选择性必修第一册第二章 2.3.1 两条直线的交点坐标

1、1 / 11 2.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 23.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 知识点 两条直线的交点 1两直线的交点 已知直线 l1：a1xb1yc10；l2：a2xb2yc20.点 a(a，b) (1)若点 a在直线 l1：a1xb1yc10 上，则有 a1ab1bc10 . (2)若点 a是直线 l1与 l2的交点，则有 a1ab1bc10，a2ab2bc20. 2两直线的位置关系 方程组 a1xb1yc10，a2xb2yc20的解 一组 无数组

2、 无解 直线 l1与 l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行 1若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解( ) 2无论 m为何值，xy10与 x2my30 必相交( ) 3若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交( ) 4在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交( ) 一、求相交直线的交点坐标 例 1 (1)求经过点(2,3)且经过直线 l1：x3y40 与 l2：5x2y60 的交点的直线方程； (2)求经过两条直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 垂直的直线方程 2 / 11

3、 解 (1)联立 x3y40，5x2y60，解得 x2，y2， 所以直线 l1与 l2的交点为(2,2) 由两点式可得所求直线的方程为y323x222， 即 x4y100. (2)由方程组 2x3y30，xy20，得 x35，y75， 因为所求直线和直线 3xy10 垂直， 所以所求直线的斜率 k13， 所以有 y7513x35， 即所求的直线方程为 5x15y180. 反思感悟 求两相交直线的交点坐标 (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组 (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法 跟踪训练 1 (1)已知直线 l1：3x4y50 与 l2：3x5y60 相交，则它们的

4、交点是( ) a.1，13 b.13，1 c.1，13 d.1，13 答案 b (2)经过直线 2xy40 与 xy50 的交点，且垂直于直线 x2y0 的直线方程是( ) a2xy80 b2xy80 c2xy80 d2xy80 答案 a 二、直线系过定点问题 例 2 无论 m为何值，直线 l：(m1)xy7m40恒过一定点 p，求点 p的坐标 解 (m1)xy7m40， m(x7)(xy4)0， x70，xy40， x7，y3. 3 / 11 点 p的坐标为(7,3) 反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条

5、直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解 (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 a1xb1yc1(a2xb2yc2)0，其 中 是 参 数 ， 这 就 说 明 了 它 表 示 的 直 线 必 过 定 点 ， 其 定 点 可 由 方 程 组 a1xb1yc10，a2xb2yc20解得若整理成 yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0) 跟踪训练 2 已知直线(a2)y(3a1)x1，求证：无论 a 为何值，直线总经过第一象限 证明 将直线方程整理为 a(3xy)(x2y1)0. 因为直线 3xy0与 x2y10的交点为15，35， 即直线系恒过第

6、一象限内的定点15，35， 所以无论 a 为何值，直线总经过第一象限 对称问题 典例 光线通过点 a(2,3)，在直线 l：xy10 上反射，反射光线经过点 b(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程 解 设点 a(2,3)关于直线 l的对称点为 a(x0，y0)， 则 2x023y0210，y03x021，解得 a(4，3) 由于反射光线经过点 a(4，3)和 b(1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y1(x1)1314，即 4x5y10. 解方程组 4x5y10，xy10，得反射点 p23，13. 所以入射光线所在直线的方程为 y3(x2)313223，即 5x4y20. 4

7、 / 11 素养提升 对称问题中的直观想象与数学运算 (1)可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系 (2)直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定 1两条直线 l1：2xy10与 l2：x3y110的交点坐标为( ) a(3,2) b(2,3) c(2，3) d(3，2) 答案 b 解析 解方程组 2xy10，x3y110，得 x2，y3. 2直线 2xy10 与直线 xy20的交点在( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 答案 b 解析 联立 2xy10，xy20，解得 x1，y1. 交点(1,1)在第二象限故选 b. 3不论 m为何实数，直线

8、l：(m1)x(2m3)ym0 恒过定点( ) a(3，1) b(2，1) c(3,1) d(2,1) 答案 c 解析 直线 l的方程可化为 m(x2y1)x3y0， 令 x2y10，x3y0，解得 x3，y1， 直线 l恒过定点(3,1)故选 c. 4斜率为2，且过两条直线 3xy40 和 xy40 交点的直线方程为_ 答案 2xy40 解析 设所求直线方程为 3xy4(xy4)0， 即(3)x(1)y440， k312，解得 5. 5 / 11 所求直线方程为 2xy40. 5若三条直线 2x3y80，xy10和 xky0相交于一点，则 k_. 答案 12 解析 解方程组 2x3y80，x

9、y10，得 x1，y2， 又该点(1，2)也在直线 xky0 上， 12k0，k12. 1知识清单： (1)两条直线的交点 (2)直线过定点 2方法归纳：消元法、加减消元法、直线系法 3常见误区：对两直线相交条件认识模糊：直线 l1：a1xb1yc10 与 l2：a2xb2yc20相交的等价条件是 a1b2a2b10. 1直线 x1和直线 y2的交点坐标是( ) a(2,2) b(1,1) c(1,2) d(2,1) 答案 c 解析 由 x1，y2，得交点坐标为(1,2)，故选 c. 2直线 3x2y60和 2x5y70 的交点坐标为( ) a(4，3) b(4,3) c(4,3) d(3,4

