《第八章方差分析》ppt课件

1、第八章第八章方差分析方差分析本章主要引见方差分析的根本原理，单因子本章主要引见方差分析的根本原理，单因子资料的方差分析方法，两因子资料的方差资料的方差分析方法，两因子资料的方差分析方法，方差分析的根本假定和数据转分析方法，方差分析的根本假定和数据转换换第一节第一节 方差分析的根本概念方差分析的根本概念第六章中，我们曾经引见了两个样本所属总第六章中，我们曾经引见了两个样本所属总体平均值的假设检验可用体平均值的假设检验可用t-test或或u-test来来检验其差别性检验其差别性但在大多数情况下，我们的实验有但在大多数情况下，我们的实验有3个或个或3个个以上的样本需求进展比较以上的样本需求进展比较假

2、设这许多样本都只和对照组相比，我们依假设这许多样本都只和对照组相比，我们依然可以运用然可以运用t-test或或u-test进展，但假设需进展，但假设需求样本之间两两相比较的话，就不能运用求样本之间两两相比较的话，就不能运用t-test或或u-test进展了进展了其理由有以下几个：其理由有以下几个：1、当有、当有k个样本所属总体的平均值相互两两比较，个样本所属总体的平均值相互两两比较，就需作就需作 次比较，即作次比较，即作 次假设检验次假设检验例如有例如有10个样本平均值相比较，即需作个样本平均值相比较，即需作 次比较，其任务量相当繁琐次比较，其任务量相当繁琐2、假定每一样本的容量均为、假定每一

3、样本的容量均为n，那么假设我们用，那么假设我们用t-test来作两两比较时，每一差数的规范误就都只来作两两比较时，每一差数的规范误就都只能由能由2(n-1)来估计，而不能用总自在度来估计，而不能用总自在度k(n-1)来估来估计总的规范误，这就使得误差估计的准确度遭到计总的规范误，这就使得误差估计的准确度遭到一定的损失，即我们不能充分运用实验中一切的一定的损失，即我们不能充分运用实验中一切的信息量，这是非常惋惜的信息量，这是非常惋惜的3、这种两两比较会随着样本组数的添加而加大犯、这种两两比较会随着样本组数的添加而加大犯型错误的概率型错误的概率112k k 112k k 11010 1452假定我

4、们要比较假定我们要比较5个样本平均数，两两比较就会有个样本平均数，两两比较就会有 个差数，对这个差数，对这10个差数假设我们都以个差数假设我们都以 进展假设检验，单独对每一差数进展检验时，进展假设检验，单独对每一差数进展检验时，每一差数获得正确结论的概率就是每一差数获得正确结论的概率就是 但这但这10个差数在一同进展比较、且都获得正确结论个差数在一同进展比较、且都获得正确结论的概率就只需的概率就只需 因此在因此在10个两两比较中至少出现一个错误结论的概个两两比较中至少出现一个错误结论的概率就不再是率就不再是 ，而是，而是 这么大的犯错率无论如何是不能容忍的这么大的犯错率无论如何是不能容忍的这阐

5、明，当有多个样本相比较时，假设依然采用这阐明，当有多个样本相比较时，假设依然采用t-test法，就大大地添加了犯法，就大大地添加了犯型错误的概率型错误的概率0.0510.95101010.950.59870.051011 0.051 0.59870.4013 155 1102 因此此时再用因此此时再用t-test法进展检验就不恰当了法进展检验就不恰当了如何对如何对 个样本进展假设检验？个样本进展假设检验？这就是本章所要讨论的方差分析这就是本章所要讨论的方差分析什么叫方差？什么叫方差？方差是对数据或称资料变异的度量方差是对数据或称资料变异的度量方差的公式：方差的公式：总体：总体： 样本：样本：普

6、通总体方差称方差，样本方差称均方普通总体方差称方差，样本方差称均方能使变量发生变异的缘由很多，这些缘由我们都将能使变量发生变异的缘由很多，这些缘由我们都将其称为变异要素或变异来源其称为变异要素或变异来源3k 22xN222211xxxxnsnn方差分析就是发现各类变异要素相对重要性的一种方差分析就是发现各类变异要素相对重要性的一种方法方法方差分析的思绪就是：把整个实验设有方差分析的思绪就是：把整个实验设有k个总体个总体的样本资料作为一个整体来思索的样本资料作为一个整体来思索把整个实验的总变异按照变异的来源分解成不同要把整个实验的总变异按照变异的来源分解成不同要素的变异素的变异由于方差等于平方和

