讨论微积分在经济学中最基本的一些应用.doc

1、讨论微积分在经济学中最基本的一些应用时间:200912-28 09:50来源：未知 作者:网友推荐 1导数在经济分析中的应用 1。1边际分析在经济分析中的的应用 1.1。1边际需求与边际供给 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量,P为商品价格），则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q（P）可导(其中Q为(本论文仅供参考，如需转载本文，请务必注明原作者以及转载来源：论文图书馆 ）1 导数在经济分析中的应用 1.1 边际分析在经济分析中的的应用 1.1。1 边际需求与边际供给 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（

2、其中Q为需求量,P为商品价格）,则其边际函数Q'=f'(p）称为边际需求函数，简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P）可导(其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p）称为边际供给函数，简称边际供给。 1。1。2 边际成本函数 总成本函数C=C（Q)=C0+C1（Q);平均成本函数=（Q）=C（Q)Q；边际成本函数C=C（Q)C(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为:当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C'(Q0)个单位。 1.1.3 边际收益函数 总收益函数R=R(Q）；平均收益函数=(Q）；边际收益

3、函数R=R（Q) R(Q0）称为当商品销售量为Q0时的边际收益.其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R(Q0)个单位。 1.1。4 边际利润函数 利润函数L=L(Q)=R（Q）C(Q)；平均利润函数；=（Q)边际利润函数L'=L(Q）=R(Q）-C（Q）.L（Q0）称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L'（Q0)个单位。 例1 某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10

4、吨、15吨、20吨时的边际利润。 解：每月生产Q吨产品的总收入函数为: R（Q）=20Q L(Q）=R（Q）-C(Q）=20Q（Q21Q+20) =-Q2+30Q20 L（Q）=(-Q2+30Q20）=-2Q+30 则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为 L'(10)=2×10+30=10（千元/吨）； L'（15)=-2×15+30=0（千元/吨)； L(20）=2×20+30=10（千元/吨）； 以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元;当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1

5、吨，利润反而减少1万元。 显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢? 1。2 弹性在经济分析中的应用 1.2。1 弹性函数 设函数y=f（x）在点x处可导,函数的相对改变量yy=f(x+x）f(x)y与自变量的相对改变量xx之比，当x0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limx0 yyxx=limx0yxxy=f'（x)xf（x) 在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0）Ex=f（x0)xf（x0)称为f(x）在点x=x0处的弹性值,简称弹性.EExf（x0)表示在点x=x

6、0处，当x产生1的改变时，f（x）近似地改变EExf（x0）。 1。2。2 需求弹性 经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。 对于需求函数Q=f（P）（或P=P（Q),由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q）为单调减少函数,P与Q异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为（p)=-f'(p）pf（p） 例2 设某商品的需求函数为Q=ep5,求（1）需求弹性函数；(2）P=3，P=5,P=6时的需求弹性。 解：（1)（p)=-f（p）pf(p)=（-15)e-p5。pep5=p5； （2）（3)=35=0.6;（5)=55=1;(6)=

7、65=1.2 （3)=0。6<1,说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6,需求变动的幅度小于价格变动的幅度. （5)=1,说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1,价格与需求变动的幅度相同.（6)=1。21，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1。2，需求变动的幅度大于价格变动的幅度. 1.2。3 收益弹性 收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即 R=PQ=Pf（p） R=f（p)+pf'(p）=f(p)(1+f'（p)pf(p）)=f(p)（1-) 所以,收益弹性为EREP=R(P）。PR（P）=f(p)(1)ppf(p）=1- 这样，就推导出收益

8、弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。 （1）若<1，则EREP0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）（1）%； （2)若1,则EREP<0价格上涨（或下跌)1,收益减少（或增加）|1%; （3）若=1，则EREP=0价格变动1，收益不变。 1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用 最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大,费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。 1。3.1 最低成本问题 例3 

9、;设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c（x)=mx3-nx2+px，(常数m0,n>0，p0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2)求最小平均成本和相应的边际成本。 解:(1）平均成本(X)=C（x）x=mx2nx+p,C=2mx-n 令C，得x=n2m，而C'（x)=2m>0.所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小. （2)(n2m)=m（n2m)2n（n2m)+p=(4mp-n24m)，又C（x）=3mx22nx+p,C（n2m）=3m（n2m)22m（n2m）+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。1。3。2 

