全概率公式与贝叶斯公式

1、2.2. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式解解2.2.1全概率公式全概率公式 因为 ()()()()P A P B AP A P B A ，且与互不相容，所以()()()()P A P B AP A P B A6546109109AA 0.6 一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率。的概率。例例A=A=第一次取到白球第一次取到白球 BA BAB() ( )P BP A BA B ()()P A BP A B ( ) ( | )( ) ( | )PAPB A PAP

2、B A1()()(|)niiiP BPAP BA1A全概率公式全概率公式 设设1 ，2 ，.，n 构成一个完备事件组，且构成一个完备事件组，且(i )0 ，i1，2，.，n，则对任一随机事件，则对任一随机事件，有有 定理（全概率公式）定理（全概率公式）1 1()(|)P A P B A087. 0 05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 22()(|)P A P B A33()(|)P AP B A()PB41iii)AB(P)A(P)B(P()(|)()(|) ()(| )P A P BAP A P BAP A P BA例例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四

3、等四设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上颗以上麦粒的概率分别为麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子，求这批种子所结的穗含有所结的穗含有50颗以上麦粒的概率颗以上麦粒的概率 解解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是等种子的事件分别是1，2，3，4，则它们构，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含成完备事件组，又设表示任选一颗种

4、子所结的穗含有有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式： ( )( ) ( | )PA B PA PBA95.50.520.151.50.110.05 0.4825 例例 在对空演习中，某高射炮的目标是正在行进中的在对空演习中，某高射炮的目标是正在行进中的一架飞机一架飞机. 已知该炮能击中发动机、机舱及其他部位已知该炮能击中发动机、机舱及其他部位的概率分别是的概率分别是0.10，0.08，0.39.又若击中上述部位而又若击中上述部位而使飞机坠毁的概率分别是使飞机坠毁的概率分别是0.95，0.89，0.51。试求该炮。试求该炮任意发射一发炮弹使飞机坠毁的概率。

5、任意发射一发炮弹使飞机坠毁的概率。 解解 设设B1，B2，B3，B4，分别表示炮弹击中发动机、机，分别表示炮弹击中发动机、机舱、其他部位以及未击中飞机的事件，舱、其他部位以及未击中飞机的事件，A为飞机坠毁为飞机坠毁的事件。已知的事件。已知P(B1)=0.10, P(B2)=0.08, P(B3)=0.39, P(B4)=1-0.10-0.08-0.39=0.43,则由全概率公式：则由全概率公式： )()()()()(2211BAPBPBAPBPAP)()()()(4433BAPBPBAPBP3333)1.0(05.0)9.0(15.0)98.0(8.0)98.0(8.0 3651. 0 例例

6、袋中有袋中有50个乒乓球，其中个乒乓球，其中20个是黄球，个是黄球，30个是白个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，问第二个人取得黄球的概率是多少？回，问第二个人取得黄球的概率是多少？解解 设设A为为“第二个人得黄球第二个人得黄球”的事件。的事件。B表示表示“第一第一个人得黄球个人得黄球”的事件，则由全概率公式：的事件，则由全概率公式： 数数字字”。一一张张卡卡片片上上的的卡卡片片上上的的数数字字大大于于第第表表示示事事件件“第第二二次次取取出出A52 ). , , , , ( , ) ( , ) (5 4 3 2 14551 k

7、kB A PB Pkk例例 5张卡片上分别标有数字张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从，每次从中任取一张，连取两次。（中任取一张，连取两次。（1）若第一次取出的卡片）若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率；（出的数字的概率；（2）若第一次取出的卡片放回，若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率。的概率。解解 （1）不放回抽样的情况）不放回抽样的情况)()()()()(BAPBPBAPBPAP ,2419 51kkkBA

8、PBPAP)()()(. )(2143214151 由全概率公式得：由全概率公式得： 则则). , , , ,( ,)( ,) (5 4 3 2 15551kkBAPBPkk.)(52543215151 （2）有放回抽样的情况）有放回抽样的情况)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP则则1436141 ()( )( | )P ABP AP B A2.2.2贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theoremn后验概率后验概率14 36 14 1 ) ( , / ) ( , / ) ( , / ) (A B PA PA B PA PABAB( )( | )( )PA BPAB

