文导数的应用一教案

1、文导数的应用一教案教学过程一、知识讲解考点/易错点1函数单调性及导数的关系在某个区间,）内，如果:（x）0,那么函数y = /（x）在这个区间内 单调递增；如果r（MV。，那么函数y = /（x）在这个区间内单调递减。注意：对于可导函数来说，在某个区间内.（幻0是y = /（x）在这个 区间内为增函数的充分不必要条件。考点/易错点2函数的极值及导数若看满足八%） = 0,且在的两侧/*）的导数异号，则与是小）的 极值点，/（/）是极值，并且如果/）在与两侧满足“左正右负”， 则凡是/的极大值点，/（%）是极大值；如果:*）在与两侧满足 “左负右正”，则X。是/（X）的极小值点，/（X。）是极小

2、值。考点/易错点3函数的最值及导数若/（%）为单峰函数，即在定义域内只有一个极值点，则该点可转 化为最值求最值步骤及定义：求函数y = /（x）在团力内的最值求函数、= /*）在向内的极值将函数 = /«的各极值及端点处的函数值/（“）,/（）比较，其中 最大的为最大值，最小的为最小值二、例题精析【例题1】【题干】函数/*）的定义域为开区间（“力，导函数/（X）在他内的图象如图所示，则函数/*）在（。,）内有极小值点v y_r（x）共有（），A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个1/1【答案】A【解析】观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A【例题2】【题干】已知函数f (x)

3、 = x- + a(2 - In a), (a > 0),讨论/*)的单调性 X【答案】/(x)在(0-彳O)上单调递增，在(一尸一+尸)是上单调递减，在(竺叵三,20)上单调递增.2【解析】/(X)的定义域是(0, +00),/。，一1+ 2 厂 X厂设 g(x) = a2-ax+ 2 ,二次方程 g(x) = 0 的判别式 = / -8 .当 = /-8<0,即0<”2应时，对一切x0都有 fx) > 0,此时/(x)在(0,+s)上是增函数。当 = /-8 = 0,即s =2&时,仅对工=夜有八对=0,对其余的x>0都有r(x)>0,此时/(x

4、)在(0,+s)上也是增 函数。当 = /-8>0,即 时，,方程g(X)=。有两个不同的实根2=伫X(0,3)( ,工)X7一(x2,+oo)/'*)+00+fW/极大极小/此时/(X)在(0,纥亚三)上单调递增，在 2(土正三,竺正8)是上单调递减，在("十"=，一)上单 222文导数的应用一教案【例题3】【题干】已知函数/*) =，+ax-2a2 +3a)ex(xeR),其中aeR(I )当。=0时，求曲线y = /(x)在点(1J)处的切线的斜率；(II)当工2时，求函数/*)的单调区间及极值.【答案】(I)3e；(II)当心2时，3/(x)在(YO,

5、 -2), (a - 2, +oo)内是增函数，在(-2a,a - 2)内是 减函数，/(幻极大值为f(-2a) = 3ue-2a ,极小值为 /(a-2) = (4-34)/-2；当时，3/(x)在(一,。一2),(-2“,+oo)内是增函数，在(。一2,-2)内是 减函数，/*)极大值为/(-2) = (4-3)广2 ,极小值为 f(-2a) = 3ae2a ;【解析】 (I )当a = 0B寸，/(力=/,r(力=(/+2力",故/= 3e.4/'(a) = 0,解得x = -2n,或t =。-2由。h 2矢口,一2。工 a 2.以卜分两种情况讨论.(1)若a 二 则2

6、.当x变化时，尸(x), /(x)的 3变化情况如下表：X(_qo,_2q)一 2a(-2，2)一2(4 - 2, + 00)f'M+00+/U)/极大值极小值/(2)若a <2,则-2>。-2,当x变化时,f,(x), /(x)的 3变化情况如下表:X(-00, a-2)。一 2(4-2, - 2。)-2a(-2a, + oo)/«+00+/（X）/极大 值极小 值/【例题4】【题干】已知函数/） = / +办2+工+ 1, rzeRo（I ）讨论函数/o）的单调区间；（II）设函数/在区间（-夕内是减函数，求的取值范围【答案】（I）/“）在-如七叵三, 方上单

