北师大版高中数学选修导学案全

1、 §2.1.1平面向量的复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量准备。二、教学重点：平面向量的基础知识。 教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积、射影。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法1是一个向量,满足:2>0时,与同向;<0时,与异向;=0时

2、, =0向量的数量积是一个数1或时, =02且时, 2、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 ； 注意：,的几何意义3、两个向量平行的充要条件： 的充要条件是： ；（向量表示） 若，则的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： 的充要条件是： ；（向量表示） 若，则的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习1O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+2)=0，则DABC是（）A以AB为底边的等腰三角形 B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形 D以BC为斜

3、边的直角三角形2P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心3在四边形ABCD中，且·0，则四边形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A B C D5O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心（四）、作业布置1设平面向量=(2，1)，=(，-1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A B C D2若上的投影为 。3向量，且A，B，C三点共线，则k 4在直角坐标系xoy中，已知点

4、A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在AOB的平分线上且|=2,则= 5在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_。§2.1.2从平面向量到空间向量序号1授课时间班级姓名课型新授课备课人李红莉审核人葛伟学习目标1. 理解概念：空间向量、自由向量、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量、直线的方向向量、平面的法向量、向量的长度（模）、向量的夹角、向量垂直，向量平行；2. 掌握空间向量的表示方法；重点难点 空间向量概念了理解学习过程与方法自主学习：空间向量： ；自由向量： ；单位向量: ； 零向量 ： ； 相等向量： ；相反向量： ；平行向量： ；直线的方向向量：

5、 ；、平面的法向量： ；向量的长度（模）： ；向量的夹角： ；向量垂直： ；向量平行： ；向量的表示： ； 射影： 。复备、笔记、纠错精讲互动： 例1. 如图，在正方形中：(1) 向量,与向量相等吗？(2) 向量,与是相反向量吗？(3) E和F分别是AB和的中点，在正方体中能找到3个与平行的向量吗？例2.课本27页练习第1题例3.课本27页练习第2题达标训练：课本习题2-1A组第1、2题小结反思课堂检测课本习题2-1A组第3、4题作业布置课本习题2-1B组第1、2题§2.2空间向量的运算序号2授课时间班级姓名课型新授课备课人李红莉审核人葛伟学习目标1.掌握空间向量的加减、数乘、数量积

6、运算及运算律2.理解两个空间向量共线的定理重点难点重点：向量的加减、数乘、数量积运算及运算律难点：空间共线向量的应用学习过程与方法自主学习：1.空间向量的加法： ；2.空间向量的减法： ；3.空间向量加减法的运算律： 结合律 ；交换律 ；4.空间向量的数乘：空间向量与一个实数的乘积是一个向量，记作 满足（1） ；（2） ；运算律：（1） （2）（）= ,()= （3） （）5.空间向量和的数量积的运算公式 运算律：（1）交换律 （2）分配律 （3） 结论：（1） （2） （3） ;6.空间向量的基本定理 . 复备、笔记、纠错精讲互动： 课本30页例1解：(1):(2):(3):课本31页例2解

7、（1）：（2） ：达标训练：（1）课本31页练习2（2）课本31页练习3小结反思课堂检测课本31页习题2-2A组第1题第2题第3题作业布置课本32页习题2-2A组第4题 B组第1题§2.3.1 空间向量的标准正交分解及其坐标表示序号3授课时间班级姓名课型新授课备课人葛伟审核人李红莉学习目标1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；重点难点空间向量的坐标运算学习过程与方法自主学习：复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解

8、. 复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，则称有序对为向量的 ，即 .zyxo2. 问题：在给定空间直角坐标系中，令分别为空间直角坐标系中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对空间的任意向量，能否用唯一表示？分析过程：结论： 总结：在给定空间直角坐标系中，分别为空间直角坐标系中x轴，y轴，z轴正方向上的 ，对空间的任意向量，存在唯一一组三元有序实数 ，使得 ，我们把 叫作的标准正交分解，把叫作_=_叫作空间向量的坐标，记作_,_叫作向量的坐标表示。2.设，那么总结：我们把 分别称为向量在x轴，y轴，z轴

