2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(安徽卷)文

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014安徽,文1)设i是虚数单位,复数i3+2i1+i=().a.-ib.ic.-1d.1答案:d解析:原式=-i+2i(1-i)2=1.2.(2014安徽,文2)命题“xr,|x|+x20”的否定是().a.xr,|x|+x2<0b.xr,|x|+x20c.x0r,|x0|+x02<0d.x0r,|x0|+x020答案:c解析:全称命题的否定是特称命题,否定结论,所以选c.3.(2014安

2、徽,文3)抛物线y=14x2的准线方程是().a.y=-1b.y=-2c.x=-1d.x=-2答案:a解析:抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.4.(2014安徽,文4)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().a.34b.55c.78d.89答案:b解析:由程序框图,知依次为:x=1,y=1,z=2;x=1,y=2,z=3;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;x=5,y=8,z=13;x=8,y=13,z=21;x=13,y=21,z=34;x=21,y=34,z=55>50,故输出55.5.(2014安徽,文5)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,

3、则().a.b<a<cb.c<a<bc.c<b<ad.a<c<b答案:b解析:log33<log37<log39,1<a<2;21.1>21,b>2;0<0.83.1<0.80,0<c<1,故c<a<b.6.(2014安徽,文6)过点p(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是().a.0,6b.0,3c.0,6d.0,3答案:d解析:如图所示,直线l1,l2过点p分别与圆o相切于点a、点b.连接op,oa,在rtoap中,|op|=2,|

4、oa|=1,所以opa=6,同理opb=6.所以apb=3.所以直线l1的倾斜角为3,显然直线l2的倾斜角为0,所以直线l的倾斜角的取值范围是0,3.故直线l的倾斜角范围为0,3.7.(2014安徽,文7)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是().a.8b.4c.38d.54答案:c解析:由题意得f(x)=2sin2x+4,其图象向右平移个单位得f(x)=2sin2(x-)+4=2sin2x-2+4的图象,由其图象关于y轴对称得-2+4=k+2,kz,=-k2-8,kz,令k=-1,得=38.8.(2014安徽,文8)一个多面体

5、的三视图如图所示,则该多面体的体积为().a.233b.476c.6d.7答案:a解析:由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,则v=v正方体-2v锥体=8-2×13×12×1×1×1=233.9.(2014安徽,文9)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为()a.5或8b.-1或5c.-1或-4d.-4或8答案:d解析:令x+1=0,得x1=-1;令2x+a=0,得x2=-a2.当-1>-a2,即a>2时,f(x)=-3x-a-1,x<-a2,x+a-1,-a2x-1,3x

6、+a+1,x>-1,其大致图象如图所示,则fmin(x)=f-a2=-a2+a-1=3,解得a=8.当-1<-a2,即a<2时,f(x)=-3x-a-1,x<-1,-x+1-a,-1x-a2,3x+a+1,x>-a2,其大致图象如图所示,则fmin(x)=f-a2=-a2+1-a=3,解得a=-4.当-1=-a2,即a=2时,f(x)=3|x+1|0,不符合题意.综上所述,a=-4或8.10.(2014安徽,文10)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1·y1+x2&

7、#183;y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为().a.23b.3c.6d.0答案:b解析:设a与b的夹角为.x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4有以下三种可能:2a·a+2b·b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;4a·b=4|a|·2|a|cos =8|a|2cos ;a·a+2a·b+b·b=|a|2+2|a|b|cos +|b|2=5|a|2+4|a|2cos .由此易知最小,则8|a|2cos =4

8、|a|2,解得cos =12,=3.第卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2014安徽,文11)1681-34+log354+log345=. 答案:278解析:原式=278+log31=278.12.(2014安徽,文12)如图,在等腰直角三角形abc中,斜边bc=22,过点a作bc的垂线,垂足为a1;过点a1作ac的垂线,垂足为a2;过点a2作a1c的垂线,垂足为a3;,依此类推,设ba=a1,aa1=a2,a1a2=a3,a5a6=a7,则a7=. 答案:14解析:由题意知数列an是以首项a1=

9、2,公比q=22的等比数列,a7=a1·q6=2×226=14.13.(2014安徽,文13)不等式组x+y-20,x+2y-40,x+3y-20表示的平面区域的面积为. 答案:4解析:画出x,y约束条件限定的可行域为如图阴影区域abc,易得b(2,0),c(0,2),d(4,0),由x+3y-2=0,x+2y-4=0,解得a(8,-2),sabc=scbd+sabd=12×2×2+12×2×2=4.14.(2014安徽,文14)若函数f(x)(xr)是周期为4的奇函数,且在0,2上的解析式为f(x)=x(1-x),0x1,

10、sin x,1<x2,则f294+f416=. 答案:516解析:由题意知原式=f8-34+f8-76=f-34+f-76=-f34-f76=-34×1-34-sin76=-316+12=516.15.(2014安徽,文15)若直线l与曲线c满足下列两个条件:(1)直线l在点p(x0,y0)处与曲线c相切;(2)曲线c在点p附近位于直线l的两侧,则称直线l在点p处“切过”曲线c.下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号). 直线l:y=0在点p(0,0)处“切过”曲线c:y=x3直线l:x=-1在点p(-1,0)处“切过”曲线c:y=(x+1)2直线l:y=

11、x在点p(0,0)处“切过”曲线c:y=sin x直线l:y=x在点p(0,0)处“切过”曲线c:y=tan x直线l:y=x-1在点p(1,0)处“切过”曲线c:y=ln x答案:解析:由题意结合函数的图象知,满足条件,而中曲线在点p附近都在切线的同一边,故不满足条件.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)(2014安徽,文16)设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,abc的面积为2,求cos a与a的值.分析:分析给出的条件,因已知b和c,故先利用三角形面积公式s