7、调递 33/ V/增，在上单调递减；（H）3 /-7）一, +S4 J【解析】（I ）,* f （-） = -v3 + ax2 + x +1,fXx） = 3x2 + lax +1 o当W3时，AWO, r（x）2。，/（x）在R上单调递 增；当 2>3 时，f（x） = 0 ,由 3/+20¥ + 1 = 0,得两根为.2 = 一"土，可得/在r,七亚三,士匹!,+/上单 337 V7调递增，1/1在、士1上单调递减。(II)方法一：根据题意，由(I)得2 3I 3且3 ,*71 ,+oo O,4 J恒成立，【例题5】【题干】是-3 ,求【答案】解得。三2。所以实数

8、。的取.值范围是 4所以导函数/3 = 3/ + 2,江+ 1«0在区间(二,-口上I 33)所以实数”的取值范围是/ +8)方法二：.函数在区间，内是减函数，I 3 3)已矢口 函数 f (x) = x3 + (1 - a)x2 - a(a + 2)x + b a.b e R).(I )若函数/(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率，的值；(II)若函数/*)在区间(-3)上不单调，求4的取值范围. (I ) b = 0, a = -3 或。=1;(II ) -5va-，或-，4vl22【解析】(I )由题意得(") = 3/+2(1-4)%-4(4 + 2)又/(0)

9、= /? = °，解得八0, = -3或 =1Lr(o)=-必+2)=-3(H)函数/(X)在区间(-1,1)不单调，等价于函数/(X)在(-1,1) 上有极值，等价于.(X)= 0在(-1,1)上有不等的实根方法一：在(-1,1)上存在两个不相等的零点，a 1 t -1<-<13即 h = 4(«-l)2 + 126/G/ + 2)>0 解 得或2 /(-1)>01 , <a<2在(T1)上存在一个不相等的零点，则根据零点存在定理，有-BP： 3 + 2(1 “) 一4(4 + 2)3 2(1 -a(a + 2)< 0整理得：a+

10、 5)(4 +1)(“-1)2 <0,解得_5<4<-1当/'(-1)= 0时，。=±1,此时另一个零根为1或-；，二当a = T时(-覃)上存在一个零点-；当/=0时， =-5 或 1,此时另一个零根为-5或1, (-1,1)上不存在零点。综上所述，-5 va V/或Vn vl 22方 法二：/(X)= 3x + (« + 2)(x-«) = 0 两个 零 根 为4 + 22=a.x2 =a + 2因为函数/（X）在区间（-1,1）不单调，则“工一亍或-<a <所以一5 -弓或1 1解得“一5或"一5-1 v a

11、< 1-5 < a <【例题6】【题干】已知函数/（x） = xlnx.（I）求/（x）的最小值;（II）若对所有XN1都有求实数的取值范围.【答案】（I），（H）（一H e【解析】（I ） /（X）的定义域为（o，+s），/（x）的导数八x） = l + lnx .令八x）>0,解得x>L令八x）<0,解得0<xvL ee从而/0）在fo单调递减，在+s单调递增.e；e J所以，当x = l时，/取得最小值L ee（II ）解法一：令 g（x） = /（x）-（ax-l）,则g'(x) = fx)-a = 1 -6/ +Inx ,若 当 x&

12、gt;l 时，6(x) = l-a + lnx>l-a之 0 , 故g(x)在(1, +s)上为增函数，所以，x之1时，g(x)>(l) = l-6/>0, 若。>1,方程/(x) = 0的根为x0=efl-1,此时,若xe(l,厮)，则g，(x)vO,故g(x)在该区间为 减函数.所以xt(l, /)时，且(工)<以1) = 1一<0, 即/“)<砥-1,及题设相矛盾.综上，满足条件的。的取值范围是(r,1.解法二:依题意,得/(x)Nar-l在L + 8)上恒成立,即不等式 K lnx + 1对于xel, + s)恒成立.x令 g(x) = lnx

