高中数学必修一第四章测评

1、1 / 9 第四章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(每小题 5 分,共 40分) 1.计算:log225 log522=( ) a.3 b.4 c.5 d.6 解析 log225 log522 =lg25lg2lg812lg5=3,故选 a. 答案 a 2.(2019 全国,文 3)已知 a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( ) a.abc b.acb c.cab d.bca 解析因为 a=log20.220=1,又 00.20.30.201,即 c(0,1),所以 ac0,a1),若 f(x1 x2 x2 021)=8,则 f(12)+f(2

2、2)+f(20212)的值等于 ( ) a.4 b.8 c.16 d.2loga8 解析f(12)+f(22)+f(20212)=loga12+loga22+loga20212=loga(x1 x2 x3 x2021)2=2loga(x1x2x2021)=2f(x1 x2 x2021)=16. 答案 c 5.函数 y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是( ) a.(0,2 b.-2,+) c.(-,-2 d.2,+) 2 / 9 解析-x2+3x+4=-(-32)2+254254,又-x2+3x+40,则 0-x2+3x+4254,函数 y=log0.4(-x2+3x+4)在(0,+)内

3、为减函数,则 y=log0.4(-x2+3x+4)log0.4254=-2,故函数的值域为-2,+). 答案 b 6.已知 f(x)是奇函数,且当 x0,则-x0. 当 x0,f(ln2)=e-aln2=(eln2)-a=2-a, 2-a=8,a=-3. 答案 d 7.(2019 浙江,6)在同一直角坐标系中,函数 y=1,y=logax+12(a0,且 a1)的图象可能是( ) 解析当 0a1时,函数 y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数 y=1的图象过定点(0,1)且单调递减,函数 y=logax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选 d. 答案 d 8.若

4、 x1满足 2x+2x=5,x2满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=( ) a.52 b.3 c.72 d.4 解析对 2x+2x=5,2x+2log2(x-1)=5 进行变形,可得 2x-1=52-x,log2(x-1)=52-x. 画出函数 y=2x-1,y=52-x,y=log2(x-1)的图象,如图所示. 3 / 9 根据指数函数 y=2x和对数函数 y=log2x 的图象关于直线 y=x对称,易得函数 y=2x-1和函数y=log2(x-1)的图象关于直线 y=x-1对称,从而 x1+x2等于直线 y=x-1与 y=52-x 交点的横坐标的 2 倍,即72. 答案

5、c 二、多项选择题(每小题 5 分,共 20分) 9.(2020 山东烟台高一期末)若 ab0,0c1,则 ( ) a.logcacb c.acbc d.logc(a+b)0 解析因为 0cb0 得 logcalogcb,故 a 正确;因为 0cb0,得 cab0,0c1,所以acbc,故 c正确;取 c=12,a+b=2,则 logc(a+b)=log122=-10 有 x(-,-1)(1,+),故 a 正确;对 b,当 a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时 x(-,-1)(1,+),x2-1(0,+),此时 f(x)=lg(x2-1)值域为 r,故 b错误,c正确;对 d,若 f(x

6、)在区间2,+)上单调递增,此时 y=x2+ax-a-1 对称轴 x=-22.解得 a-4.但当 a=-4 时 f(x)=lg(x2-4x+3)在 x=2 处无意义,故 d 错误. 答案 ac 11.某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积 y(平方米)与时间 t(月)之间的函数关系式是 y=at-1(a0且 a1),它的图象如图所示,给出以下命题,其中正确的有 ( ) a.池塘中原有浮草的面积是 0.5 平方米 b.第 8个月浮草的面积超过 60 平方米 4 / 9 c.浮草每月增加的面积都相等 d.若浮草面积达到 10平方米,20 平方米,30平方米所经过的时间分别为 t1,t2,t3,则

7、2t2t1+t3 解析浮草蔓延后的面积 y(平方米)与时间 t(月)之间的函数关系式是 y=at-1(a0且 a1),函数的图象经过(2,2),所以 2=a2-1,解得 a=2. 当 t=0 时,y=12,故选项 a正确; 当第 8 个月时,y=28-1=27=12860,故 b 正确; 当 t=1 时,y=1,增加 0.5,当 t=2 时,y=2,增加 1,故每月增加的面积不相等,故 c错误. 根据函数的解析式21-1=10,解得 t1=log210+1, 同理 t2=log220+1,t3=log230+1, 所以 2t2=2log220+2=log2400+2t1+t3=log2300+

8、2,所以 2t2t1+t3.故 d正确. 答案 abd 12.(2020 山东师范大学附中高三月考)设函数 f(x)=|log2|,0 2,若实数 a,b,c满足 0abc,且f(a)=f(b)=f(c).则下列结论恒成立的是( ) a.ab=1 b.c-a=32 c.b2-40 d.a+c2b 解析由题意,实数 a,b,c满足 0abc,且 f(a)=f(b)=f(c),结合图象,可得-log2a=log2b=log12c-32,即a=1=c-32,且12a1, 可得 ab=1和 c-a=32恒成立,即 a,b 正确; 又由 b2-4=124(+32)=3(12-)2(+32)0,所以 b2

