力学竞赛——第九章能量法ppt课件

1、第九章第九章 能量方法初步能量方法初步 本章重点：1、卡氏第二定理2、莫尔定理第一节 杆件应变能的计算第二节 功的互等定理和位移互等定理第三节 卡氏第二定理第四节 莫尔定理及图乘法能量法能量法: 用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。第一节第一节 杆件应变能的计算杆件应变能的计算 在小变形前提下，杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能在小变形前提下，杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能不计，外力的功不计，外力的功W 全部转化为杆件的应变能全部转化为杆件的应变能V，即：，即：VW目录lF一、轴向拉伸紧缩时应变能计算一、轴向拉伸紧缩时应变能计算12WFlNF

2、F2N122F lWF lVEA FF力：力：0F变形：变形：0l 轴力为轴力为x的函数，应变能的函数，应变能2N1( )d2lVFxlEA杆件应变能密度：杆件应变能密度：211222VF lvEVlA目录eM改动时外力作功改动时外力作功e12WM二、圆轴改动时应变能计算二、圆轴改动时应变能计算xeMM2xeP122M lWMVGI扭矩为扭矩为x的函数，应变能的函数，应变能2xP1( )d2lVMxlGI目录1.纯弯曲时，弯矩等于外力偶纯弯曲时，弯矩等于外力偶三、直梁弯曲时应变能计算三、直梁弯曲时应变能计算12WMlMMlzlMlEI2122zM lWMVEI2.横力弯曲时，弯矩为横力弯曲时，

3、弯矩为x的函数，应变能的函数，应变能21( )d2lzVMxlEIM目录12WFV 普通，令普通，令F为广义力，为广义力，为广义变形，当为广义变形，当F由零开场由零开场缓慢添加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，缓慢添加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，即即 。假设资料处于线弹性范围，假设资料处于线弹性范围，VW对于非线弹性资料，对于非线弹性资料，dVWF FFd目录四、应变能普遍表达式四、应变能普遍表达式杆件复杂变形时，取杆件复杂变形时，取dx微段，假设其上同时有微段，假设其上同时有FN (x) 、 Mx (x)、M(x)作用，杆件的应变能：作用，杆件的应变能：2N1( )d2lVFx

4、xEA2xP1( )d2lMxxGI21( )d2lzMxxEI目录例例9-1 集中力集中力F作用于简支梁的作用于简支梁的C点，试用能量原理点，试用能量原理计算截面计算截面C的挠度的挠度wc。设。设EI为常数。为常数。c12lFbFAlFaFB解：由平衡方程解得解：由平衡方程解得将梁分为将梁分为AC和和CB两段，两段， CB段段AC段段11)(xlFbxM)0(1ax 22)(xlFaxM)0(2bx 梁的应变能为梁的应变能为 abdxEIxMdxEIxMV002221122)(2)(2211220011()()22abFbFaxdxxdxEIlEIl2226F a bEIlEIlbaFFwc

5、62222EIlbFawc322方向向下方向向下 由式由式可解得可解得目录第二节第二节 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理 定理：在线弹性体上作用两组力，第一组力在第二定理：在线弹性体上作用两组力，第一组力在第二组力引起的位移上作的功，等于第二组力在第一组力引组力引起的位移上作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上作的功。即：起的位移上作的功。即：212121FF目录二、位移互等定理二、位移互等定理122121 , FFF221AB112ABF1F21121AB2F11222AB1F21121AB2F11222AB先作用先作用F1，再作用，再

6、作用F21F2FAB1222先作用先作用F2，再作用，再作用F1单独作用单独作用F1单独作用单独作用F211211F2FAB112112221112221121122VFFF1112222211122FFF证明：证明：所以所以应变能应变能212121FF目录 例例9-2 图示简支梁。知梁中点图示简支梁。知梁中点C作用力作用力F时，时，B截面截面的转角的转角EIFlB162，试求在，试求在B截面作用力偶矩截面作用力偶矩M时，时，解：解： 根据功的互等定理，根据功的互等定理， FC=MBEIMlC162解得解得C点的挠度点的挠度C。 目录例例9-3 图示悬臂梁，知梁的抗弯刚度为图示悬臂梁，知梁的抗

