高中数学必修一专题强化训练（三）复合函数问题期末复习重点知识点

1、1 / 16 复合函数问题的解法复合函数问题的解法 复合函数的定义：若复合函数的定义：若( )()( )(),yf uuc ybug xxa ucc=且 则则( )()(),yf g xxa xb=叫函数叫函数( )( )yf uug x=与的复合函数的复合函数 复合函数的定义域：复合函数的定义域：( )yf x=中的中的x的范围，即为的范围，即为( )()f g x中中( )g x的范围，再解的范围，再解x即得结果。即得结果。 复合函数的单调性：同增异减复合函数的单调性：同增异减 简单说明：简单说明：( )()121212,fuxx uufff g x若，则为增函数 ( )()121212,

2、fuxx uufff g x若，则为减函数 ( )()121212,fuxx uufff g x若，则为减函数 ( )()121212,fuxx uufff g x若，则为增函数 复合函数的值域：若要求复合函数的值域：若要求y的范围，则先求的范围，则先求u的范围，再通过的范围，再通过y的的单调性求单调性求y的值域。的值域。 经典例题经典例题 一选择题（共一选择题（共 18 小题）小题） 1若函数(1 )f x+的定义域1，1 ，则函数( )f x的定义域为( ) a1，1 b2，0 c 0，2 d2，2 2已知函数( )f x的定义域为 2，8 ，则函数2() ( 2 ) 9h x f xx=

3、+ 的定义域为( ) a 4，1 6 b(，13，)+ c 3，4 d 1，3 2 / 16 3若函数( )f x的定义域为1，2 ，则函数(2 )( )1f xgxx=的定义域是( ) a 1，4 b( 1，4 c 1，2 d( 1，2 4已知函数( )f x的定义域为 1，4 ，则函数(2 )xf的定义域为( ) a 0，2 b 2，1 6 c 1，4 dr 5函数221( )2xxy=的单调递增区间是( ) a 1，)+ b(，1 c 0，2 d 1，2 6已知函数()l o g ( 6 )afxa x=在2x，3 )上为减函数，则a的取值范围是( ) a(1, 2) b( 1，2 c(

4、1,3) d( 1，3 7函数t a n 1yx=的单调递增区间是( ) a2,)()4kkz+ b,)()4kkz+ c2,2)()42kkk z+ d,)()42kkk z+ 8函数()l o g ( 1 2)afxa x= 在区间 0，1 上是增函数，则实数a的取值范围是( ) a1( 0 ,)2 b1(, 1 )2 c(0,1) d(1,)+ 9函数23 2yx x=+ 的单调递增区间为( ) a(，32 b32，)+ c32，2 d 1，32 10已知函数212() l o g(5 4 )f xxx= + 在区间 m，1 m+上是减函数，则m的取值范围为( ) a(，32 b52，)

5、+ c( 1，32 d52，3 ) 3 / 16 11函数214 5yxx=+ 的单调递增区间是( ) a(, 5) b(, 2) c( 2,) + d(1,)+ 12函数213( ) lo g |4|f xx=的单调减区间是( ) a(2，0 (2 ,)+ b(2，0 和(2,)+ c(，2 0，2 ) d(，2 和 0，2 ) 13已知函数()( 1 )xfx aa=，则函数( ( )f f x的值域是( ) a(0,)+ b(1,)+ c 1，)+ dr 14函数22()l o g ( 23 )fxx x=+的值域为( ) a 0，)+ b 1，)+ cr d 2，)+ 15函数1( )

6、1f xx=+的值域是( ) ar b(,1) c(，1 d( 0，1 16函数211yxx=+的值域为( ) a(，43 b(，34 c( 0，43 d( 0，34 17函数2212xyx=+的值域是( ) a(1，12 b( 1,1) c(，12 d( 2,2) 18函数2()2 3fxx x=+的值域是( ) a 0，2 b(，2 c 2，)+ d(0,)+ 二填空题（共二填空题（共 2 小题）小题） 4 / 16 19若函数212() l o g(4 1 2 )fxxx= +，则( )f x的单调递增区间是 20函数1()l o g( 3 )afxa x=，在区间(2,3)上单调递减，

7、则实数a的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 21已知函数( )l og (1) l og ( 1 )aaf x xx= + 其中01a （）求函数( )f x的定义域； （）判断函数( )f x的奇偶性，并给予证明； （）利用复合函数的单调性，指出函数( )f x的单调性（不必证明） 22已知函数( )l o g ( 1 ) ( 0 xafxa a=且1 )a （1）求( )f x的定义域； （2）解关于x的不等式( )f xf（1） 5 / 16 23已知函数12() lo g(2 )af xxx=+ ，0a （1）当2a=时，求函数( )f x在区间 1，)+上的值域

