数学建模——模糊数学方法PPT课件

1、模糊数学方法 模糊集的基本概念 模糊综合评判 模糊聚类分析第1页/共38页模糊集的基本概念 模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 隶属函数的确定隶属函数的确定 模糊矩阵及运算与性质模糊矩阵及运算与性质第2页/共38页 模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个U上的模糊子集模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.第3页/共38页例例 设论域1234,Exxx

2、x12340.50.30.40.2Axxxx，12340.200.61Bxxxx第4页/共38页 例例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为140190140)(xxA也可用Zadeh表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)第5页/共38页模糊集的运算相等相等：A = B A(x) = B(x)；包含包含：A

3、B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为Ac (x) = 1- A(x).第6页/共38页 例 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商品质量坏”，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79,

4、 0.14, 0.4, 1).可见Ac B, Bc A. 又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .第7页/共38页 隶属函数的确定1.1.模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”. .2. 指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。3. 借用已有的“客观”尺度第8页/共38页 模糊矩阵 设R = (rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩

5、阵. 当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.模糊矩阵及运算与性质第9页/共38页 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义相等：A = B aij = bij；包含：AB aijbij；并：AB = (aijbij)mn；交：AB = (aijbij)mn；余：Ac = (1- aij)mn.0.10.30.20.1,0.20.10.30.20.20.30.10.10.90.7,0.30.20.20.10.80.9cABABABA例 设，则第10页/共38页 设A = (aik)ms，B = (b

6、kj)sn，称模糊矩阵A B = (cij)mn，为A 与B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks . 模糊矩阵的合成则设,3 . 006 . 04 . 07 . 01,5 . 08 . 0107 . 04 . 0BA3 . 03 . 03 . 05 . 06 . 06 . 05 . 07 . 07 . 0,7 . 016 . 04 . 0ABBA第11页/共38页模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 07 . 04 . 03 . 0

7、3 . 07 . 04 . 03 . 01 . 03第12页/共38页 模糊矩阵的转置 定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：性质1：( AT )T = A；性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性质3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ；性质4：( Ac )T = ( AT )c ；性质5：AB AT BT .第13页/共38页 模糊矩阵的截矩阵 设A = (aij)mn,对任意的 0, 1，称A = (aij( )mn,为模糊矩阵A的 - 截

8、矩阵, 其中 当aij 时，aij( ) =1； 当aij 时，aij( ) =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵. 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA第14页/共38页模糊综合评价模型 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法。第15页/共38页模糊综合评价的基本步骤：（1 1） 首先要求出模糊评价矩阵P P，其中

9、P P表示方案X X在第i i个目标处于第j j级评语的隶属度，当对多个目标进行综合评价时，还要对各个目标分别加权，设第i i个目标权系数为W W，则可得权系数向量：A A（W W1 1，W W2 2，WW）第16页/共38页（2 2）综合评判 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量B BB BAPAP（其中为模糊乘法），根据运算的不同定义，可得到不同的模型模型1 M（，V）主因素决定型), 2 , 1(1 | )max(njnipabijij第17页/共38页模型2 M（?，）主因素突出型), 2 , 1(1 )max(mjnipabjiij模型3 M（?，+）加权平均型)2 , 1)(mj

10、pabijij第18页/共38页例例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价：对某品牌电视机进行综合模糊评价 设评价指标集合：U U图像，声音，价格； 评语集合：V V很好，较好，一般，不好；第19页/共38页首先对图像进行评价：假设有30%30%的人认为很好，50%50%的人认为较好，20%20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为 （0.3, 0.5, 0.2 , 0)0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)对价格为：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)0.1, 0.1, 0.3

11、, 0.5)所以有模糊评价矩阵：5 . 01 . 003 . 02 . 02 . 01 . 03 . 05 . 01 . 04 . 03 . 0P第20页/共38页设三个指标的权系数向量：A A 图像评价，声音评价，价格评价（0.5, 0.3, 0.2)0.5, 0.3, 0.2)应用模型1 1，bj=max(airij)有综合评价结果为：B BAPAP（0.3, 0.5, 0.2, 0.2)0.3, 0.5, 0.2, 0.2)归一化处理：B B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17)0.25, 0.42, 0.17, 0.17)所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。第21页/共3