7、除以自在度，因此总方差分解由于方差等于平方和除以自在度，因此总方差分解成各要素的方差，就是将构成总方差的平方和和成各要素的方差，就是将构成总方差的平方和和自在度分解为各要素的平方和和自在度自在度分解为各要素的平方和和自在度然后对各个要素的方差作出数量上的估计，从而发然后对各个要素的方差作出数量上的估计，从而发现各个要素的方差的相对重要程度现各个要素的方差的相对重要程度从总方差中除去各可控要素所引起的方差后，剩余从总方差中除去各可控要素所引起的方差后，剩余方差又可以准确地估计实验误差，作为统计假设方差又可以准确地估计实验误差，作为统计假设检验的根据检验的根据因此，方差分析可以协助我们抓住实验的主

8、要矛盾因此，方差分析可以协助我们抓住实验的主要矛盾和技术关键，发现主要的变异来源，从而抓住主和技术关键，发现主要的变异来源，从而抓住主要的、本质性的东西要的、本质性的东西因此，方差分析是一种非常重要的统计工具因此，方差分析是一种非常重要的统计工具此外，方差分析还有其他非常重要的用途，例如用此外，方差分析还有其他非常重要的用途，例如用于遗传分析，估计参数等于遗传分析，估计参数等方差分析中方差分析中F分布的复习：分布的复习：2122sFs在一个总体中每次抽取两个样本，这两个样本的容在一个总体中每次抽取两个样本，这两个样本的容量分别为量分别为 和和 ，每个样本计算其均方，每个样本计算其均方 ，不断，

9、不断地抽样，就可以得到一系列的地抽样，就可以得到一系列的 ，这些，这些F值值就构成了一个分布就构成了一个分布F分布是一簇曲线，每条曲线仅决议于分布是一簇曲线，每条曲线仅决议于 和和 F分布的平均数为分布的平均数为 ，其分布范围为，其分布范围为本书附表本书附表6是不同自在度是不同自在度 、 下的右尾概率下的右尾概率0.05、0.01的概率值的概率值下面我们按不同的数据构造来引见方差分析方法下面我们按不同的数据构造来引见方差分析方法1n2n2s121F0,)2122sFs12第一节第一节 单向分类资料的方差分析及其根本单向分类资料的方差分析及其根本原理原理所谓单向分类资料是指实验时仅思索一个要所谓

10、单向分类资料是指实验时仅思索一个要素素A，除这一个被思索的要素，除这一个被思索的要素A之外，其他之外，其他要素都控制在同一个程度上要素都控制在同一个程度上这一个要素这一个要素A被分出假设干个等级又称为被分出假设干个等级又称为组，每一个等级就称为要素组，每一个等级就称为要素A内的一个程内的一个程度度例如我们调查不同蛋白质种类的豢养效果，例如我们调查不同蛋白质种类的豢养效果，其他营养物质如能量、矿物质等实验者将其他营养物质如能量、矿物质等实验者将其都控制在同一个程度上，实验时仅选择其都控制在同一个程度上，实验时仅选择几种需求调查的蛋白质进展比较几种需求调查的蛋白质进展比较这里，蛋白质种类就是要素这

11、里，蛋白质种类就是要素A，所选择的几，所选择的几种蛋白质就是程度：种蛋白质就是程度：A1、A2、A3、又如，假设我们仅调查土霉素的疗效，那么其他药又如，假设我们仅调查土霉素的疗效，那么其他药物我们都不思索，仅将土霉素分为几种不同的剂物我们都不思索，仅将土霉素分为几种不同的剂量，那么土霉素就是要素量，那么土霉素就是要素A，不同的土霉素剂量，不同的土霉素剂量就是程度，如就是程度，如A1：0g、A2：0.1g、A3：0.2g、A4：0.3g、再如，调查不同种类鲤鱼的顺应才干，其他条件如再如，调查不同种类鲤鱼的顺应才干，其他条件如水温、饲料、药物、管理等都一样，但鲤鱼的种水温、饲料、药物、管理等都一样

12、，但鲤鱼的种类不同，鲤鱼的种类就是所调查的要素类不同，鲤鱼的种类就是所调查的要素A，被我，被我们所调查的每一个鲤鱼种类就是程度，如们所调查的每一个鲤鱼种类就是程度，如A1：黄：黄河鲤、河鲤、A2：荷元鲤、：荷元鲤、A3：锦鲤、：锦鲤、A4：建鲤、：建鲤、这样的实验就是单向分组，所得到的结果就是单向这样的实验就是单向分组，所得到的结果就是单向分类资料数据分类资料数据要素可以是数量型的，也可以是质量型的，如第一要素可以是数量型的，也可以是质量型的，如第一例中所调查的蛋白质种类和第三例中鲤鱼的种类例中所调查的蛋白质种类和第三例中鲤鱼的种类就是质量型的，其划分的程度也是质量型的就是质量型的，其划分的程

