2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析

1、整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 1 页 共 13 页2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (i 卷) 本试题卷共 5 页，24 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题 :本题共 12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 0342xxxa， 032xxb，则ab（a）)23, 3(（ b）)23, 3(（c）)23, 1(d）)3 ,23(【解析】：243013ax xxxx，32302bxxx x故332abxx故选 d（2)设yixi1)

2、1(，其中yx,是实数 ,则yix(a）1（ b）2(c）3（d）2【解析】 :由 11i xyi 可知 :1xxiyi ，故1xxy,解得 :11xy所以，222xyixy故选 b（3）已知等差数列na前9项的和为27，810a，则100a（a）100(b)99（c）98(d）97【解析】：由等差数列性质可知：1959599292722aaasa，故53a，而108a，因此公差1051105aad100109098aad故选 c（4）某公司的班车在30:7，00:8,30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是

3、(a)31(b）21(c）32（d）43【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30bacd小明到达的时间会随机的落在图中线段ab中,而当他的到达时间落在线段ac或db时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟 ,根据几何概型，所求概率10101402p故选 b（5）已知方程132222nmynmx表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（a）)3 ,1(（ b）)3, 1(（c）)3 ,0(（d）)3,0(整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 2 页 共 13 页【解析】：222

4、213xymnmn表示双曲线，则2230mnmn，223mnm由双曲线性质知：222234cmnmnm,其中c是半焦距， 焦距22 24cm，解得1m13n，故选 a（6)如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是328，则它的表面积是（a）17(b）18（ c）20（d）28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42 +32 =1784s，故选 a(7)函数xexy22在2 ,2的图像大致为（a）（b）（c）（d) 【解析】：222882.80fe，排除 a；222882

5、.71fe，排除 b; 0 x时，22xfxxe，4xfxxe ，当10,4x时 ,01404fxe因此 fx 在10,4单调递减，排除c;故选 d（8）若1ba，10c，则（a）ccba（b）ccbaab（c）cbcaabloglog（d）ccbaloglog【解析】：由于01c，函数cyx 在r上单调递增，因此1ccabab ，a 错误 ; 由于110c,函数1cyx在1,上单调递减，111ccccababbaab ，b 错误；1yx22o1yx22o1yx22o1yx22o整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 3 页 共 13 页要比

6、较logbac和logabc，只需比较lnlnacb和lnlnbca，只需比较lnlncbb和lnlncaa，只需lnbb和lnaa，构造函数ln1fxxx x，则ln110fxx， fx 在 1,上单调递增 ,因此110lnln0lnlnf af baabbaabb，又由01c得ln0c，lnlnlogloglnlnabccbcacaabb，c 正确；要比较logac和logbc，只需比较lnlnca和lnlncb，而函数lnyx 在 1,上单调递增，故111lnln0lnlnababab，又由01c得ln0c， lnlnlogloglnlnabccccab，d 错误；故选 c（9）执行右面

7、的程序框图，如果输入的0 x，1y,1n，则输出yx,的值满足（a）xy2(b)xy3（c）xy4（d）xy5【解析】：第一次循环 :220,1,136xyxy; 第二次循环 :22117,2,3624xyxy；第三次循环：223,6,362xyxy；输出32x，6y，满足4yx;故选 c(10）以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于ba,两点，交c的准线于ed,两点 ,已知24ab，52de，则c的焦点到准线的距离为（a)2 （b）4 (c）6 (d）8 【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理设抛物线为22ypx0p，设圆的方程为222xyr ，如图：设0,22a x，, 52pd，

8、点0,22a x在抛物线22ypx 上，082px ;点, 52pd在圆222xyr上, 2252pr；点0,22a x在圆222xyr 上，2208xr ;联立解得:4p，焦点到准线的距离为4p故选 b（11）平面过正方体1111dcbaabcd的顶点a,/平面11dcb，f nyynxx,21nyx,输入开始结束yx,输出1nn?3622yx是否整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 4 页 共 13 页平面abcdm，平面naabb11，则nm,所成角的正弦值为（a）23（b)22（c）33（d)31【解析】：如图所示：aa1bb1dc

9、c1d111cb d平面，若设平面11cb d平面1abcdm,则1mm又平面abcd平面1111ab c d，结合平面11b d c平面111111abc db d111b dm，故11b dm，同理可得：1cdn故m、n的所成角的大小与11b d、1cd所成角的大小相等，即11cd b的大小而1111bcb dcd（均为面对交线） ，因此113cdb，即113sin2cd b故选 a(12）已知函数)2, 0)(sin()(xxf，4x为)(xf的零点 ,4x为)(xfy图像的对称轴，且)(xf在)365,18(单调，则的最大值为（a)11 （b）9 （c）7 （ d)5 【解析】 :由题