12、abc=12bcsin a求出sin a的值,再由平方关系式求出cos a的值,由于a(0,),故cos a的值有两种情况,通过分类讨论结合余弦定理求出相应的边a的值.解:由三角形面积公式,得12×3×1·sin a=2,故sin a=223.因为sin2a+cos2a=1,所以cos a=±1-sin2a=±1-89=±13.当cos a=13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=32+12-2×1×3×13=8,所以a=22.当cos a=-13 时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc

13、cos a=32+12-2×1×3×-13=12,所以a=23.17.(本小题满分12分)(2014安徽,文17)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率

14、;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)p(k2k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879分析:在第(1)问中,由分层抽样的知识容易求出应收集女生的样本数据个数;在第(2)问中,观察给出的频率分布直方图,结合有关数据,求出相对应的小长方形的面积之和,即频率,再用频率估计概率;在第(3)问中,先通过已知条件分别求出每周平均体育运动时间不超过4小时与

15、超过4小时的男生和女生人数,然后列出2×2列联表,其次求出k2的值,用这个值和所给表格中的k0进行比较,从而得出结论.解:(1)300×4 50015 000=90,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性

16、别列联表如下:每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得k2=300×2 250275×225×210×90=100214.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.18.(本小题满分12分)(2014安徽,文18)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nn*.(1)证明:数列ann是等差数列;(2)设bn=3n·an,求数列bn的前n项和

17、sn.分析:在第(1)问中,观察给出的递推关系式,结合待证的数列,找第n项与第n+1项的关系,利用等差数列的定义进行证明,直至得出an+1n+1-ann的差为定值;在第(2)问中,首先由(1)的结论得出数列an的通项公式,进而得出数列bn的通项公式,因为数列bn是由一个等差数列与一个等比数列每一项对应相乘得到的数列,所以可用错位相减法求数列bn的前n项和sn,选对方法是解本题的关键,最后还要注意化简到最简形式.(1)证明:由已知可得an+1n+1=ann+1,即an+1n+1-ann=1.所以ann是以a11=1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)得ann=1+(n-1)·

18、1=n,所以an=n2.从而bn=n·3n.sn=1·31+2·32+3·33+n·3n,3sn=1·32+2·33+(n-1)·3n+n·3n+1.-得,-2sn=31+32+3n-n·3n+1=3·(1-3n)1-3-n·3n+1=(1-2n)·3n+1-32,所以sn=(2n-1)·3n+1+34.19.(本小题满分13)(2014安徽,文19)如图,四棱锥p-abcd的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点g,e,f,h分别是棱pb,ab

19、,cd,pc上共面的四点,平面gefh平面abcd,bc平面gefh.(1)证明:ghef;(2)若eb=2,求四边形gefh的面积.分析:在第(1)问中,通过bc平面gefh这一条件,以此为切入点,即线面平行得线线平行,从而先证得bcgh,同理可证bcef,最后得ghef;在第(2)问中,要求四边形gefh的面积,必须首先弄明白它是什么样的四边形.由(1)知ghef,而ef=bc,ghbc,所以ghef.所以四边形gefh是梯形.要求梯形的面积,就既要知道gh与ef的长,又要知道梯形的高.设bd交ef于点k,连接gk,根据两条直线平行,若其中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面来说

20、明gk是平面abcd的垂线,从而gkef.(1)证明:因为bc平面gefh,bc平面pbc,且平面pbc平面gefh=gh,所以ghbc.同理可证:efbc,因此ghef.(2)解:连接ac,bd交于点o,bd交ef于点k,连接op,gk.因为pa=pc,o是ac的中点,所以poac,同理可得pobd.又bdac=o,且ac,bd都在底面内,所以po底面abcd.又因为平面gefh平面abcd,且po平面gefh,所以po平面gefh.因为平面pbd平面gefh=gk,所以pogk,且gk底面abcd,从而gkef.所以gk是梯形gefh的高.由ab=8,eb=2,得ebab=kbdb=14,

21、从而kb=14db=12ob,即k为ob的中点.再由pogk,得gk=12po,即g是pb的中点,且gh=12bc=4.由已知可得ob=42,po=pb2-ob2=68-32=6,所以gk=3.故四边形gefh的面积s=gh+ef2·gk=4+82×3=18.20.(本小题满分13分)(2014安徽,文20)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.分析:在第(1)问中,通过利用导数判断函数单调性的方法,先求导,再令其等于0,求出导函数的零点,即为相应的

22、极值点,结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负,从而得到原函数的单调区间.在第(2)问中,讨论极值点x2在不在区间0,1内是问题的关键,要通过分类讨论,得出函数f(x)在0,1上的变化趋势,从而得出f(x)在0,1上的最值情况.若函数f(x)在0,1上有单调性,那么f(x)的最值就在区间的端点处取得.若f(x)在0,1上单调递增,那么f(x)在x=0处取得最小值,在x=1处取得最大值.若f(x)在0,1上单调递减,那么f(x)在x=0处取得最大值,在x=1处取得最小值.若函数f(x)在0,1上不单调,就要看能不能把区间0,1再细分成几部分,通过讨论函数f(x)在每一部分的单调性确定

23、其在整个区间上的最值情况.特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小,以确定哪一个才是最值.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f'(x)=1+a-2x-3x2.令f'(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,显然x1<x2.所以f'(x)=-3(x-x1)(x-x2).当x<x1或x>x2时,f'(x)<0;当x1<x<x2时,f'(x)>0.故f(x)在(-,x1)和(x2,+)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.当a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0<a<4时,x2<1.由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减,因此f(x)在x=x2=-1+4+3a3处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.21.(本小题满分13分)(2014安徽,文21)设f1