13、度也是质量型的第二例中土霉素的剂量就是数量型的，其划分的程第二例中土霉素的剂量就是数量型的，其划分的程度也是数量型的度也是数量型的单向分类资料又可以分为组内样本容量相等与组内单向分类资料又可以分为组内样本容量相等与组内样本容量不等两种情况样本容量不等两种情况一、组内样本容量相等的单向分类资料一、组内样本容量相等的单向分类资料当每一组每一个程度内的实验动物相等，同时当每一组每一个程度内的实验动物相等，同时实验终了后每一组内的数据资料相等，这就是组实验终了后每一组内的数据资料相等，这就是组内样本容量相等的情况内样本容量相等的情况一数据构造和数学模型一数据构造和数学模型方差分析是建立在一定的线性数学

14、模型根底上的，方差分析是建立在一定的线性数学模型根底上的，所谓线性模型就是指每一个观测值都可以分割成所谓线性模型就是指每一个观测值都可以分割成假设干个线性部分，这是方差分析中平方和、自假设干个线性部分，这是方差分析中平方和、自在度剖分的实际根据在度剖分的实际根据设从一个设从一个 中随机抽取一个样本，容量为中随机抽取一个样本，容量为 ，这一样本中每一观测值这一样本中每一观测值 都可以写成：都可以写成：其中，其中， 为一随机误差，且为一随机误差，且如对这一总体施加效应为如对这一总体施加效应为 的处置，那么总体平均的处置，那么总体平均值为值为 ，方差仍为，方差仍为 ，因此，因此，这时，这时， 无偏估

15、计无偏估计 ， 无偏估计无偏估计 2,N nixiix i20,N2iix x2s2假设将假设将 的总体分成的总体分成 个亚总体，每一亚总体个亚总体，每一亚总体给于一个效应为给于一个效应为 的处置。那么每一亚总体的平的处置。那么每一亚总体的平均值就是：均值就是：从每一亚总体中抽取样本容量均为从每一亚总体中抽取样本容量均为 的样本，那么的样本，那么我们有我们有 个样本，这个样本，这 个样本的数据构造为：个样本的数据构造为：样本样本 观测值观测值 和和 总和总和 总平均总平均 1 2 2, iii nkkkix2is11x12x1jx1nx1T1x21s21x22x2jx2nx2T2x22si1

16、ix2ixijxinxiTix2isk1kx2kxkjxknxkTkx2ksTx上表中任一观测值上表中任一观测值 均具有线性模型：均具有线性模型：且且 ， ，而，而二平方和及自在度的剖分二平方和及自在度的剖分对于整批资料来讲，可以得到一个总的方差：对于整批资料来讲，可以得到一个总的方差：其中，其中， 称为总平方和称为总平方和 称为总自在度称为总自在度ijiijiijx0i20,ijNii221ijTTTxxSSsdfkn 2TijSSxx1Tdfkn在第在第1个样本中，我们可得到：个样本中，我们可得到：在第在第2个样本中，我们可得到：个样本中，我们可得到：在第在第 个样本中，我们可得到：个样本

17、中，我们可得到：在第在第 个样本中，我们可得到：个样本中，我们可得到：这这 个平方和、自在度相加，就是误差项平方和、个平方和、自在度相加，就是误差项平方和、自在度：自在度：ik2111jSSxx11dfn2222jSSxx21dfn2iijiSSxx1idfn2kkjkSSxx1kdfnk212.eikijiSSSSSSSSSSxx12.1eikdfdfdfdfdfk n样本间或称处置间、组间的变异就是这样本间或称处置间、组间的变异就是这 个平个平均值均值 的变异，其平方和、自在度就是：的变异，其平方和、自在度就是：由于由于 估计的是估计的是 ，而，而 估计的是估计的是为了正确地进展为了正确地