10、;最大利润问题 例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：产品的总成本函数C（Q)=60000+20Q 收益函数R(Q)=pQ=（60-Q1000）Q=60Q-Q21000 则利润函数L(Q）=R（Q）C(Q)=-Q21000+40Q60000 L(Q)=-1500Q+40,令(Q)=0得Q=20000 L'（Q)=1500<0Q=2000时L最大，L（2000)=340000元 所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。

11、2 积分在经济中的应用 在经济管理中,由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。 例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。 解：总成本函数为 C(x）=x0（100+2t)dt+C（0）=100x+x2+1000 总收益函数为R（x）=500x 总利润L(x)=R（x）C（x）=400x-x2-1000，L=4002x，令L=0，得x=200，因为L

12、9;(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×2002002-1000=39000(元）。 在这里我们应用了定积分,分析出利润最大，并不是意味着多增加产量就必定增加利润，只有合理安排生产量，才能取得总大的利润。 综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据. 参考文献 1聂洪珍,朱玉

13、芳.高等数学（一）微积分.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）本文为互联网收集,请勿用作商业用途本文为互联网收集，请勿用作商业用途论述积分在经济建模与分析中的重要作用时间:2009-12-28 09：53来源:未知 作者:网友推荐 0前言 随着社会主义市场经济体系和现代企业制度的建立，经济数学成为经济分析中的重要工具,其中积分是应用范围比较广的工具之一,它的应用已经渗透到经济的各个领域，通过这个工具，在知道函数的导数基础上可以很方便、有效计算函数总量，尤其是企业的总（本论文仅供参考，如需转载本文,请务必注明原作者以及转载来源:论文图书馆 )0 前言

14、 随着社会主义市场经济体系和现代企业制度的建立，经济数学成为经济分析中的重要工具，其中积分是应用范围比较广的工具之一，它的应用已经渗透到经济的各个领域，通过这个工具，在知道函数的导数基础上可以很方便、有效计算函数总量，尤其是企业的总成本、总利润和最值等问题得到充分的应用.本文从积分工具出发,以数学建模的形式分析经济活动中的计量问题。 1 经济数学模型的意义 1。1 数学模型的内涵 数学模型是对实际问题的一种数学表述,是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构. 数学不仅是一门理论科学，也是一门应用

15、广泛的应用科学，没有数学模型的辅助分析，任何的定性分析都还有一定的不足。在国际上，数学建模的分析结果更让人相信，日本更是如此,他们对问题的分析总是要通过量化来论证，定性分析被放到次要的位置。实践也证明,数学模型对经济问题所作的定量分析是严谨的和慎密的，尤其在于重要经济的时间和数量等量化问题的决策上，是非常科学的。 1.2 数学模型在经济分析中的重要性 通常来说,数学并不能直接对经济现象的客观情况进行分析，而是必须通过建立数学模型,把经济现象通过数学语言进行转化，再应用数学的处理方法进行处理，把处理结果转化为经济结论.因此，在这个分析过程中,数学经济模型把经济领域中的下乡用字母、数字和

16、其他数学符号建立相应的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构,这样由定性的内容转化为定量的内容，它从量和形的侧面去考察实际问题,尽可能通过抽象、简化确定出主要的变量、参数,然后尽可能用实验的、观察的、历史的数据来检验，这就成为解决实际问题的真实过程。这就使经济决策实现科学化和定量化，在当前对于决策要求越来越严谨、越严密的今天，数学建模应用于经济活动显得越来越重要，也成为经济主体提升自身竞争力的重要渠道。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快速报价系统（根据厂家各种资源、生产成本、客户需求、产品工艺流程等数据进行数学

17、经济建模)与客户进行协商.可见，数学模型在经济上的应用比较直观、严谨，反应迅速，具有重要的意义. 2 基于数学模型谈积分在经济分析中应用 2。1 积分模型应用的原理 积分的应用是由人们在生产生活活动中，为了解决复杂和动态过程的量化累积而引入的。在日常经济活动中，积分的应用也非常广泛，比如求总值(如总成本和总利润等），包括其他变量时间累计的总量,如求资金的现值和期值等.这些经济活动内容涉及到很多个领域，且函数表达方式都有所不同，但它们的原理都是一样的。 积分变量为P（x）=xa，p（x)dx+p(a) 根据上面原理，我们在经济活动中，如果要求总成本、总收益和总利润时可按上面原