13、 +，,贝lj $(幻=1一与=，(1-1. XX x x X J当 x>l 时，因为 g'(x) = Ul>0, X)故g(x)是(1, + S)上的增函数，所以8(x)的最小值是g=1，所以”的取值范围是(-oo,l .【例题7】【题干】己知函数/(x) = lnx , g(x) = 3(a>0),设尸(x) =/(x) + g(x). x(I )求函数F(x)的单调区间；(II )若以函数y = 2x)(xe(0,3)图像上任意一点P(x°,y°)为切点的切线的斜率女工1恒成立，求实数的最小值； 2【答案】(I)F(x)的单调递减区间为(0,

14、。)，单调递增区间为(。,一)；【解析】(I ) F(x) = /(x) + (a) = nx + -(x > 0), A尸(x)W = ?(x>。)*/ « > 0 ,由-'(X)>0=>XW(4,+QO),；尸(力在(,一)上单调递增。由 Ff(x)<O=>x(O,a) >，F(x)在(0,)上单调递减。尸的.单调递减区间为(00 ,单调递增区间为 (ay) ok = Fx0) =K ；(0 < Xo K 3)恒成立<=> a > 一;% +工)X。 2 2/max当X。=1时，一1X： +王)取得最

15、大值J o 乙乙三、课堂运用【基础】1 .函数f(x)=-x的单调递增区间是()A. ( 8, 1B. 1, +0°)C. ( 8, 0D. (0, +8)【答案】D【解析】f(x)=-x, ,f ' 即 x>0.2.函数 f (x) =x3 4x+4 有 A.极大值，极小值 C.极大值，极小值一【答案】D【解析】f(x)=x34x + 4, 则乂=±2.(x)= -1,由 f' (x) >0,得一1>0( )B.极大值一，极小值D.极大值，极小值一f' (x)=x,-4,令 f' (x) =0当 x£( 8, 2

16、)时，f (x) >0；当 x£ (2, 2)时,.(x)<0；当 x£(2, +8)时，广(x) >0., f (x)极大值=f ( 2) =, f (x)极小值=f =.3 .己知函数f(x)的导函数f'(x)=?+c的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是()【答案】D【解析】当x<0时，由导函数fz (x)=2+c<0,知相应的函数 f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数(x) =?+ + c的图象可知，导数在区间(0, xj内的值是大于0 的，则在此区间内函数f(x)单调递增.4 .函数£(幻=/-3

17、/+2在区间- 1,1上的最大值是.【答案】2【解析】由题意，得f' (x)=3-6x,令f'(x)=0,得x = 0或 x=2(舍去).由于 f( 1) =2, f(1) =0, f(0) =2,故 f(x)在- 1,1上的最大值为2.5 .若函数f(x)=x3+x+ + l是R上的单调增函数，则m的取值 范围是.【答案】【解析】,*f(x) =x3 + x2+ +1,.f' (x) =3x： + 2x+m.又f(x)在R上是单调函数，.A=4-12 mWO,即m2【巩固】1. (2019 湖北卷10) .己知函数f(x)=x( x-)有两个极值点， 则实数a的取值范

18、围是()A. (一8, 0)B.C. (0, 1)D. (0,+ 0°)【答案】B【解析】f'(x)= x- + -a= x-2 + l,函数f(x)有两个极值点 等价于方程X 2 + 1 = 0有两个大于零的不相等的实数 文导数的应用一教案根.令y1=X, y： = 2 1,在同一坐标系中作出这两个函 数的图像，显然aWO时，两个函数图像只有一个公共点, 故a>0,此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y = 2-l及 曲线y= x相切时，两函数图像均有两个不同的公共点， y产，故曲线y= x上的点(X” X。)处的切线方程是y Xo=(X Xo),该直线过点(0, 1),

