在高三复习中如何把握重要不等式

1、在复习中准确把握两个不等式佛山市顺德区郑裕彤中学徐新宏不等式a2 b2 2ab（a,b R）是一个最基本也很重要的不等式，它本身的应用较广泛。虽然在新课标的高考中对不等式证明的要求已大大降低，但这并不说明可以放弃。它的一些变形式散见于课本和一些参考资料中，利用这些变形式能较容易地解决一些问题。另外，在广东高考数学理科卷的填空题中有“三选二”的形式，其中有涉及不等式选讲（选修45）的内容，主要的就是柯西不等式的应用。在重要不等式和柯西不等式的应用中，一定要抓准高考中会出现的题型（大都是以客观题形式出现），特别是求最值问题。在利用不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，否则就会出错。本文挖掘 重

2、要不等式和柯西不等式以及它们的一些变形在解题中的应用。这样不仅可以针对高考题型做好准备，而且不会做无用功。一、重要不等式：a2 b2 2ab（a,b R）。变形之一：a b 2jab（a,b R ）（当且仅当a b时取“=”号。）这个不等式也称为基本不等式。这个变形式就是前一个不等式的推论。其中，限制条件 a,b R可以放宽为a,b是非负实数。变形之二：（a_b）2 ab（a,b R）（当且仅当a b时取“=”号） 2变形之三：a2 b2 （a b） （a,b R）（当且仅当a b时取“=”号） 2二、柯西不等式：若 a,b,c,d都是实数，则（a2 b2）（c2 d2） （ac bd）2,当

3、且仅当ad bc时，等号成立（这是二维形式的柯西不等式）。设a1，a2,a3,，an,b,b2,b3,，bn是实数，则,2222222（a1a2.an）（bib?.bn） g”a2b2.anbn）,当且仅当bi 0（i1,2，n）或存在一个数k,使得ai kbi（i 1,2,.,n）时，等号成立（这是一般形式的柯西不等式）。在使用柯西不等式时，一定要根据它的结构特点，直 接使用或灵活地配凑出其固有的形式，其规律性是较明显的。下面略举几例来说明它们的应用。同学们可以自己判断使用了什么形式的不等式。例1.（2004年高考湖北文史卷）一， 5已知 x ，则22x 4x 5后/ 、 f(x) 有()2

4、x 4A .最大值一 B .最小值一. C 最大值144一 ”5斛： x ， x 2 0。f (x)122x 4x 52(x 2)D.最小值1(x 2)2 1 x 212(x 2) - 22(x 2),.x 21,，一,当且仅当x- 1,即x 3时，上式等号成立。22（x 2）因为x 3在定义域内，所以最小值为1。例2. （2006年高考重庆卷）若 a,b,c0 ,且 a(a b c) bc4 2 J3 ,则2a b c的最小值为（A. 3i 1B.6 1C. 2m 2 D. 2V3 2解：由已知条件有(a c)(a b) 4 2足(a,b,c 0, (ac)(a b) (-2a-b-c)2

5、(当且仅当 a c a b即 2b c时，取一号）。所以 2a b c 2 2732(5/3 1) 2店 2。故选 D。例3、（2004年高考重庆文史卷）已知7 2(x0,y 0）,则xy的最小值是，一 .,.5解析：解法一：（不等式法）2=-x15, xy xy3215。当且仅当- x52解法二：（三角代换法）令 5 2cos2 x2sin22cos2 , y2sin215,xy -2 15 （同学们自己验证等号成立的条件） sin 2例4.（某地2007模拟试题）某工厂年产量第二年增长率为第三年增长率为b ,则这两年平均增长率x满足（）解析：设原产量为利用变形二有a bB. x 2A,则有

6、 A(1 a)(1(1 x)2(1 a)(1C.D.例5. （2005年Wj考重庆卷）若A.37B.2b)b)x, y是正数,C.4一一，一十1* 解析：由变形三可以把 x和放在一起,2x11 2(x 丁) 2y(y2x21 ,)2(x而由变形一有： x2x2, y2yA(1 x)2,(1x)2(1 a)(1 b)a上。故选Bo21 2则(x )2 2y9D.2这样就可以解下去。2y1 2 y -) 2x(y2x、2）的最小值是（）(*)2（当且仅当x y 时，两个式子中的等号都成立） 2。此时，（*）式中的等号也同时成立故当且仅当x/1、时，(x ) 2y(y2x）2的最小值是（2a/2）2

7、=4o选（C）。2例6、（惠州市2008届高三第二次调研考试)已知实数 a,b,x, y 满足 a2 b21 , x2 y23,则 axby的最大值为解析：由已知条件，很容易想到公式（a2 b2）（c2 d2） （ac bd）2,显然有222(a b )(xy2） （ax by）2,即有（ax by）2 3 （当且仅当x J3a, y J3b时，等号成立。）则ax by的最大值值得说明的是,在没有学习柯西不等式之前用重要不等式也是可以解决此题的，但不少同学可能是这样做的:因为 2ax a2 x2,2by b2 y2 ,所以 2ax2by2y 4 ,即有ax by 2。所求的最大值是2。这个结果

8、肯定是不对的，请同学们思考错误的原因。例7、（2007年广州市一模）设 a,b为正数，且1 ，一的最小值是b解析：这种类型的解题规律较明显，只要把2a1 . ， , r ,，一 一一， 一结合在一起，即把两式相乘即可。下面给出两种解法: bA、(a b)(2a工)1 a 2 1gb2 b 2a 22a3 J2 （当且仅当b 石a时，等号成立）。即有21 12a bV2o故填3反2B、(a11、b)( )2a b（ ,a）2 （、b）222,即有(I2(2a b331)2 - 、2 (当且仅当b23-,等号成立）。故填贬。2练习：（2007年山东高考题）函数y loga（x 3） 1（a 0,

9、a 1）的图象恒过定点 A,若点A在直线mx ny 1 0上,1 2其中mn 0,则一 一的最小值为 .m n提示：先求出定点 A的坐标（-2, -1）,又点A在直线上，则2m n 1。可仿照例7来做。 22例8.（某地2008年局考模拟题）设 a,b R, a 4b 8,则a 2b的最小值是（）a.2<3b. 4 c. 2 a/2 D. 222分析：此题可能首先想到令a 2b t ,把a t 2b代入a 4b 8 ,用判别式法来解，但要注意b是有限制条件的。在t能否取到最小值时，要验证b存在的条件才行。这个解法还是较麻烦的。也能想到把2.2a 4b 8化为2 b2 1 ,用椭圆的参数方程进行三角代换来解。但经过观察，我们发现有关系82要用好这个关系则简洁很多。2212解：利用变形二有：a24b2-a（2b）2即有（a 2b）2 162222a 4b a (2b),因而想到4 a 2b 44 a 2b 4, a 2b的最小值是-4。当且仅当a 2b,即b2 1,b1,a= 2时，a 2b取得最小值为-4。故选（B）。2b时等号成立）另解：由公式有（a 2b）2 （1 a 1 2b）2(12 12)(a2 4b