18、理进行推导： 总成本C（x）=x0C'(x)dx+C0，其中C0为固定成本； 总收益R（x)=x0R(x)dx，其中R0为当x=0时的收益，故为0； 总利润L（x）=x0(RC）dx-C0。 2。2 基于积分经济模型的再分析 其他模型按此类推，本文举例再说明： 某航空公司由于市场不断拓展，需要增加某种客机10辆，如果购买一架客机需要一次支付6000万美元,客机的使用寿命大概是15年，如果租用一架飞机，每年需要支付720万美元的租金，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利率为15%，问购买飞机与租用飞机哪种方案为佳？如果年利率为10，又应该采取哪个方案？本例就是平常

19、企业经营过程中经常要决策的内容之一，比如一些企业进行固定资产投资还是选择融资租赁，就要进行方案对比,此例两种方案无法直接比较，必须在同一时间进行价值比较。 均匀货币流的当前价值：设t=0时在银行存入Aert美元，按连续复利计算,t年之后在银行的存款额刚好是A美元,这就是根据期值和现值的计算来推导的。因此，t年后存入的A美元在当前的现值为Aert，那么，对流量为720万美元的均匀货币流，在t,t+t存入的720ertt美元。 在t从0到15年时,在0，15周期内均匀货币流的总货币值，即15年的租金总额合计为 P=150e-rtdt=720rert150=720r（1e-15r) 当r=15时,租

20、金总额P=7200.15（1e0.12×15）4006.6万美元，这时租客机核算; 当r=10%时，租金总额P=7200。1（1-e-0.12×15）6009。9万美元，这时购买客机比较合算. 我们甚至可以根据租金额P=5000时计算出临界的年利率，高于此利润采取租客机，低于此利率则购买客机。 3 结束语 由上面的分析可知，对企业的经营和决策者来说，在经济分析中应用定量的方法,进行精确、严谨的决策，可以为决策者和经营者提供严谨的分析和新的思路,积分模型在经济应用中有较大的发展空间,尤其是当前计算机应用的不断推广，通过建立数学模型，并通过编程的方式进行专门的决策软件

21、开发，是实现高效决策和科学决策的重要路径，也是企业提升自身竞争力的必由之路。参考文献 1严坤妹。在经济应用数学基础教学中体现数学建模的思想J。福建商业高等专科学校学报，2007，（12). 2郑玲。论数学模型在经济领域中的应用J.商情（教育经济研究），2007,（2). 3汪式铮.积分法在经济方面的作用J。成都教育学院学报,2000，（3)论微积分在经济分析中的应用来源：岁月联盟 作者：辛春元 时间:2010-0624 摘 要：微积分作为数学知识的基础 ,是学习学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用,边际成本、 边际收入、 

22、边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略.? 关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值? 1 导数在经济分析中的应用? 1.1 边际分析在经济分析中的的应用? 1.1。1 边际需求与边际供给？ 设需求函数Q=f(p）在点p处可导(其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q?'=f?（p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P）可导(其中Q为供给量，P为商品价格）,则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。？ 1.1.2 边际成本函数? 总成

23、本函数C=C(Q）=C？0+C？1(Q)；平均成本函数=（Q）=C（Q)Q；边际成本函数C?'=C？（Q)C?(Q？0)称为当产量为Q？0时的边际成本,其经济意义为：当产量达到Q?0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C?（Q?0)个单位。? 1。1.3 边际收益函数？ 总收益函数R=R(Q）；平均收益函数=(Q）;边际收益函数R=R（Q）？ R(Q?0)称为当商品销售量为Q?0时的边际收益。其经济意义为:当销售量达到Q?0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R？（Q?0）个单位。? 1.1.4 边际利润函数? 利润函数L=L（Q）=R（Q）-C(Q)

24、;平均利润函数;=(Q）边际利润函数L=L'（Q)=R（Q)C（Q）。L(Q？0)称为当产量为Q？0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q？0时,如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L(Q？0）个单位。? 例1 某每月生产Q(吨)产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q?210Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。? 解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：？ R(Q）=20Q? L（Q）=R（Q）C（Q）=20Q（Q?21Q+20）? =-Q?2+30Q-20? L'(Q)=（-Q?2+30Q20）=2Q+30

25、？ 则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为？ L'(10）=-2×10+30=10（千元/吨）;？ L'（15）=2×15+30=0(千元/吨）；？ L（20)=-2×20+30=10(千元/吨）;？ 以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。？ 显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？? 1。2 弹性在经济分析中的应用？ 1。2.1 弹性函数？ 设函数y