19、则一1 Xo= -1, 解得x0=l,故过点(0, -1)的曲线y= X的切线斜率是 1,故2a=1,即a=，所以a的取值范围是0,.2. (2019 重庆高考)设f(x)= x + + x+l,其中a£R,曲线 y=f(x)在点(1, f(D)处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值.【答案】(1) a=-l; (2)极小值f (1)=3【解析】(1)因 f(x)= x+x + l,故 f' (x)= 一 + .由于曲线y = f(x)在点(1, f(l)处的切线垂直于y轴, 故该切线斜率为0,即 f' (1)=0,从而 a + =0,解得 a

20、=-l.(2)由(1)知 f (x)=卜 +x + l (x>0),fz (x)=+ = =(3x + l)/-l).2 A"令f' (x)=0,解得xi=l, xz=一(因x?=一不在定义 域内,舍去).当乂£ (0, 1)时，f'(x)<0,故f(x)在(0, 1)上为减函数;当 x£(l, +8)时,fz (x) >0,故 f(x)在(L +°°) 上为增函数.故f (x)在x=l处取得极小值f(l) =3.i/i文导数的应用一教案3. 设 f(x)=x?+ + l 的导数 f，(x)满足 f'(

21、l)=2a, . (2) =-b,其中常数a, b£R.(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(l)处的切线方程；(2)设g(x)=f' (x),求函数g(x)的极值.【答案】6x+2yT = 0； (2)极小值g(0)=-3,极大值g(3) = 15e-3【解析】(1) Vf (x) =x3+：+ + l, Af/ (x) =3x： + 2+b, 则巴)之7 i解得错误！/(2) = 2 + 4a + b = -b.*.f(x) =x3-x23x+l. .*.f(l)= , f' (1) = 3.y = f(x)在(1, f(l)处的切线方程为y = -3(x 1)

22、,即 6x + 2y-l = 0.(2)由(1)知 g(x) = (3x2 3x 3)e /. g' (x) = ( 3x2 + 9x) e 令 g' (x)=0, BP ( -3x= + 9x)e ” = 0,得 x = 0 或 x = 3, 当 x£( 8, 0)时，g，(x)<0,故 g(x)在(-8, 0) 上单调递减.当x £ (0, 3)时，g' (x) >0,故g (x)在(0, 3)上单调递增.当 x£ (3, +8)时,g' (x) <0,故 g(x)在(3, +°°) 上单调

23、递减.从而函数g(x)在x = 0处取得极小值g(0) = -3, 在x = 3处取得极大值g(3) =15e7.4. 己知函数 f (x) = (xk).(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.【答案】(1) f(x)的单调递减区间是(-8, k-1)；单调递增区间1/1文导数的应用一教案是(I, +8)(2)最小值为 f(l) = (lk)e【解析】(Df, (x) = (x k+1).令 f' (x)=0, W x = k 1.f(x)及f(x)的情况如下:X(-8, k 1)(k1)(k-1, +00)f'(X)0+f(x)_ -1所以，f(

24、x)的单调递减区间是(-8, k-1)；单调递增 区间是(kl, +8).(2)当k lWO,即kWl时，函数f(x)在0,1上单调递 增，所以f (x)在区间0,1上的最小值为f(O)=-k；当 0<k7L 即 lk<2 时,由(1)知f(x)在0, k-1)上单调递减,在(k1,1上 单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(kl)= - T； 当k 121,即k22时，函数f (x)在0, 1上单调递减, 所以f (x)在区间0, 1上的最小值为f(l) = (l-k)e.5. (2019 新课标全国卷I 20)已知函数f (x) = ( + b) X，4x, 曲线y

25、=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y=4x+4.求a, b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.【答案1a = 4, b = 4；(2) f(x)在(-8, -2), (- 2, +8)上单调递增，在(一2, 一 2)上单调递减.极大值为f (-2) =4(1 ef【解析】f' (x) = ( + a+b) 2x 4.由已知得 f(0)=4, f' (0)=4,故 b = 4, a+b = 8.从而 a = 4, b = 4.(2)由 Q)知,f(x)=4(x+l)-x2-4x.f' (x)=4(x+2) 2x-4 = 4(x+2).令