18、进展F检验，必需使这两个均方都估计检验，必需使这两个均方都估计同一个同一个 因此样本间的平方和应为：因此样本间的平方和应为：这样，我们就有三个均方：总的、组间、组内这样，我们就有三个均方：总的、组间、组内kix2biSSxx1bdfkbbSSdf2neeSSdf222biSSnxx221ijTTTTxxSSMSSdfkn221ibbbbnxxSSMSsdfk221ijieeeexxSSMSsdfk n如今我们来调查组成三个均方的三个平方和、三个如今我们来调查组成三个均方的三个平方和、三个自在度之间的关系自在度之间的关系先调查第一个样本中每一观测值与总平均值的离差先调查第一个样本中每一观测值与总

19、平均值的离差平方和：平方和：同理：第同理：第2个样本、个样本、第、第 个样本、个样本、第、第 个样个样本也有类似的等式：本也有类似的等式：22111122111111221111112211122jjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn xxik222ijijiixxxxn xx将这将这 个样本的平方和加起来，就得到：个样本的平方和加起来，就得到：即：总平方和即：总平方和=组内平方和组内平方和+组间平方和组间平方和或：总平方和或：总平方和=误差平方和误差平方和+处置平方和处置平方和同理：同理：在实践计算时中间过程请同窗们自行推导：在实践计算时中间过程请同窗们自行推导：其

20、中：其中：k2221knknkijijiijijixxxxnxxTSSeSSbSS111Tebdfknkkk nkdfdf2222ijijijijxxxxxCkn222211ijiiixnxxTTCnknn2ijxCknniiijjTnxxeTbSSSSSS三三F检验检验由于由于这两个均方同时独立地估计着总体方差这两个均方同时独立地估计着总体方差因此可用因此可用 来进展两个均方大小的检验来进展两个均方大小的检验假设对各亚总体各施加的效应假设对各亚总体各施加的效应 不够大，不够大， 间的间间的间隔就拉不开，组间均方就不会显著大于组内均方，隔就拉不开，组间均方就不会显著大于组内均方，F值就达不到显

21、著程度值就达不到显著程度因此，因此， 可用来检验无效假设可用来检验无效假设得到三个平方和、三个自在度后，可用表格的方式得到三个平方和、三个自在度后，可用表格的方式列出相应的均方这就是方差分析表：列出相应的均方这就是方差分析表：bbbSSMSdfeeeSSMSdfbeMSFMS2iixbeMSFMS012:.kH方差分析表方差分析表变异来源变异来源处置间处置间误误 差差总变异总变异这张方差分析表中，总变异的作用不大，因此不需这张方差分析表中，总变异的作用不大，因此不需求写出求写出校正值校正值需求留意的是：需求留意的是：但但dfSSMSF1k1k n1kn21iTCnTbSSSS2ijxCbbbS

22、SMSdfeeeSSMSdfbeMSFMS22ijxTCknknTbeSSSSSSTbedfdfdfTbeMSMSMS例：设计例：设计5种不同的饲料剂型豢养鲫鱼，每种饲料种不同的饲料剂型豢养鲫鱼，每种饲料剂型饲喂剂型饲喂6网箱鲫鱼每网箱鱼规格、数量一网箱鲫鱼每网箱鱼规格、数量一样，实验终了后，统计每网箱鲫鱼的增重情况，样，实验终了后，统计每网箱鲫鱼的增重情况，得如下数据，试分析哪种饲料剂型的饲喂效果好？得如下数据，试分析哪种饲料剂型的饲喂效果好？剂型剂型 观测值观测值 23 17 20 20 21 21 18 16 19 18 14 21 24 25 26 25 28 22 27 21 23

23、19 24 23 16 15 18 16 14 13 iT2xx2isT2ijx 经计算，得一级数据如下：经计算，得一级数据如下：剂型剂型 122 2500 20.33 3.88 106 1902 17.67 5.86 150 3770 25.00 4.00 3165 22.83 7.34 92 1426 15.33 3.06 iT2ijxix2is607T 212763ijx 260712281.636 5C 12763481.37TSSC6 5 129Tdf 2221122106. 92360.546bSSC120.83eTbSSSSSS5 14bdf 5 6 125294edf 5k 6

24、n 设设 不全相等不全相等画方差分析表，将三个平方和、三个自在度填入表画方差分析表，将三个平方和、三个自在度填入表中：中：方差分析表方差分析表变异来源变异来源不同剂型间不同剂型间 4 360.54 90. 18.65 2.76 4.18误误 差差 25 120.83 4.83总的总的T 29 481.37在方差分析表中，在方差分析表中，“不同剂型间也可以写成不同剂型间也可以写成“组组间、间、“处置间等；处置间等；“误差也可以写成误差也可以写成“剂剂型内等型内等总的总的MS普通不用写出，由于总普通不用写出，由于总MS没有用没有用假设所得假设所得F值不显著，就不需求打什么标志值不显著，就不需求打什