9、-40,所以 c 正确; 又由 a+c-2b=2a+322 -32,32,当12a0,且 a1)图象恒过定点 a,则点 a的坐标为 ;若 f -320,且 a1)图象恒过定点 a,令 x+2=1,求得 x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1). 当 0a1 时,函数 f(x)为减函数, 若 f -3232,则 1+loga-32+2 32, 即 loga1212,即 12,求得 0a1 时,函数 f(x)为增函数, 若 f -3232,则 1+loga-32+2 32, 即 loga1212,求得 a14,又 a1,所以 a1. 综上,实数 a 的取值范围为 0,14(1,+

10、). 答案(-1,1) 0,14(1,+) 16.某数学小组以函数 f(x)=lg1-1+为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下: 函数 f(x)的定义域为(-1,1); 函数 f(x)是偶函数; 6 / 9 对于任意的 x(-1,1),都有 f(22+1)=2f(x); 对于任意的 a,b(-1,1),都有 f(a)+f(b)=f(+1+); 对于函数 f(x)定义域中任意的两个不同实数 x1,x2,总满足(1)-(2)1-20. 其中所有正确研究结果的序号是 . 解析在中,因为 f(x)=lg1-1+,所以1-1+0,得函数的定义域为(-1,1),所以是正确的; 在中,f(

11、x)=lg1-1+=-lg1+1-=-f(-x), 所以函数 f(x)为奇函数,所以是错误的; 在中,对于任意 x(-1,1),有 f(22+1)=lg1-22+11+22+1=lg2-2+12+2+1=lg(-1)2(+1)2,又 2f(x)=2lg1-1+=lg(-1)2(+1)2,所以是正确的; 在中,对于任意的 a,b(-1,1), 有 f(a)+f(b)=lg1-1+lg1-1+=lg1-1+1-1+=lg1-+1+,又 f(+1+)=lg1-+1+1+1+=lg1-+1+,所以是正确的; 在中,对于函数 f(x)的定义域中任意的两个不同实数 x1,x2,总满足(1)-(2)1-20

12、,即说明 f(x)是增函数,但 f(x)=lg1-1+=lg -1+21+是减函数,所以是错误的. 综上可知,正确研究结果的序号为. 答案 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(1)计算:log3(9272)+log26-log23+log43log316; (2)解方程:log5(x+1)-log15(x-3)=1. 解(1)log3(9272)+log26-log23+log43log316 =log332(33)2+(log23+log22)-log23+log43log342=log33236+log22+(log43

13、)2(log34) =log338+1+2=8+1+2=11. (2)原方程化为 log5(x+1)+log5(x-3)=log55, (x+1)(x-3)=5, 解得 x=-2 或 x=4. 经检验,x=-2不符合题意, 故原方程的解为 x=4. 7 / 9 18.(12分)画出函数 f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间19,6上的最大值. 解因为 f(x)=|log3x|=log3, 1,-log3,0 1, 所以在1,+)上 f(x)的图象与 y=log3x的图象相同,在(0,1)上的图象与 y=log3x 的图象关于 x 轴对称,据此可画出其图象,如图所示.

14、 由图象可知,函数 f(x)的值域为0,+),单调递增区间是1,+),单调递减区间是(0,1). 当 x19,6时,f(x)在区间19,1上是单调递减的,在(1,6上是单调递增的. 又 f(19)=2,f(6)=log360,且 a1. (1)求函数 f(x)-g(x)的定义域; (2)求使函数 f(x)-g(x)的值为正数时 x 的取值范围. 解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数 f(x)-g(x)有意义, 则有 + 1 0,4-2 0, 解得-1x0,得 f(x)g(x), 即 loga(x+1)loga(4-2x). 当 a1 时,可

15、得 x+14-2x,解得 x1. 由(1)知-1x2, 所以 1x2; 当 0a1 时,可得 x+14-2x,解得 x1, 由(1)知-1x2,所以-1x1 时,x 的取值范围是(1,2); 当 0a0, 8 / 9 即 0 x2,则-1t1. 所以 f(t)=lg+12-(+1)=lg+11-. 故 f(x)=lg+11-(-1x0. 由 3x+10,得 x-13. 因为-1x0. 由+11-3x+1,得 x+1(3x+1)(1-x), 即 3x2-x0, 解得 x13,或 x0. 又 x-13,-1x1, 所以-13x0,或13x0且 a1. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 f(35)=2,求使 f(x)0 成立的 x的集合. 解(1)要使函数有意义,则1 + 0,1- 0,解得-1x0,则 log2(x+1)log2(1-x), x+11-x0, 解得 0 x0,且 a1. (1)当 x0,2时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a的值;如果不存在,请说明理由. 解(1)a0,且 a1,设 t(x)=3-ax,则 t(x)=3-ax 为减函数,x0,2时,t(x)的最小值