26、f' (x) =0,得 x= 2 或 x=-2.从而当 xG ( 8, 2) U ( 2,+8)时，f' (x) >0； 当 x£ ( 2, 2)时，fz (x) <0.故f(x)在(-8, -2), (- 2, +8)上单调递增，在 (-2, - 2)上单调递减.当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f( 2) = 4(1 e :).【拔高】1. (2019 北京高考)已知函数 f(x)=?+l 高>0), g(x)=x3+.(1)若曲线y=f (x)及曲线y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公 共切线，求a, b的值；(2)当a2=

27、4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间 (一8, -1上的最大值.【答案】a=b = 3；(2)函数h(x)的单调递增区间为和， 单调递减区间为.当(0,2时，最大值为h(-l)=a-；当(2, +8)时，最大值为=1.【解析】(l)f' (x)=2, g'(x)=3x?+b,因为曲线y=f (x)及曲线y=g(x)在它们的交点(1, c) 处具有公切线，所以/=如即错误!解得,=6=3.J一(1)(2)设 h(x)=f(x)+g(x), .,£ = 4b, .h(x)=f(x)+g(x) =x3+" + ax +1,则 h' (x

28、)=3x2+2+a2,令 h' (x)=0,解得修=一,a>0时,h(x)及h' (x)的变化情况如下:Xh，(X)+0 "0+h(x)函数h (x)的单调递增区间为和,单调递减区间为.当一 1W 一 ,即0<aW2时，函数h(x)在区间(-8, -1 上单调递增，h(x)在区间(-8, 一1上的最大值为h( 一 1) =a；当一<一1在一，即2aW6时，函，数h(x)在区间上单调递 增，h(x)在区间上单调递减，在区间(一8, 1上的最 大值为=1;当一 1>一，即a>6时，函数h(x)在区间上单调递增，在 区间上单调递减，在区间上单调

29、递增，又因为一h( 一 l) = l-a+a2=(a-2)2>0,所以 h(x)在区间(一8, 一口上 的最大值为=1.综上所述：当a£ (0, 2时，最大值为h( l) =a；当(2, +8)时，最大值为=1.1/1文导数的应用一教案2.己知函数f(x)=x1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在上单调递减？若存在，求 出a的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】aWO； (2) a23【解析】由己知f' (x) =3x2a.在(一8,十8)上是增函数,/. f/ (x)=3x一a20 在(-8, +8)上恒成立

30、，即 aW3x一对x£R恒成立.V3x：0,只要aWO.又.,a=O 时,.(x) =3x220, f(x)=1 在 R 上是 增函数.aWO.(2) f' (x) =3x -aWO 在(-1, 1)上恒成立.Aa3x2, x £ (一 1, 1)恒成立.又一l<xl, A3x:<3,只需 a23.当 a = 3 时，f' (x)=3(x? - 1)在 x£( l, 1)上，fz (x)<0,即f(x)在(一1, 1)上为减函数.故存在实数a23,使f(x)在(- 1,1)上单调递减.1/1课程小结1 .导数法求函数单调区间的一般

31、步骤(1)确定函数f(x)的定义域；求导数f'(X)；(3)在函数函x)的定义域内解不等式(x)0和(x)<0；(4)根据的结果确定函数f(x)的单调区间.2 .导数法求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f' (x) 20(或 (x)W0), xe(a, rb),转化为不等式恒成立求解.3 .求可导函数f(x)的极值的步骤求导数f'(x)；(2)求方程(x)=0的根；(3)检验f' (x)在方程f' (x)=0的根的附近两侧的符号：具体 如下表：XX<XoXoX>Xof'(X)f' (x)>

32、0P (x)=0fz (x)<0f(x)增极大值f(Xo)减XX<XoX0X>Xof' (x)f' (x)<0f' (x)=0f' (x)>0f (x)减极小值f(x。)增4 .利用导数求函数最值的方法求解函数的最值时，要先求函数y = f (x)在a, b内所有使f' (x) =0的点，再计算函数y=f(x)在区间内所有使f' (x)=0的点和区 间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得.5 .解决函数的极值或最值应注意的问题(1)根据极值的定义，导数为0的点只是一个可疑点，不一定是 极值点，只有在