10、意知：12+4+ +42kk则21k，其中kz，( )f x 在 5,18 36单调，5,123618122t接下来用排除法：若11,4，此时( )sin 114f xx，()f x 在 3,18 44递增，在35,44 36递减,不满足( )f x 在 5,18 36单调； 若9,4，此时( )sin 94f xx，满足( )f x 在 5,18 36单调递减。故选b二、填空题：本大题共3 小题，每小题5分。（13)设向量a)1 ,(m，b)2, 1(，且|ab|2a|2b2|,则m【解析】：由已知得：1,3abm，22222222213112ababmm，解得2m(14）5)2(xx的展开

11、式中 ,3x的系数是 （用数字填写答案) 整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 5 页 共 13 页【解析】：设展开式的第1k项为1kt，0,1,2,3,4,5k,5552155c2c 2kkkkkkktxxx当532k时，4k,即4545 43255c 210txx，故答案为10(15）设等比数列na满足1031aa，542aa,则12na aa的最大值为【解析】：由于na是等比数列，设11nnaa q,其中1a是首项 ,q是公比2131132411101055aaaa qaaa qa q，解得 :1812aq故412nna，32.412

12、1.2nnaaa211749722241122n nn，当3n或4时，21749224n取到最小值6，此时2174922412n取到最大值62 所以12.naaa的最大值为64（16)某高科技企业生产产品a 和产品 b需要甲、乙两种新型材料生产一件产品a需要甲材料1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品b 需要甲材料0。5kg，乙材料0。3kg，用 3 个工时生产一件产品a 的利润为2100 元,生产一件产品b 的利润为900 元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品a、产品 b的利润之和的最大值为元【解析】 :设生产 a 产品

13、x件,b 产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则约束为*1.50.51500.3905360000 xyxyxyxyxnyn目标函数2100900zxy；作 出 可 行 域 为 图 中 的 四 边 形 ， 包 括 边 界 ， 顶 点 为(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)，在 (60,100) 处取得最大值，2100 60900 100216000z三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17）(本小题满分12 分) abc的内角cba,的对边分别为cba,，已知cabbac)coscos(cos2（）求c; （）若7c，abc的

14、面积为233,求abc的周长【解析】 :2coscoscosc abbac，由正弦定理得：2cossincossincossincabbac2cossinsincabc，abc,0abc、，, sinsin0abc整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 6 页 共 13 页2cos1c，1cos2c，0c，,3c 由余弦定理得 :2222coscababc，221722abab，237abab133 3sin242sabcab,6ab，2187ab，5ababc周长为57abc(18） （本小题满分12 分）如图 ,在以fedcba,为顶点的

15、五面体中，面abef为正方形，90,2afdfdaf，且二面角eafd与二面角fbec都是60（ )证明：平面abef平面efdc；（）求二面角abce的余弦值【解析】 :abef为正方形，afef，90afd,afdf，=dfeffaf面efdc，af面abef,平面abef平面efdc由知60dfecef，abef，ab平面efdc，ef平面efdcab平面abcd,ab平面abcd面 abcd面efdccdabcd，cdef四边形efdc为等腰梯形以e为原点，如图 建立坐标系 , 设fda，000020eba， ，3022022acaaaa， ，020eba，,3222abcaa，,20

16、0aba， ，设 面bec法 向 量 为 mxyz， ，00m ebm bc，即11112032022a yaxaya z，111301xyz，301m， ，设面abc法向量为222nxyz，=00n bcn ab。即22223202220axayazax222034xyz，034n，,设二面角ebca的大小为. 42 19cos1931316m nmn,二面角ebca的余弦值为2 1919abcdef整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 7 页 共 13 页（19） （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘

17、汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记x表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数（ )求x的分布列；(）若要求5.0)(nxp，确定n的最小值；()以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？【解析】 :每台机器更换

18、的易损零件数为8，9，10，11 记事件ia为第一台机器3 年内换掉7i个零件1,2,3,4i记事件ib为第二台机器3 年内换掉7i个零件1,2,3,4i由题知1341340.2p ap ap ap bp bp b，220.4p ap b设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为x，则x的可能的取值为16， 17，18，19，20，21，22 11160.20.20.04p xp ap b1221170.20.40.40.20.16p xp ap bp ap b132231180.20.20.20.20.40.40.24p xp ap bp ap bp ap 20

19、.20.20.20.40.2p xp ap bp ap bp ap bp ap b0.20.40.24243342200.40.20.20.40.20.20.2p xp ap bp ap bp ap b3443210.20.20.20.20.08p xp ap bp ap b44220.20.20.04p xp ap bx16 17 18 19 20 21 22 p0.040.160.240.240.20.080.04 要令0.5p xn，0.040.160.240.5，0.040.160.240.240.5则n的最小值为19；08910112040频数更换的易损零件数整理 : 英德市一中陈健

20、伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 8 页 共 13 页432112344224xqpnmab22222223636 34121|1|13434mnmmmmnmyymmm432112344224xedabc 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n时，费用的期望为19200500 0.2 1000 0.08 1500 0.044040当20n时，费用的期望为20200500 0.081000 0.044080所以应选用19n（20） （本小题满分12 分）设圆015222xyx的圆心为a,直线l过点)