10、) 答案 c 解析 由方程组 3x2y60，2x5y70，得 x4，y3.故选 c. 3经过直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点，且经过原点的直线的方程是( ) a19x9y0 b9x19y0 c3x19y0 d19x3y0 答案 c 6 / 11 解析 由 x3y40，2xy50，解得 x197，y37. 故过点197，37 和原点的直线方程为 y319x， 即 3x19y0. 4两条直线 2x3yk0 和 xky120的交点在 y轴上，那么 k的值是( ) a24 b6 c 6 d24 答案 c 解析 因为两条直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在 y 轴上，所以设

11、交点为(0，b)， 所以 3bk0，kb120，消去 b，可得 k 6. 5当 a取不同实数时，直线(a1)xy2a10恒过一定点，这个定点是( ) a(2,3) b(2,3) c.1，12 d(2,0) 答案 b 解析 直线化为 a(x2)xy10. 由 x20，xy10， 得 x2，y3，直线过定点(2,3) 6过两直线 2xy50 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线方程为_ 答案 3xy0 解析 由 2xy50，xy20，得 x1，y3， 则所求直线的方程为 y33(x1)， 即 3xy0. 7三条直线 ax2y80,4x3y10,2xy10相交于一点，则实数 a 的值

12、为_ 答案 1 解析 由 4x3y10，2xy10，解得 x4，y2，又点(4，2)在直线 ax2y80 上， 7 / 11 所以 4a2(2)80，解得 a1. 8已知直线 ax2y10 与直线 2x5yc0 垂直相交于点(1，m)，则 a_，c_，m_. 答案 5 12 2 解析 由两直线垂直得 2a100，解得 a5. 又点(1，m)在直线上得 a2m10,25mc0， 所以 m2，c12. 9求经过直线 l1：7x8y10 和 l2：2x17y90 的交点，且垂直于直线 2xy70的直线方程 解 由方程组 2x17y90，7x8y10，解得 x1127，y1327， 所以交点坐标为11

13、27，1327. 又因为直线斜率为 k12， 所以，所求直线方程为 y132712x1127，即 27x54y370. 10若两条直线 l1：ykx2k1 和 l2：x2y40 的交点在第四象限，求 k 的取值范围 解 联立两直线的方程 ykx2k1，x2y40， 解得 x24k2k1，y6k12k1， 该交点落在平面直角坐标系的第四象限， 24k2k10，6k12k10，解得 12k12，12k16， 即12k16. 则 k的取值范围为12，16. 8 / 11 11直线 kxy12k，当 k变动时，所有直线都通过定点( ) a(2，1) b(2，1) c(2,1) d(2,1) 答案 a

14、解析 kxy12k，可化为 y1k(2x)， 故该直线恒过定点(2，1) 12若三条直线 l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0能构成三角形，则 a 应满足的条件是( ) aa1 或 a2 ba 1 ca1 且 a2 da 1 且 a2 答案 d 解析 (1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知 a1. (2)若三条直线交于一点， 由 xay10，xya0，解得 xa1，y1， 将 l2，l3的交点(a1,1)代入 l1的方程解得 a1(舍去)或 a2. (3)若 l1l2，由 aa110，得 a 1，当 a1时，l1与 l2重合 (4)若 l2l3，由 11a10，得 a1，当

15、a1时，l2与 l3重合 (5)若 l1l3，由 a1110，得 a1，当 a1时，l1与 l3重合 综上，当 a1 时，三条直线重合；当 a1 时，l1l2；当 a2 时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需 a 1且 a2. 13若集合(x，y)|xy20且 x2y40 (x，y)|y3xb，则 b_. 答案 2 解析 解方程组 xy20，x2y40，得 x0，y2， 代入直线 y3xb，得 b2. 14已知 a(2,4)，b(4,2)，直线 l：axy20 与线段 ab 恒相交，则 a 的取值范围为_ 答案 (，31，) 解析 如图所示， 9 / 11 直线 l：axy2

16、0经过定点 d(0，2)，a表示直线 l的斜率， 设线段 ab与 y轴交于点 c， 由图形知，当直线 l：axy20与线段 ab的交点在线段 cb上时， a 大于或等于 db的斜率，即 a22401，即 a1. 当直线 l：axy20 与线段 ab 的交点在线段 ac上时，a小于或等于 da 的斜率， 即 a42203，即 a3. 综上，a的取值范围为(，31，) 15已知 a(3,1)，b(1,2)，若acb 的平分线方程为 yx1，则 ac 所在直线方程为( ) ay2x4 by12x3 cx2y10 d3xy10 答案 c 解析 设 b关于直线 yx1的对称点 b(x，y)， 则 y2x

17、11，y22x121， 即 xy10，xy10， 解得 x1，y0，即 b(1,0)又 b在直线 ac 上， 则直线 ac的方程为y101x313，即 x2y10. 16直线 l 过定点 p(0,1)，且与直线 l1：x3y100，l2：2xy80 分别交于 a，b 两点，若线段 ab的中点为 p，求直线 l的方程 解 方法一 设 a(x0，y0)， 由中点公式，有 b(x0，2y0)， 10 / 11 a在 l1上，b 在 l2上， x03y0100，2x02y080，解得 x04，y02， kap120414， 故所求直线 l的方程为 y14x1， 即所求直线 l的方程为 x4y40. 方法二 由题易知，直线 l的斜率存在， 设所求直线 l方程为 ykx1，l与 l1，l2分别交于 a，b， 解方程组 ykx1，x3y100， 解得 x73k1，y10k13k1， a73k1，10k13k1； 解方程组 ykx1，2xy80，解得