8、； （2）若函数( )f x在区间 1，)+上是减函数，求a的取值范围 24已知函数2( )l o g ( 2 ) ( 0 xafxa ta= ，1 )a （1）若函数( )f x的定义域为r，求实数t的取值范围； （2）若1a，函数( )f x的定义域为d，且满足如下条件：存在,22mnd，使得( )f x在,22mn上 的 值 域 为2m，2n， 那 么 就 称 函 数( )f x为 “ 双 倍 函 数 ” ， 若 函 数2( )l o g ( 2 ) ( 0 xafxa ta= ，1 )a是“双倍函数”，求实数t的取值范围 6 / 16 25已知函数24( )l o g ( 23 )fx

9、a x x=+ （1）已知f（1）1=，求函数( )f x的单调增区间； （2）若函数( )f x的最小值是 0，求实数a的值； （3）若函数( )f x的值域为r，求实数a的取值范围 26已知函数222()2a x xfx+=， （1）当1a= 时，求函数( )f x的值域； （2）若( )f x有最大值 64，求实数a的值 7 / 16 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 18 小题）小题） 1【解答】解：由函数(1 )f x+的定义域为1，1 ，即11x， 则012x+， 所以函数( )f x的定义域为 0，2 ， 故选：c 2【解答】解：函数( )f x的定

10、义域为 2，8 ， 令222890 xx， 解得1433xx， 即13x， 所以函数2() ( 2 ) 9h x f xx=+ 的定义域为 1，3 故选：d 3【解答】解：由函数( )f x的定义域为1，2 ， 令12210 xx，解得14x， 所以函数(2 )( )1f xgxx=的定义域是( 1，4 故选：b 4【解答】解：由函数( )f x的定义域为 1，4 ， 8 / 16 令1 24x， 解得02x， 所以函数(2 )xf的定义域为 0，2 故选：a 5【解答】解：令22t xx= ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为1x=， 则函数22t xx= 在(，1 上是减函数， 由外层

11、函数1()2ty =是减函数，由复合函数的单调性可得， 函数221( )2xxy=的单调递增区间是(，1 故选：b 6【解答】解：若函数()l o g ( 6 )afxa x=在2x，3 )上为减函数， 则1630aa解得：(1a，2 故选：b 7【解答】解：函数t a n 1yx=的单调递增， 可得tan1x，解得,)()42x kkk z+ 故选：d 8【解答】解：由题意可得，0a且1a， 令() 12txa x=，则该函数是减函数， 要使函数()l o g ( 1 2)afxa x= 在区间 0，1 上是增函数， 9 / 16 则01(1)120ata=，解得102a 实数a的取值范围是

12、1( 0 ,)2 故选：a 9【解答】解：由232 0 x x+，得23 20 x x+，解得12x 函数的定义域为 1，2 ， 令232t x x= +，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为32x =， 且在 1，32上单调递增，则原函数的单调递增区间为 1，32， 故选：d 10【解答】解：由2540 x x+，得2540 x x+ ，得14x ， 函数212() l o g(5 4 )f xxx= + 的定义域为(1, 4)， 令254t x x= +，则外层函数12logyt=是定义域内的减函数， 要使212() l o g(5 4 )f xxx= + 在区间 m，1 m+上是减函数

13、， 则内层函数254t x x= +在 m，1 m+上单调递增且恒大于 0， 则2512540mmm+，解得312m m的取值范围为( 1，32， 故选：c 11【解答】解：由2450 x x+ ，解得5x 或1x， 10 / 16 令24 5t x x=+，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为2x= ， 则24 5t x x=+在(, 5)上单调递减且恒大于 0， 由复合函数的单调性可知，214 5yxx=+ 的单调递增区间是(, 5) 故选：a 12【解答】解：函数有意义，则：2|4| 0 x，解得：2x ， 函数2|4|yx= 的单调递增区间为(2，0 和(2,)+，单调递减区间为(