12、8页例例2：对科技成果项目的综合评价：对科技成果项目的综合评价 有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。 第22页/共38页设评价指标集合：U U科技水平，实现可能性，经济效益评语集合：V V高，中，低评价指标权系数向量：A A（0.20.2，0.30.3，0.50.5）第23页/共38页专家评价结果表专家评价结果表第24页/共38页由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵P P、Q Q、R R：1 . 06 . 03 . 07 . 02 . 01 . 01 . 02 . 07 . 0P03 . 07 . 00011 . 06 . 03 . 0Q6 . 03 . 01 . 000

13、15 . 04 . 01 . 0R第25页/共38页求得：) 3 . 05 . 03 . 0(1， APB) 1 . 03 . 05 . 0(2， AQB)5 . 03 . 03 . 0(R3， AB)27. 046. 027. 0(1，B) 11 . 033. 056. 0(2，B)46. 027. 027. 0(3，B第26页/共38页因素集： U=政治表现及工作态度，教学水平，科研水平，外语水平；评判集： V=好，较好，一般，较差，差；例3 3：“晋升”的数学模型，以高校教师晋升教授为例第27页/共38页（1）建立模糊综合评判矩阵 当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价，假定学科评审

14、组由7人组成，用打分或投票的方法表明各自的评价 例如对王，学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好，2人认为较好，1人认为一般，对其他因素作类似评价。第28页/共38页评判集评判集因素集因素集 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及政治表现及 工作态度工作态度 4 4 2 2 1 1 0 0 0 0教学水平教学水平 6 6 1 1 0 0 0 0 0 0科研水平科研水平 0 0 0 0 5 5 1 1 1 1外语水平外语水平 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1第29页/共38页)543 , 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1()543 , 2 , 1; 4 , 3 ,

15、2 , 1(51，种评价的票数，令因素为第项表示赞成第，设jiccrjijickikjijiji14. 014. 014. 029. 029. 014. 014. 071. 00000014. 086. 00014. 014. 057. 029. 0R价矩阵：得到模糊综合评第30页/共38页（2）综合评判以教学为主的教师，权重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2)以科研为主的教师，权重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2)计算得用模型),(MB1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14)归一化（即将每分量初一分量总和），得 B1=

16、(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12) B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12)若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升，则此教师晋升为教学型教授，不可晋升为科研型教授第31页/共38页 例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经济效益的好坏进行排序因素集： U=u1,u2,u3,u4为反映企业经济效益的主要指标 其中u1：总产值/消耗；u2：净产值；u3：盈利/资金占有；u4：销售收入/成本，评判集： V=v1,v2,v20为20家制药厂第32页/共38页编号编号 u1 u2 u3 u4 1 1.611 10.59 0.69 1.672 1.429 9.4

17、4 0.61 1.503 1.447 5.97 0.24 1.254 1.572 10.78 0.75 1.715 1.483 10.99 0.75 1.446 1.371 6.46 0.41 1.31 7 1.665 10.51 0.53 1.528 1.403 6.11 0.17 1.329 2.620 21.51 1.40 2.5910 2.033 24.15 1.80 1.8911 2.015 26.86 1.93 2.0212 1.501 9.74 0.87 1.4813 1.578 14.52 1.12 1.4714 1.735 14.64 1.21 1.9115 1.453 12

18、.88 0.87 1.5216 1.765 17.94 0.89 1.4017 1.532 29.42 2.52 1.8018 1.488 9.23 0.81 1.4519 2.586 16.07 0.82 1.8320 1.992 21.63 1.01 1.89 第33页/共38页（1）建立模糊综合评判矩阵)20, 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(,)20, 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(201jiccirjjjickikjjiji令个因素的值第个制药厂的表示第设 即rij表示第j个制药厂的第i个因素的值在20家制药厂的同意因素值的总和中所占的比例，得到模糊综合评判矩阵R=(rij)420第34页/共38页（2）综合评判)50. 0 ,20. 0 ,15. 0 ,15. 0A设各因素的权重分配为)0287. 0 ,0278. 0 ,0220. 0 ,0273. 0 ,0212. 0 ,0231. 0 ,0290. 0022