26、=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量yy=f（x+x）f（x)y与自变量的相对改变量xx之比，当x0时的极限称为函数y=f(x）在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyExEyEx=?lim?x0 ?yy？xx=？lim？x0？y？?xxy=f(x)xf（x） 在点x=x?0处，弹性函数值Ef（x？0)Ex=f（x？0）xf（x?0）称为f（x）在点x=x？0处的弹性值，简称弹性。EE?xf（x?0)%表示在点x=x？0处,当x产生1的改变时，f（x)近似地改变EE？xf(x?0）%。? 1。2。2 需求弹性? 经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。? 对于需求

27、函数Q=f（P）(或P=P（Q），由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f（p）（或P=P（Q)）为单调减少函数，P与Q异号，所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为(p)=f（p）pf(p）？ 例2 设某商品的需求函数为Q=e？p5?，求（1）需求弹性函数；（2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性.? 解：（1)(p)=-f（p)pf(p)=-（15)e?-p5？。pe？p5？=p5；？ (2)(3）=35=0.6；（5）=55=1;(6)=65=1。2? （3）=0。61,说明当P=3时,价格上涨1，需求只减少0。6,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。? （5）=1，说明当P=5时，价

28、格上涨1，需求也减少1,价格与需求变动的幅度相同。？ (6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1,需求减少1。2,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。? 1。2。3 收益弹性？ 收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即？ R=PQ=Pf（p)？ R=f(p）+pf(p）=f(p）（1+f(p)pf(p）)=f（p）（1-）？ 所以，收益弹性为EREP=R(P).PR（P）=f（p)(1-)ppf(p)=1- ？ 这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。? （1）若<1，则EREP0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）

29、(1）%;? （2）若1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1，收益减少(或增加）1-%；? （3）若=1，则EREP=0价格变动1，收益不变.? 1。3 最大值与最小值在问题中的应用？ 最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低,收入最多,利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。？ 1。3。1 最低成本问题? 例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c（x)=mx?3-nx？2+px，（常数m>0，n0,p0)，（1）问每批生产多少单位时，使平均

30、成本最小?（2）求最小平均成本和相应的边际成本。? 解:（1)平均成本(X)=C（x)x=mx?2nx+p，？C？=2mx-n？ 令?C？，得x=n2m,而?C？(x）=2m0。所以，每批生产n2m个单位时,平均成本最小.? (2）(n2m)=m(n2m)?2n(n2m)+p=(4mpn？24m)，又C（x)=3mx?2-2nx+p,C（n2m）=3m(n2m)?2-2m(n2m）+p=4mpn？24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。? 1.3.2 最大利润问题? 例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60Q1000(Q为销售

31、量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？? 解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q？ 收益函数R（Q)=pQ=(60Q1000)Q=60QQ?21000? 则利润函数L（Q)=R（Q）C(Q)=Q？21000+40Q60000? L(Q)=-1500Q+40,令（Q）=0得Q=20000？ L（Q）=15000Q=2000时L最大,L(2000）=340000元? 所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。 ? 2 积分在经济中的应用? 在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分;如

32、果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决.? 例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C?0=1000元，产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润.？ 解:总成本函数为？ C(x)=?x？0(100+2t）dt+C(0）=100x+x?2+1000？ 总收益函数为R（x)=500x？ 总利润L(x）=R(x）-C（x）=400xx？2-1000，L'=4002x，令L=0，得x=200，因为L(200）<0。所以，生产量为200单位时,利润最大.最大利润为L(200）=400×20

33、0200?21000=39000（元）。？ 在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。？ 综上所述,对经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为的经营决策提供可靠依据。 ？ ？ 1？聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分.北京：对外经济贸易出版社，2003,（6）。?2？顾霞芳.浅谈导数在中的应用.职业圈，2

34、007,(4）.? 3？李春萍。导数与积分在经济分析中的应用。商业视角，2007，(5)。？ 4？褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用.枣庄学院学报，2007，（10）。 文档为个人收集整理，来源于网络文档为个人收集整理，来源于网络数学毕业论文-数学在经济学中的应用发布时间：2009-06-04 来源:应届毕业生求职网 目 录中文题目 1中文摘要、关键字 1英文题目 1英文摘要、关键字 1前 言 21 1元微积分在经济学中的应用 31。1 弹性系数 31.2 经济批量法 31.3生命周期曲线  42 数学规划和拉格朗日函数 52.1 消费者均衡 52.2 效用最大化的必要条件 62。3 效用最大化的充分条件 63 利用数学期望求解经济决策问题 73。1 确定生产批量问题 73.2 最佳进货量的问题 83。3 求职决策问题 94 利用不动点定理证明瓦尔拉斯1般均衡的存在性 10参考文献 13致谢词 14数学在经济学中的应用 摘要数学的1些分