9、PB1( )( | )( | )( )( | )kkkniiiPAPBAPABPAPBA()()( )kkP A BP A BP B 设设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸构成完备事件组，且诸P（Ai）0) B为样本空间的任意事件，为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有则有( k =1 , 2 , , n)证明证明 () ()kkP A P B A1( )( )niiiPAPBA)AB( P)A( P)AB( P)A( P)AB( P)A( P)AB( P)A( P332211110 .2 50 .0 50 .2 50 .0 5 0 .3 50 .0 4 0 .40 .0 2 定

10、理定理贝叶斯公式贝叶斯公式 Bayes Theorem 例例1 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率它是由甲车间生产的概率解解 设设1 ，2 ，3 分别表示产品由甲、乙、丙车分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品间生产，表示产品为次品 显然，显然，1 ，2 ，3 构成完

11、备事件组依题意，有构成完备事件组依题意，有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%, (|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) 0 . 3 6 2()()()P ABP A BP B 例例2 已知在所有男子中有已知在所有男子中有5%，在所有女子中有，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。数相等）。解解设设 A表示抽到的为男子，表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。表示抽到的是女子。则则1( )( ),2P

12、AP BC表示抽到的人有色盲症。表示抽到的人有色盲症。(|)0.05,P C A (|)0.0025P C B 由由Bayes公式有公式有( ) ( | )0.5 0.05( |)( ) ( | )( ) ( | )0.5 0.05 0.5 0.0025P A P C AP A CP A P C AP B P C B95%例例3 某试卷中某试卷中1道选择题有道选择题有6个答案，其中只有一个个答案，其中只有一个是正确的。考生不知道正确答案的概率为是正确的。考生不知道正确答案的概率为1/4，不知，不知道正确答案而猜对的概率为道正确答案而猜对的概率为1/6。现已知某考生答对。现已知某考生答对了，问他

13、猜对此题的概率有多大？了，问他猜对此题的概率有多大？解解设设 A表示表示“考生不知道正确答案考生不知道正确答案”，B表示表示“考生答对了考题考生答对了考题”。则。则1436141)(,/)(,/)(,/)(ABPAPABPAP 由全概率公式得：由全概率公式得： )()()()()(ABPAPABPAPBP,.)(950CAP514551kk 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得： ).(,.)(.)(ACPCPCAP试试求求，即即有有癌癌症症的的概概率率为为，设设被被试试验验的的人人患患现现对对自自然然人人群群进进行行普普查查0050005095014361416141 .191 例例4 根据以往的

14、临床记录，某种诊断癌症的试验具根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以有如下的效果：若以A表示表示“试验反应为阳性试验反应为阳性”，以以C表示表示“被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症”，则有，则有,995. 0)(,005. 0)( CPCP)()()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCPACP解解,995. 0)(,005. 0)( CPCP2A认认为为是是次次品品”。表表示示“通通过过检检验验产产品品被被B表表示示“产产品品是是次次品品”，A)()(CAPCAP1)()()()()(ABPAPABPAPBP, 05. 095. 01 例例5 已知一批产品的次品率为

15、已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为次品的概率为检验方法，检验时正品被误认为次品的概率为0.02，而次品被误认为正品的概率为而次品被误认为正品的概率为0.05，求通过这种检，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率。验认为是正品的一个产品确实是正品的概率。解解设设 A表示表示“产品是正派品产品是正派品”，B表示表示“通过检通过检验产品被认为是正品验产品被认为是正品”。则。则3A,.)(,.)(1508021APAP 由全概率公式得：由全概率公式得： 9428.0 ,)98.0(%)21()(331 ABP05. 004. 098. 0

16、96. 0 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得： ).(,.)(.)(ACPCPCAP试试求求，即即有有癌癌症症的的概概率率为为，设设被被试试验验的的人人患患现现对对自自然然人人群群进进行行普普查查00500050950.998. 09428. 098. 096. 0 例例6设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏情况共有坏情况共有3种，损坏种，损坏2%（事件（事件A1），损坏），损坏10%（事件（事件A2），），损坏损坏90%（事件（事件A3），且知：），且知：, )10. 0 (%)901 ()(333 ABP05. 0)(,15. 0)(, 8 . 0)(321 APAPAP解解 由条件知，由条件知，。整整品品的的概概率率件件是是否否为为完完出出一一件件后后不不影影响响取取后后一一里里设设物物品品件件数数很很多多，取取这这。试试求求事事件件件件都都是是好好的的这这件件，发发现现随随机机地地取取中中现现在在从从已已被被运运输输的的物物品品).(),(),()(,.)(BAPBAPBAPBAP321333050,)90.