7、弯刚度为EI，假设，假设B点的点的垂直位移为零，试用互等定理求垂直位移为零，试用互等定理求FB。解解: 将将F及及FB作为第一组力作为第一组力想象在同一悬臂梁右端作用单位力想象在同一悬臂梁右端作用单位力0F=1，作为第二组力。作为第二组力。 点的相应位移分别为点的相应位移分别为 在在0F=1作用下悬臂梁上的作用下悬臂梁上的F及及FB作用作用)3(621alEIaEIl332由功互等定理有：由功互等定理有：03)3(632EIlFalEIFaB由此解得：由此解得： )3(222allaFFBB0B0目录iFVi12n3AB1F2F3FnF第三节第三节 卡氏第二定理卡氏第二定理式中，式中，i为为F

8、i作用途沿作用途沿Fi 方向的位移量。方向的位移量。 设在外力设在外力F1，F2，Fi， Fn第一组力作用下，第一组力作用下，证明：证明：其相应的位移为其相应的位移为1，2，i， n 。 iF设设Fi有增量有增量第二组力第二组力 ，其他不变，那么相应产生位移增量，其他不变，那么相应产生位移增量n21i，。应变能增量为。应变能增量为 1122nn12iiiiVFFFFF 略去高阶小量略去高阶小量2/iiF 1122nniiiiFFFFF iiFViiFViiiFFVFVilim0目录由功的互等定理由功的互等定理12n3AB1F2F3FnF横力弯曲横力弯曲 liliiidxFxMEIxMEIdxx

9、MFFV)()(2)(2lEIdxxMV2)(2桁架桁架 njjjNjEAlFV122njijNjjjNnjjjjNiiiFFEAlFEAlFFFV1122留意：用卡氏定理求构造某处的位移时，该处需求有与所求位移留意：用卡氏定理求构造某处的位移时，该处需求有与所求位移相应的载荷。假设该处没有与此位移相应的载荷，可先在该点虚设相应的载荷。假设该处没有与此位移相应的载荷，可先在该点虚设一个广义力一个广义力F，运用卡氏定理求广义位移，最后让该力，运用卡氏定理求广义位移，最后让该力F=0。目录 例例9-4 试计算图示构造在荷载试计算图示构造在荷载 F1 作用下作用下C点的竖点的竖向位移，构造中两杆的长

10、度均为向位移，构造中两杆的长度均为 l ，横截面面积均为，横截面面积均为A。B1FDC cos21FFNEAlFEAlFEAlFEAlFEAlFVNNNnjjjNj22122222112112cos4222122cosiiVFlFEA （ ）目录 例例9-5 外伸梁外伸梁ABC的自在端作用有铅直荷载的自在端作用有铅直荷载FP，求求1C端挠度，端挠度，2 C端转角。端转角。 laFFPA laFFPB111xlaFMP22xFMP222P1PP2200P1ddd laiiliMMF a xxxF xxEIFEIl lax1x2PFABC11xlaFMP22xFMP）（ 3 2alEIaFp目录2

11、P1P22001ddlaiiCiMMF a xxF xxEIMEIllax1x2PFABCPAF aMFll1BPaMFFll11)(xlMlaFMPlxMM11MxFMP2212MMalEIaFp326目录第四节第四节 莫尔定理及图乘法莫尔定理及图乘法一莫尔定理一莫尔定理lEIdxxMxM)()(0)(0 xM：沿待求位移方向作用单位载荷梁的弯矩方程。：沿待求位移方向作用单位载荷梁的弯矩方程。 目录( )M x：外载荷作用梁的弯矩方程。：外载荷作用梁的弯矩方程。 ：与单位载荷方向一致为正。：与单位载荷方向一致为正。 2100证明：证明：在梁上作用一组外力在梁上作用一组外力 在梁上作用单位力在

12、梁上作用单位力 先作用单位力再作用外力先作用单位力再作用外力由于由于F1，F2，作用的应变能为：作用的应变能为：lEIdxxMV2)(21F0单独作用时的应变能：单独作用时的应变能： EIdxxMV2)(200先作用单位力，再作用外力梁的总应变能为：先作用单位力，再作用外力梁的总应变能为： 101VVV将将F1，F2，与与F0=1同时作用，梁截面上的弯矩：同时作用，梁截面上的弯矩： )()(0 xMxMdxEIxMxMVl2)()(20101VVdxEIxMxMl2)()(20总应变能为：总应变能为：lEIdxxMxM)()(0目录lEIdxxMxM)()(0推行：推行：为广义位移，为广义位移