9、正方向上的投影，向量的坐标等于_一般的，若为的单位向量，称_为向量在向量上的投影复备、笔记、纠错精讲互动： 例1：课本p34例1例2：课本p34例2达标训练：1课本34页练习第一题：2.课本34页练习第二题：3.如图,在单位正方体中，点分别是的一个四等分点.求与的坐标;小结反思课堂检测1设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点的坐标是 2在长方体中,AD=BC=1=2,请给出和关于的分解式，并求和的坐标。作业布置如图4，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，点为棱中点， 请给出、关于的分解式，并求、的坐标。 §2.3.2空间

10、向量基本定理序号4授课时间班级姓名课型新授课备课人葛伟审核人李红莉学习目标了解空间向量基本定理及其推论；理解空间向量的基底、基向量的概念重点难点1.空间向量的基本定理及应用。 2.空间向量的基本定理唯一性的理解学习过程与方法自主学习：1空间向量基本定理： _。2如果三个向量不共面，那么空间的每一个向量都可有向量线性表示，我们把空间不共面的三个向量叫做这个空间的 。3当_时，就得到这个向量的一个正交分解，当_时，就是标准正交分解。分析理解：阅读课本35页分析，PFoACDBE理解是怎么在下图中分析出来复备、笔记、纠错精讲互动： 例1：阅读课本35页例3例2：.在空间四边形中，已知是线段的中点，在

11、上，且，试用向量表示向量。例3：空间平移ABC到A1B1C1，连接对应顶点，已知且M是BC1的中点，N在AC1上，,试用向量表示.达标训练：1：课本36页练习第1题2：如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，试用向量表示向量和。小结反思课堂检测1.下列三个命题，（1）三个非零向量不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面。（2）两个向量 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 共线。（3） 是两个不共线向量，而（x,y为非零实数），则 ，构成空间的一个基底。真命题个数是 2. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .3 .已知A,B,C三点不共线，O为平

12、面ABC外一点，若向量则P,A,B,C四点共面的条件是_ 作业布置课本36页练习第2题，课本39页第8题§2.3.3空间向量运算的坐标表示序号5授课时间班级姓名课型新授课备课人葛伟审核人李红莉学习目标1能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。重点难点空间向量的坐标运算学习过程与方法自主学习：1. 向量加减法和数乘的坐标表示_(_) 同理(_)文字描述：_ (_)文字描述：_空间向量间的平行关系：若则：_2. 若则（_）3. =_ _ _文字描述：_4. 空间向量长度和夹角的坐标表示 （1）：_=_;(2)：_(3)：_;复备、笔记、纠错精

13、讲互动： 例1：已知（1），（2） 例2：已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.例3：在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点（用向量方法求解）（1）证明：AEC1F是平行四边形；（2）求AE和AF之间的夹角；（3）求四边形AEC1F的面积达标训练：1：课本38页练习第3，4，5题 2：已知,与的夹角为120°，则的值为_.3如图,在单位正方体中，点分别是的一个四等分点.(1)求与的坐标;(2)求与所成的角的余弦值小结反思课堂检测1.则( )A15 B5 C3 D12. 已知 ， 且，则( ) A. B. C. D. 3. 已知，且，则x

14、.4.已知，求：； ； ； ； （5）作业布置课本3839页，第6，7题。§2.4.1用向量讨论垂直与平行序号6授课时间班级姓名课型新授课备课人葛伟审核人李红莉学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。重点难点1.空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；2.用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.学习过程与方法自主学习：1.空间向量间的平行关系：若则：_;2.线面垂直判定定理：_.3.面面平行判定定理：_.4.三垂线定理：_5.