33、该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调 性相反时，该点才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数也不 一定为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在.(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点要通 过认真比较才能下结论.课后作业【基础】L已知定义在R上的函数f(x),其导函数f' (x)、 尔 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的.是()/ A. f (b) >f (c)>f(d)B. f(b)>f (a)>f(e)« W xC. f (c) >f (b) >f (a)D. f (c) >f (e) >f (d)

34、【答案】c【解析】依题意得，当x£( - 8, 0时，f" (x)>0；当工£(c, e) 时，ff (x)<0；当 x£(e, +8)时，.(x)>0.因此,函 数f(x)在(-8, c)上是增函数，在(c, e)上是减函数， 在(e,+8)上是增函数，又abc,所以f(c)>f(b)>f(a).2. (2019 陕西高考)设函数f(x) = ,则()A. x=l为f(x)的极大值点B. x=l为f(x)的极小值点C. x=-l为f(x)的极大值点D. x=-l为f(x)的极小值点【答案】D【解析】求导得 f' (

35、x)= + =(x + l),令 f'(x) = (x+l)=0,解 得x= - l,易知x= - l是函数f(x)的极小值点.3 .函数f(x)=+x?3x-4在0,2上的最小值是()A. -B. -C. -4D.一【答案】A【解析】f' (x) =x:+2x 3,令 f' (x) =0 得 x=l (x=-3 舍去), 又 f(0)= - 4, f(l)=-, f(2)=-,故 f(x)在0,2上的 最小值是f(l)= 一 .4 .设函数 f(x)=?+c(a, b, ceR).若 x=-l 为函数 f(x)的 一个极值点，则下列图象不可能为y = f(x)的图象是

36、()【答案】D【解析】因为=f' (x)+f(x)()' =f(x)+# (x),且 *=-1为函数£(口的一个极值点.，所以f(l)+f，(一 1)=0;选项 D 中，f (- 1)>0, f' ( 1)>0,不满足 f'(- l)+f(-l)=0.5 .函数f (x) =x3-15x2-33x+6的单调减区间为.【答案】(一 1,11)【解析】由 f (x) =x315x -33x + 6 得 f' (x) =3x 30x 33, 令 f' (x)<0,即 3(x11) (x+1) <0,解得一所以函数f(x

37、)的单调减区间为.【巩固】1.己知函数f(x)=x3+?+c在点X。处取得极小值-5,其导函 数y=# (x)的图象经过点(0,0), (2,0).(1)求a, b的值；(2)求x。及函数f(x)的表达式.【答案】(1) a=-3, b=0； (2) Xo=2, f(x) =x3-3x2-1【解析】(1)由题设可得f' (x)=3x?+2+b. f' (x)的图象过点(0,0), (2,0),错误!解得a=-3, b = 0.(2)由 f' (x)=3x2-6x>0,得 x2 或 x<0, 在(-8, 0)上 f，(x)>0,在(0,2)上 f'

38、; (x)<0,在 (2, +8)上修(x)>0. f(x)在(-8, 0), (2, +8)上递增，在(0,2)上递 减，因此f (x)在x = 2处取得极小值.所以x°=2.由f(2)=-5,得 c = l.f (x) =x3 -3x2- 1.2 .己知函数 f(x)= x- + -l(aeR).(1)当&=一1时，求曲线y = f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2)当aW时，讨论f(x)的单调性.【答案】x-y+ 2 = 0；(2)当aWO时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x) 在(1, +8)上单调递增；当 =时，函数f(x)在(0

39、, + 8)上单调递减；当0Q时，函数f(x)在(0,1)上单调递 减，函数f(x)在上单调递增，函数f(x)在上单调递减.【解析】当a=T时，f(x)= x+x + xe(0, +8).所以 (幻=,xe(0, +8).因此f' (2)=1,即曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切 线斜率为1.又f(2)= 2 + 2,所以曲线y = f(x)在点(2, f(2)处的 切线方程为y( 2 + 2) =x 2,即 x y+ 2 = 0.(2)因为 f (x) = xI1,所以 f' (x)=a+ = , x£(0, +0°).令 g(x) =?x + 1