13、，FO为沿为沿方向的单位载荷。方向的单位载荷。1. 弯扭组合变形杆件弯扭组合变形杆件 0P( )( )( )( )xoxllM x MxMx MxdxdxEIGI 2. 桁架桁架imiiNiiNlEAFF10)(3. 假设要求两点之间的相对位移，沿两点的连线方向加一对方向相假设要求两点之间的相对位移，沿两点的连线方向加一对方向相反的单位力。反的单位力。莫尔定理莫尔定理目录 例例9-6 外伸梁外伸梁ABC的自在端作用有铅直荷载的自在端作用有铅直荷载FP，求，求C端转角。端转角。2P1P22001ddlaCF a xxF xxEIllax1x2PFABC1101xlM12oMalEIaFp326P

14、AF aFl1BPaFFl11xlaFMP22xFMP解：解：lFFBoAo1目录假设假设F、l、EI知，试求：知，试求：1加力点加力点A的位移的位移A；例例9-7 9-7 线弹性资料悬臂梁，自在端线弹性资料悬臂梁，自在端A A作用有集中力。作用有集中力。解：解：1 1求点求点A A的位移。的位移。 FxMxFMEIFlxFxEIlA3d13022求梁中点求梁中点B的位移的位移 在在B点附加力点附加力FO，BC段段)2(lxMo）（EIlFxlxFxEIllB485)d2132/目录2梁中点梁中点B的位移的位移B。例例9-8 图示线弹性构造，杆中各部分的图示线弹性构造，杆中各部分的EI均一样。

15、假设均一样。假设F、EI均为知，试用莫尔定理求均为知，试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移。两点间的相对位移。解：解： 在在A、B两点施加一对单位力两点施加一对单位力 ，略去轴力、剪力的影响：，略去轴力、剪力的影响：310)()(iliiABEIdxxMxMxM101xM102)sin2(03RMM1 =0 ， 0 xR Rx2R 0/2AC段：段：CE段：段：M2 =-F(x-R) ， EG段：段：M3 =-FR(1+sin) ， 2/2000()(1sin ) (2sin )2RRABRxF xR xFRRdxdxRdEIEIEI253233EIFR相对位移的方向与单位力的方向一样。相对位

16、移的方向与单位力的方向一样。 目录二二. 图乘法图乘法ldxxMxMEI)()(10o如如MOx是是x的线性函数的线性函数 tan)(0 xxMdxxxMdxxMxMll)(tan)()(0ccMx0tanEIMdxEIxMxMcl00.)()( : M(x)所围形面积所围形面积cM0：MO图上对应于图上对应于M图形心图形心C的纵坐标。的纵坐标。 当当M图、图、 Mo图为折线时，应以折线的转机点为界，逐段运用图乘图为折线时，应以折线的转机点为界，逐段运用图乘法，然后求和。法，然后求和。 目录例例9-9 简支梁受均布载荷作用下，简支梁受均布载荷作用下，EI为知常量，试为知常量，试求跨度中点求跨度

17、中点C的挠度。的挠度。1解解 ： 1. 1.作梁受分布载荷作用的弯矩图作梁受分布载荷作用的弯矩图281ql2.加单位载荷，作单位载荷弯矩图加单位载荷，作单位载荷弯矩图3.计算两段弯矩图的面积计算两段弯矩图的面积 及其形心处及其形心处MO的坐标。的坐标。MOC1MOC232212412832qllqlllMMcC32548521004.跨中挠度为跨中挠度为EIMEIMwCCc210201)( 3845325241243qllqlEI目录例例9-10 平面刚架受力如图，假设横杆弯曲刚度为平面刚架受力如图，假设横杆弯曲刚度为2EI，竖杆，竖杆弯曲刚度弯曲刚度EI，抗拉刚度为，抗拉刚度为EA，且，且E

18、A、EI、q、l均知，均知，试求：试求：(1)由于弯曲变形引起的由于弯曲变形引起的B处程度位移；处程度位移；(2)轴力轴力对对B处程度位移的影响。处程度位移的影响。目录解解: 1.计算弯矩引起的位移计算弯矩引起的位移 FPFCFAyFAxFAy1FC11111ql2ql2C1C2MF281qlC3Mqlll32l32MO222201122122338223()2iCiBii ilqlllqlllqllMME IEIEI 425()48qlEI目录FPFC2FAy2FAx21111+ql21FN+FNO1解解: 2.计算轴力引起的位移计算轴力引起的位移 220112()02iN iBNiiiqllFqlFE AEAEA 242171224172)()(AlIEIqlEAqlMFBNB假设截面为假设截面为l/