15、怎样确定直线的方向向量？6.怎样确定平面的法向量？复备、笔记、纠错精讲互动： 用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：线线平行：或与重合即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线线垂直： 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面平行: 且在平面外即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外。面面平行：或与重合即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。线面垂直：即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直：即：两平面垂直两平面的法向量垂直。关键：用向量

16、知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。阅读课本例1，例2，例3思考三个定理是怎么应用向量方法证明的。1.线面垂直判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。2面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行。3三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直达标训练：1：课本41页练习第1，2，3题2如右图，棱长为1的正方体，E、F、分别是、的中点求证：小结反思课堂检测1平面的一个法向量为(1,

17、2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直 C垂直 D不能确定2从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长AB34，则B点的坐标为()A(9，7,7) B(18,17，17) C(9,7，7) D(14，19,31)3已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15 B,x3，y Cx3，y15Dx6，y4若直线的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()A B C Dl与斜交5已知A(1,1，1)，B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是_

18、作业布置课本42页习题2-4第3题§2.4.2用向量讨论垂直与平行序号7授课时间班级姓名课型新授课备课人葛伟审核人李红莉学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。重点难点1.空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；2.用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.学习过程与方法自主学习：1.空间向量间的平行关系：若则：_;2. 用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量

19、的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。设空间直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：线线平行：_线面平行: _面面平行：_线线垂直：_线面垂直：_面面垂直：_复备、笔记、纠错精讲互动： 问题1：怎样确定直线的方向向量？（1）若上有不同两点，则的方向向量为（2）若，则的方向向量可以用的方向向量表示。问题2：怎样确定平面的法向量？例1.已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，试求平面的一个法向量解:A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，（2，4，3)，设平面的法向量为(x，y，z)依题意，应有 即，解得.令y1，则x2.平面的一个

20、法向量为(2,1,0)【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可“用向量法”求法向量的解题步骤：（1）设平面的一个法向量为；（2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；（3）根据法向量的定义列出方程组；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。达标训练：1. 在正方体中，是的中点，求证：2.在正方体中，分别是棱的中点，为中点，求证：平面.小结反思课堂检测1平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(-2，4,0)，则平面与平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直 C垂直 D不能确定2. 设，且，则等于（）A

21、4B9 C9D3. 已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_4.若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，3，2)，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是_作业布置1.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：平面ADE平面B1C1F. 2.课本42页习题2-4第4题§2.5.1直线间的夹角序号8授课时间班级姓名课型新授课备课人杨 宁审核人李红莉学习目标用向量求直线间的夹角重点难点用向量求直线间的夹角学

22、习过程与方法自主学习：1. 共面直线的夹角：当两条直线共面时，我们把两 条直线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角.(如图1)ABC图2)AB图12. 异面直线的夹角：当直线是异面直线时，在直线上任取一点作，我们把直线和直线的_叫作异面直线的_.（如图2）C3. 空间直线夹角的求法： 图3ABCABC空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的_的夹角确定.已知直线的方向向量分别为，当时，直线的夹角等于_；当时，直线的夹角等于_总结：复备、笔记、纠错精讲互动：例1. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，.求对角线和侧面对角线的夹角的余弦值.例2. 如图，A1B1C1ABC是直三

23、棱柱，BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）AB CD达标训练：1. 在长方体中，和与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成角的余弦值为2. 如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A B C D小结反思课堂检测1在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A60° B90° C105° D75°3. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为.求两条直线夹角的余弦值.作业布置页习题

24、2-5A组1、5§2.5.2平面间的夹角序号9授课时间班级姓名课型新授课备课人杨 宁审核人李红莉学习目标用向量求平面与平面的夹角重点难点用向量求平面与平面的夹角学习过程与方法自主学习：1.平面间夹角的概念： 如图，平面和平面相交于直线，点为直线上任意一点，过点，在平面上作直线，在平面上作直线，则，我们把直线和的_叫作平面与的夹角.2. 平面间夹角的求法：设平面与的法向量分别为与当时，平面的夹角等于_；当时，平面的夹角等于_总结：设平面和平面的夹角为 ，则_,且 _复备、笔记、纠错精讲互动：例1.如图，在空间直角坐标系中有单位正方体.求平面与平面的夹角.例2. 在正方体中,求二面角的大