21、0 , 1(b且与x轴不重合 ,l交圆a于dc,两点，过b作ac的平行线交ad于点e（）证明ebea为定值，并写出点e的轨迹方程；(）设点e的轨迹为曲线1c，直线l交1c于nm ,两点，过b且与l垂直的直线与圆a交于qp,两点，求四边形mpnq面积的取值范围【解析】：圆 a 整理为22116xy，a 坐标1,0 ，如图，beac，则cebd，由,acaddc则，ebdd ，则ebed，4 |aeebaeedadab根据椭圆定义为一个椭圆，方程为22143xy， （0y） ；221:143xyc；设:1lxmy,因为 pql ，设:1pqym x，联立1lc与椭圆:221143xmyxy2234

22、690mymy，则圆心a到 pq 距离22|11 | 2|11mmdmm，所以22222244 34|2 |2 1611mmpqaqdmm，2222222121114342411| |2412,831223413431mpnqmmmsmnpqmmmm（21)（本小题满分12 分) 已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点（）求a的取值范围；（）设21,xx是)(xf的两个零点，证明：221xx【解析】：由已知得 :12112xxfxxea xxea整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 9 页 共 13 页 若0a，那么0202xf

23、xxex， fx 只有唯一的零点2x，不合题意； 若0a，那么20 xxeae, 所以当1x时，0fx， fx 单调递增 ;当1x时，0fx， fx 单调递减 ; 即：x,111,fx0fx极小值故 fx 在 1,上至多一个零点，在,1 上至多一个零点由于20fa，10fe，则210ff，根据零点存在性定理，fx 在 1,2 上有且仅有一个零点而当1x时，xee，210 x, 故222212111xfxxea xe xa xa xe xe则0fx的两根21412eeaeta，22412eeaeta，12tt，因为0a,故当1xt或2xt时，2110a xe xe因此，当1x且1xt时，0fx又

24、10fe,根据零点存在性定理，fx 在,1 有且只有一个零点此时，fx 在r上有且只有两个零点，满足题意 若02ea，则 ln2ln1ae，当ln2xa 时，1ln210 xa，ln2220axeaea，即120 xfxxea， fx 单调递增；当 ln21ax时，10 x，ln2220axeaea，即120 xfxxea， fx 单调递减；当1x时，10 x，ln2220axeaea，即0fx， fx 单调递增即：x,ln2aln2aln2,1a11,fx+ 0 0 + fx极大值极小值而极大值22ln22ln22ln21ln2210faaaaaaa故当1x时， fx 在ln2xa 处取到最

25、大值ln2fa，那么ln20fxfa恒成立，即0fx无解整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 10 页 共 13 页而当1x时， fx 单调递增 ,至多一个零点此时 fx 在r上至多一个零点，不合题意 若2ea，那么 ln21a当1ln2xa时，10 x，ln2220axeaea，即0fx,fx单调递增当1ln2xa 时，10 x，ln2220axeaea,即0fx, fx 单调递增又 fx 在1x处有意义，故fx 在r上单调递增，此时至多一个零点，不合题意 若2ea，则 ln21a当1x时，10 x，ln212220axeaeaea，即0

26、fx， fx 单调递增当 1ln2xa 时,10 x,ln2220axeaea，即0fx, fx 单调递减当ln2xa 时，1ln210 xa,ln2220axeaea，即0fx，fx 单调递增即：x,111,ln2aln2aln2,afx+ 0 - 0 + fx极大值极小值故当ln2xa时，fx在1x处取到最大值1fe，那么0fxe恒成立，即0fx无解当ln2xa 时， fx 单调递增，至多一个零点，此时fx 在r上至多一个零点，不合题意综上所述，当且仅当0a时符合题意 ,即a的取值范围为0, 由已知得 :120fxfx，不难发现11x，21x，故可整理得：121222122211xxxex

27、eaxx，221xxeg xx，则12g xg x23211xxgxex，当1x时,0gx， g x 单调递减；当1x时,0gx， g x 单调递增设0m，构造代数式: 111222211111111mmmmmmmmgmgmeeeemmmm设2111mmh mem，0m，则222201mmhmem,故 h m 单调递增，有00h mh因此，对于任意的0m，11gmgm 由12g xg x可知1x、2x不可能在 g x 的同一个单调区间上，不妨设12xx，则必有121xx令110mx，则有1111211112gxgxgxg xg x整理 : 英德市一中陈健伟2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学i 卷逐题解析第 11 页 共 13 页而121x,21x， g x 在 1,上单调递增，因此:121222gxg xxx整理得：122xx请考生在第 (22 ） 、 （23） 、(24 ）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分（22） （本小题满分10 分)选修 41：几何证明选讲图，oab是等腰三角形，120aob以o为圆心，oa21为半径作圆（）证明：直线ab与o相切；（ )点dc,在o上，且dcba,四点共圆，证明：cdab/【解析】：设圆的半径为r，作okab于k120oaobaob，,30sin30