25、么标志dfSSMSF0.05F0.01F*0125:.Hvs125:.AH、四多重比较四多重比较当所得当所得F值显著、或极显著，表示从整体来讲剂型值显著、或极显著，表示从整体来讲剂型间存在着极显著的差别，但是不是一切的剂型都间存在着极显著的差别，但是不是一切的剂型都有极显著的差别？有没有差别不显著的两种剂型？有极显著的差别？有没有差别不显著的两种剂型？如何才干知道是哪两种剂型间存在显著或极显著如何才干知道是哪两种剂型间存在显著或极显著的差别？的差别？因此我们必需进展多重比较因此我们必需进展多重比较多重比较的方法很多，但总原那么是：多重比较的方法很多，但总原那么是：首先构造比较用的显著尺度首先构

26、造比较用的显著尺度第二步是将两个平均值的差数与相应的尺度相比较第二步是将两个平均值的差数与相应的尺度相比较凡差值大于尺度的就是显著或极显著凡差值大于尺度的就是显著或极显著多重比较的方法主要有：多重比较的方法主要有：PLSD法、法、Q法、法、NK法、法、SSR法等法等PLSD法就是在方差分析维护下的最小显著差数法，法就是在方差分析维护下的最小显著差数法，实践上就是实践上就是t-test法，但它是在方差分析显著的根法，但它是在方差分析显著的根底上进展的两两比较，它所运用的是方差分析中底上进展的两两比较，它所运用的是方差分析中得到的组内均方，因此其尺度值公式是：得到的组内均方，因此其尺度值公式是：其

27、中，其中， 为组内自在度下为组内自在度下 程度的临界值程度的临界值 为组内均方，为组内均方， 为每组样本容量为每组样本容量求得求得 后，将样本平均值两两求得差值，每一差值后，将样本平均值两两求得差值，每一差值都与都与 相比较相比较,2ijedfxxdfMSDtstn,dfteMSnDDQ法，又称固定极差法其中， 为 表中组内自在度下与样本组数 相对应的 值，求得 值后，将样本平均数两两差数与之比较即可,df kDqSEeM SSEn,df kqqkqDNK法，又称q法，这一方法是公认比较客观的方法其中， 又常写为 为组内均方， 为每组样本容量 为组内自在度下不同极差值 下的 值Q法与NK法的共

28、同点是都运用q表，计算公式一样，其不同点是Q法只求一个最大的 值，因此比较时仅有一个规范而NK法那么根据平均数间隔的远近分别设置不同的 值，因此不同间隔的平均数之差的比较规范不同下面我们以上面的这一例题来阐明详细的比较方法,df rDqSEDLSReMSSEneMSn,df rqrqD第一步，我们求第一步，我们求SE值：值：以误差项自在度查以误差项自在度查q表，该例题共有表，该例题共有5个处置药物个处置药物配伍，因此应从配伍，因此应从2，不断查到，不断查到5的的 和和 值值将将SE值和这些值和这些 值相乘，得相应的值相乘，得相应的 值，即：值，即： 并建表并建表各样本平均数的比较，有好多种方法

29、，这里主要引各样本平均数的比较，有好多种方法，这里主要引见上三角形表示法和字母表示法见上三角形表示法和字母表示法上三角形表示法：上三角形表示法：将平均数按从大到小的次序陈列，逐个减去最小的将平均数按从大到小的次序陈列，逐个减去最小的平均值，然后减去次小的平均值平均值，然后减去次小的平均值等等等等 4.830.8976eMSSEn0.05q0.01qqLSR,df rLSRqSE R 2 3 4 5 2.92 3.54 3.91 4.17 3.96 4.55 4.91 5.17 2.62 3.18 3.51 3.74 3.55 4.08 4.40 4.64 -15.33 -17.67 -20.33 -22.83 25.00 9.67* 7.33* 4.67* 2.17 22.83 7.50* 5.16* 2.50 20.33 5.00* 2.66* 17.67 2.33 15.33ix0.05q0.01q0.05LSR0.01LSR这里的平均数排序，是按照平均数从大到小的次序这里的平均数排序，是按照平均数从大到小的次序陈列的，不能按原来的次序排队陈列的，不能按原来的次序排队首先将每个平均数与最小的平均数相比较，其差写首先将每个平均数与最小的平均数相比较，其差写在相比较的两个平均数相交的位置上在相比较的两个平均数相交的位置上每个差值与每个差值与LSR表中相应的表中相应