25、小.达标训练： 1. 课本练习45页练习22. 如图4，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，点在棱上移动， 问等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为 小结反思课堂检测已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小作业布置页习题2-5A组2、4§2.5.3直线与平面的夹角序号10授课时间班级姓名课型新授课备课人杨 宁审核人葛伟学习目标掌握用向量求直线与平面所成的角重点难点向量在求直线与平面所成角的应用学习过程与方法自主学习： 直线与平面的夹角1.直线与平面夹角的概念：平面外

26、一条直线与它在该平面内的_的夹角叫作该直线与此平面的夹角. 如果一条直线与一个平面平行或者在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为_. 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为_.2.直线与平面夹角的求法： 设平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面所成角为. 当时，=_； 当时，=_.ACB( 总结：_复备、笔记、纠错精讲互动：例1. 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体.求对角线与平面的夹角的正弦值例2. 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体，E、F分别是的中点.求直线AC与平面ABEF的夹角的正弦值.达标训练：课本46页练习小结反思课堂检测如图，已知矩形ABCD所在

27、平面外一点P，PA平面ABCD，AB=1,BC=2,PA=2,E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：CDEF （3）求EF与平面ABCD所成的角的大小作业布置页习题2-5A组 3§2.6.1距离的计算序号11授课时间班级姓名课型新授课备课人李红莉审核人葛伟学习目标1. 几何中点到直线的距离，点到平面的距离的概念2. 掌握各种距离计算的方法重点难点重点：求点到直线，点到平面的距离难点：直线的方向向量和平面法向量的确定学习过程与方法自主学习：1概念：点到直线的距离概念 ；点到平面的距离的概念 ；异面直线间的距离的概念 ；线到面的距离 ；面到面的距离 ；2

28、. 利用直线的方向向量求点到直线的距离的基本思路如图设点A是直线L外一定点，步骤如下：求出直线的一个方向向量；在直线L上任意找一点P，确定向量并求出；求出在上的射影，即（是的单位向量）；3利用法向量求点面距离的基本思路如图设点A是平面外一定点，步骤如下：求平面的法向量为(是的单位向量)；在平面内取一点P，确定（PA是平面的斜线）； ；4.异面直线间距离的求法：是两条异面直线，是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则；5.线面距、面面距均可转化为点面距离求解。 复备、笔记、纠错精讲互动： 例1. 课本48页例1例2. 课本49页例2例3.如图边长为1的正方体中，E,F分别是的中

29、点，,过E、F、G的平面交于点H.。（1）求到面EFGH的距离； （2）M，N在棱上，且,求面与的距离。达标训练：1.已知点A（1，-1,2），直线L过原点O，且平行于向量（0,2,1）.求点A到直线L的距离。2.已知点M（-1,1,-2），平面过原点O，且垂直于向量=（1，-2,2）.求点M到平面的距离。小结反思课堂检测1.棱长为2的正方体中，E,F分别是棱和的中点，求点A到直线EF的距离。2. 直三棱柱的侧棱,底面中，,求点到平面的距离。作业布置习题2-6A组第1、2、3题第二章 空间向量与立体几何小结与复习序号12授课时间班级姓名课型新授课备课人杨 宁审核人葛伟学习目标1.平面向量向空间向量堆广，空间向量的坐标表示及运算2.用向量去证明有关线，面位置关系的定理，用向量去求空间中的夹角及距离的问题重点难点空间向量在立体几何中的应用学习过程与方法知识梳理：（一）、基本概念1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线l的方向向量 在上取，则或O是空间任一点，A、B、C三点共线的充要条件是，其中x + y = 1特别地，当时，P