极点构成的实际模拟滤波器的系统函数为 )4945. 03585. 1)(4945. 09945. 0)(4945. 03640. 0(1209. 022221sssssssssssHNkkkNca或由N=6，查表得归一化模拟滤

47、波器的系统函数 )2588. 09659. 0)(2588. 09659. 0)(707. 0707. 0)(707. 0707. 0(1)9659. 02588. 0)(9659. 02588. 0(1121jsjsjsjsjsjssssssHNkkka将 代入得实际模拟滤波器的系统函数。css102由这3对极点构成的滤波器的传递函数为 )4945. 03585. 1)(4945. 09945. 0)(4945. 03640. 0(1209. 022221sssssssssssHNkkkNca（3）将 用部分分式展开，并代入公式，求得数字滤波器的系统函数为 NkTskzeTAzHk111 s

48、Ha NkkkassAsH1103 2112112112570. 09972. 016304. 08558. 13699. 00691. 111454. 11428. 26949. 01297. 014466. 02871. 0zzzzzzzzzzH （4）验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将 代入系统函数 的表达式，计算幅度响应和相位响应。 从图中可以看出，涉及的滤波器完全满足规定的技术指标。因为高阶模拟巴特沃思滤波器是充分带限的，所以不会有很大的混叠失真。如果得到的滤波器不满足技术指标，可以试用更高阶的滤波器；如果想保持阶数N不变，可适当调整滤波器的系数加以解决。jez zH104用

49、冲激响应不变法设计的6阶巴特沃思滤波器的频率响应105 例 用双线性变换法设计一个数字巴特沃思低通滤波器。设取样频率 ，在通带截止频率 处的衰减不大于1dB，在阻带截止频率 处衰减不小于15dB。kHzfs10解 （1）将模拟截止频率转换成数字截止频率2 . 010000110002piTpp（2）计算N和 ，将频率进行预畸变kHzfp1kHzfs5 . 13 . 010000115002piTssc2222sspptanTtanT106将此两式代入15lg201lg20sapajHjH并令 ，得1T1523 . 02lg20122 . 02lg20tanjHtanjHaa将巴特沃思滤波器的幅

50、度平方函数代入以上两式得到1071 . 021022 . 021Nctan5 . 121023 . 021Nctan解以上两方程得 30466. 515. 01 . 0lg110110lg215 . 11 . 0tantanN108取整数N=6，应用阻带的技术指标可求得 76622. 0c阻带指标刚好满足要求，而通带指标已经超过了要求。（3）把N=6， 代入式76622. 0cNkesNkjck, 2 , 1,21221极点对1：极点对2：极点对3：9659. 02588. 076622. 0j707. 0707. 076622. 0j2588. 09659. 076622. 0j由此得传递函数 )5871. 04802. 1)(5871. 00835. 1)(5871. 03960. 0(20238. 0222sssssssHa109（4）使用双线性变换法求得巴特沃思滤波器的系统 函数为 2121212121211122155. 09044. 0109036. 018072. 009036. 03583. 00106. 1109036. 018072. 009036. 07051. 02886. 1109036. 018072. 009036. 011zzzzzzzzzzzzsHzHzzsa该滤波器由3个2阶节级联构成。110（5）验证所得到的数字滤波器是否达