二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳

1、2æ b ù2aé b ö2aæ b ù2aé b ö2a2a二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函数叫作二次函数(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx )(xx )_(a0)1 22 二次函数的图象和性质解析式图象定义域f(x)ax2bxc(a>0)(，)f(x)ax2bxc(a<0)(，)值域éê

2、35;4acb4aö，÷øæçè4acb2ù ， ú4a û单调性在 xç， ú上单调递 è û减；在 xê ，÷上单调递 ë ø增在 xç， ú上单调递 è û增；在 xê ，÷上单调递减 ë ø奇偶性顶点对称性当 b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数æ b 4acb2öç ， ÷è 2a 4

3、a øb图象关于直线 x 成轴对称图形3. 幂函数形如 yx (R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常 数4 幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较yxyx2yx3yx12yx1定义域值域R R R 0，)R 0，) R 0，)x|xR 且 x0y|yR 且 y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函 数奇函数x(0，单调性增x0，)时，增； x(，0时，减增增) 时，减； x(，0)时，减1 二次函数的三种形式(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 ( 小 ) 值有 关时，常使用顶点式1í依

4、题意有4aïïî(3)已知二次函数与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点 式求 f(x)更方便2 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在(1， )上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴(2)函数 yx，yx2，yx3，yx ，yx12可作为研究和学习幂函数图象和性质的代表题型一 求二次函数的解析式例 1已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大 值是 8，试确定此二次函数思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用解 方法一 设 f(x)ax2bxc (a0)，

5、ì4a2bc1， ïabc1， ï4acb2î 8，ìa4， 解之，得íb4，c7，所求二次函数解析式为 f(x)4x24x7.方法二设 f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，2222(1) 1 1抛物线对称轴为 x .m .又根据题意函数有最大值为 n8，yf(x)a1( x - )228.f(2)1，a1( x - )2281，解之，得 a4.f(x)41( x - )2284x24x7.方法三依题意知，f(x)10 的两根为x12，x 1，故可设 f(x)1a(x2)(x1)，a0. 2即 f(x)ax2ax2a1.4

6、a(2a1)a2又函数有最大值 y 8，即 8，max 4a解之，得 a4 或 a0(舍去)函数解析式为 f(x)4x24x7.探究提高 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用： 如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关， 可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果题型二 二次函数的图象与性质例 2已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1) 当 a2 时，求 f(x)的最值；(2) 求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数； (3)当 a1 时，求 f(|x|)的单调区间思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)

7、，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义 域的限制作用解：(1)当 a2 时，f(x)x24x3(x2)21，由于 x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是 f(2)1，又 f(4)35，f(6)15，故 f(x)的 最大值是 35.(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4,6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.(3)当 a1 时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为 x6,6，ìx22x3，x(0，6 且 f(x)íîx22x3，x6，0

8、f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0，探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定 区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键 是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区 间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二 次函数图象的对称轴进行分析讨论求解题型三 二次函数的综合应用例 3若二次函数 f(x)ax2bxc (a0)满足 f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1) 求 f(x)的解析式；(2) 若在区间1,1 上，不等式 f(x)>2xm 恒成立，求实数 m 的 取值范围思维启迪：对于(1)，由

9、f(0)1 可得 c，利用 f(x1)f(x)2x 恒成立，可求出 a，b，进而确定 f(x)的解析式对于(2)，可利用函 数思想求得解 (1)由 f(0)1，得 c1.f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，ì2a2，即 2axab2x，íîab0，因此，f(x)x2x1.ìa1， íîb1.(2)f(x)>2xm 等价于 x2x1>2xm，即 x23x1m>0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在 1,1上的最小值大于 0 即可

10、g(x)x23x1m 在1,1上单调递减，g(x)g(1)m1，由m1>0 得，m<1. min因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1)33131 133解得 a<1 或3 23 2探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”， 它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过 二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形 结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研 究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点题型四 幂函数的图象和性质例 4已知幂函数 f(x)xm22m3 ( mN*)的图象关于 y 轴对称，m m且在(0

11、，)上是减函数，求满足(a1) <(32a) 的 a 的 取值范围思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数 m2m 是整数，及幂函数是偶函数可得 m 的值2m3<0，再结合解 函数在(0，)上递减，m22m3<0，解得1<m<3.mN*，m1,2.又函数的图象关于 y 轴对称，m22m3 是偶数，而 222×233 为奇数，122×134 为偶数，m1.而 f(x)x 在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1) <(32a) 等价于 a1>32a>0 或 0>a1>32a 或 a1<0<32a.2 3 &#

12、236; 2 3ü<a< . 故 a 的取值范围为ía|a<1或 <a< ý.î þ探究提高 (1)幂函数解析式一定要设为 yx ( 为常数的形式)；ï4ac<0ï4ac<0(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性方法与技巧1 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从开口方向；对称轴位置；判别式； 端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函 数的图象、性质求解2 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1) ax(2) axìa>02bxc>0，a0 恒成立的充要条件是íïîb2ìa<02bxc<0，a0 恒成立的充要条件是íïîb2.3 幂函数 yx(R )，其中 为常数