40、-a, x£ (0, +°°).当 a = 0 时，g(x) = -x+1, xe (0, +8),所以当 x£ (0, 1)时，g(x)>0,此时f' (x)<0,函数f(x)单调递减;当 xG(l, +8)时，g(x)<0,此时 f' (x)>0,函数f(x)单调递增;当 aWO 时，由 f' (x)=0,即x+1a = 0,解得 Xi 1 > x?= - 1.a.当己=时，Xi = Xz，g(x)2O恒成立,此时f' (x)W0,函数f(x)在(0, +8)上单调递 减；b.当 0<

41、;a<时，- 1>1>0.x£ (0, 1)时，g(x)O,此时 f' (x)<0,函数 f(x) 单调递减；x£ 时,g(x) <0,此时 f'(x)>0,函数 f(x)单调 递增；x£ 时,g(x)>0,此时 f'(x)<0,函数 f(x)单调 递减；c.当 a<0 时，由于一1<0, x£(0, 1)时，g(x) >0, 此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减;x£(l, +8)时，g(x)<0,此时 f' (x)>

42、;0,函数 f(x)单调递增.综上所述：当aWO时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数 f(x)在(1, +8)上单调递增；当 =时，函数f(x) 在(0, +8)上单调递减；当0Q时，函数f(x) 在(0,1)上单调递减，函数f(x)在上单调递增，函 数f(x)在上单调递减.3 .设 f(x)=x'+x-+Z.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a<2时，f(x)在1,4上的最小值为一，求f(x)在该区间上的最大值.文导数的应用一教案【答案】a>-； (2)最大值为f(2) =【解析】(1)由(x) = x2+x+2a= 2+ +2a,当

43、x£时，f' (x)的最大值为f' =+2a；令+ 2a>0, 得 a> .所以，当a>一时，f(x)在上存在单调递增区间.(2)令 f ' (x)=0,得两根 Xi=, x2=.所以f(x)在(-8, Xl),(X2, +8)上单调递减,在(X1, X。上单调递增.当0<a<2时，有xK1<X2<4,所以f(x)在1,4上的最大 值为f(x0.又 f(4)f(l)=F6a<0,即 f(4)f(l).所以f (x)在1, 4上的最小值为f(4) =8a- = ,得a=l, X2=2,从而f(x)在1,4上的最大值

44、为f (2)4 .设x = l及x = 2是函数f (x) =+?+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=l, x = 2是函数f(x)的极大值点还是极小值点， 并说明理由.【答案】(1)错误!； (2) x = l是函数f(X)的极小值点，x = 2是函 数f(x)的极大值点【解析】(l)f' (x)=+2 + l,由题意得 f' (1)=0, F (2)=0,错误!解得错误！(2)由(1)知 f (x«) =x+x,所以 f'(x)= - + = -(.3x + 2).).3x 3 x又(KxVl 时，f' (x)<0,

45、 l<x<2 时，f' (x)0,i/i文导数的应用一教案x>2 时,f' (x) <0.函数f(x)在(0, 1)和(2, +8)上是减函数,在(1, 2)上是增函数.x = l是函数f (x)的极小值点，x = 2是函数f (x)的极 大值点.【拔高】1 .已知函数f(x)=-x3+?4在x = 2处取得极值，若m, ne- 1,1,则(n)的最小值是.【答案】-13【解析】由题求导得f' (x)=-3x?+2,由函数f(x)在x = 2处取 得极值知f' (2)=0,即-3X4 + 2aX2 = 0, a = 3.由此 可得 f (x) = x'+3x24, fz (x)= 3x' + 6x,易知 f(x) 在(一1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m£ 一 1, 1时，£血)=£(0)=4.又f(x)=-3x+6x的图象 开口向下，且对称轴为x = l,当时