14、, 2)和 0，2 )， 函数13logyx= 在定义域内单调递减， 结合复合函数单调性同增异减的法则可知函数 的单调递减区间为(2，0 和(2,)+， 故选：b 13【解答】解：设xua=，xr，则0u， 1a ，故函数xya=在(0,)+上单调递增， 所以1y，值域为(1,)+， 故选：b 14【解答】解：222 3 (1)2 2xx x + = +， 222( ) l og (2 3) l og 2 1f x xx= +=， 故函数( )f x的值域是 1，)+， 故选：b 15【解答】解：0 x， 11 / 16 11x+， 1011x+， ( )f x的值域是( 0，1 故选：d 1

15、6【解答】解：设2213 31 ()24 4t x xx= + += +， 即34t ，)+， 函数211yxx=+转化为13()4ytt=， 根据反比例函数的性质，可得403y 故选：c 17【解答】解：函数222221(2 ) 331222xxyxxx + += +， 233022x+， 112y； 故选：a 18【解答】解：由223 0 x x+，解得：31x， 由222 3 (1)4yxx x= + = + +， 3x ，1 ，故0y，4 ， 故() 0f x，2 ， 故选：a 12 / 16 二填空题（共二填空题（共 2 小题）小题） 19【解答】解：由241 20 x x+，得(

16、6 ) ( 2 )0 x x+ ，即62x 函数( )f x的定义域为( 6,2) 令2()4 1 2tx x x= +，该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为2x= ， 且在2，2 )上单调递减，而函数12logyt=是减函数， ( )f x的单调递增区间是2，2 ) 故答案为：2，2 ) 20【解答】解：由题意，可得10a 且11a ，得1a且2a 令()3ux a x= ，则该函数为增函数， 要使函数1()l o g( 3 )afxa x=在区间(2,3)上单调递减， 则011(2)230aua=，解得322a 实数a的取值范围是3, 2 )2 故答案为：3, 2 )2 三解答题（

17、共三解答题（共 6 小题）小题） 21【解答】解：（）根据题意，函数( )l og (1) l og ( 1 )aaf x xx= + ， 则有1010 xx+，解可得11x， 故函数( )f x的定义域为( 1,1)， （）根据题意，( )l og (1) l og ( 1 )aaf x xx= + ，定义域( 1,1)关于原点对称 13 / 16 则( ) l og(1) l og(1 )( )aaf x xx f x= + += 故函数( )f x是奇函数； （）根据题意，12()l o g ( 1 )l o g ( 1)l o gl o g (1 )11aaaaxfxxxxx+= +

18、= ， 设211ux= ，则lo gayu=， 易知221( 1)11uxx= +，在区间( 1,1)上的增函数， 又01a ，lo gayu=为减函数， 故( )f x是( 1,1)上的减函数 22【解答】解：（1）根据题意，函数() l o g ( 1 )xafxa=，必有1xa ， 当1a时，10 xax ，此时函数( )f x的定义域为(0,)+， 当01a 时，10 1xax ，此时函数( )f x的定义域为(,0)， 则当1a时，定义域为(0,)+ 当01a 时，定义域为(,0) （2）根据题意，不等式( )f xf（1）， 1x=在定义域内，必有1a 对于() l o g ( 1

19、 )xafxa=，设1xt a= ，则logayt=， 当1a时，在区间(0,)+上，1xt a= 为增函数，logayt=在区间(0,)+上为增函数，故( )f x在(0,)+上单调递增， 故( )f xf（1）的解集为(0,1)， 故答案为：(0,1) 14 / 16 23【解答】解：（1）根据题意，2a=时，122() lo g(2 )f xxx=+ ， 又由1x，则1222 2 2xx+ =， 则121log22y=， 则函数( )f x的值域为(，12； （2）函数12() lo g(2 )af xxx=+ ，设2atxx= +，则12logyt=， 若函数( )f x在区间 1，)

20、+上是减函数， 则2atxx= +在 1，)+为增函数且0t恒成立， 即有1120aa+，解可得2 11a， 即a的取值范围为(21，1 24【解答】解：（1）因为( )f x的定义域为r，所以22 0 xat 恒成立， 所以22xt a恒成立，因为20 xa，所以0t， 于是实数t的取值范围为(，0 （2）当1a时，易知2()l o g (2 )xafxa t=在定义域内为单调递增函数， 若2( )l og ( 2 ) (0, 1)xaf x ataa= 是“双倍函数”， 则需满足log (2 )2log (2 )2manaatmatn=2222mmnnataata=， 那么m，n是方程220 xxa a t+=的两个根，设( 0 )xu au=， 因为m n，所以220uu t+=有 2 个不等的正实根， 15 / 16 18 0t=，且20t，解