2022年2022年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑽

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载中考数学复习资料,细心整编吐血举荐、 如如有用请打赏支持,感谢不尽！初一数学竞赛讲座第 10 讲 计数的方法与原理计数方法与原理为组合数学的主要课题之一,本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理；一.枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京,他要明白全部可供乘坐的车次共有多少,一个最易行的方法 为找一张全国列车运行时刻表,将全部从武汉到北京的车次逐一挑出来,共有多少次车也就数出来 了,这种计数方法就为枚举法；所谓枚举法,就为把所要求计数的全部对象一一列举出来,最终运算总数的方法； 运用枚举法进行列举时,必需留意无一重复,也无一遗漏；例 1 四个同学每人做了一张贺年

2、片,放在桌子上,然后每人去拿一张,但不能拿自己做的一张；问：一共有多少种不同的方法？解：设四个同学分别为a,b,c,d,他们做的贺年片分别为a,b, c, d；先考虑 a 拿 b 做的贺年片 b 的情形（如下表）,一共有3 种方法；同样, a 拿 c或 d做的贺年片也有3 种方法；一共有 333=9（种）不同的方法；例 2 甲.乙二人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢,如没有人连胜头两局,就谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止；问：一共有多少种可能的情形？解：如下图,我们先考虑甲胜第一局的情形：图中打的为胜者, 一共有 7 种可能的情形； 同理,乙胜第一局也有7 种可能的情形； 一共有 77=14（种）可

3、能的情形；二.加法原理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如完成一件事情有n 类方法,而每一类方法中分别有m1,m2, mn种方法,而不论采纳这些方法中的任何一种,都能单独地完成这件事情,那么要完成这件事情共有：n=m1+m2+ mn种方法；这为我们所熟知的加法原理,也为利用分类法计数的依据；例 3 一个自然数,假如它顺着数和倒着数都为一样的,就称这个数为“回文数”；例如1331,7,202 都为回文数,而220 就不为回文数；问： 1 到 6 位的回文数一共有多少个？按从小到大排,第 2000 个回文数为多少？解：一位回文数有： 1,2, 9,共 9 个；二位回文数有： 11,2

4、2, 99,共 9 个；三位回文数有： 101, 111, 999,共 90 个； 四位回文数有： 1001,1111, 9999,共 90 个；五位回文数有： 10001,10101, 99999,共 900 个； 六位回文数有： 100001, 101101, 999999,共 900 个；到六位数为止,回文数共有 9990 90900 900=1998（个）；第 1999 个回文数为 1000001,第 2000 个回文数为 1001001；例 4 设有长度为 1,2, 9 的线段各一条,现在要从这9 条线段中选取如干条组成一个正方形,共有多少种不同的取法？这里规定当用2 条或多条线段接

5、成一条边时,除端点外,不许重叠；解法 1：由于所以正方形的边长不大于11；下面按正方形的边长分类枚举：（1）边长为 11：92=8+3=74=65,可得 1 种选法；（2）边长为 10：91=82=7 3=64,可得 1 种选法；（3）边长为 9 ：9=81=7 2=6 3=54,可得 5 种选法；（4）边长为 8： 8=71=62=5+3,可得 1 种选法；（5）边长为 7： 7=61=52=43,可得 1 种选法；（6）边长 6 时,无法挑选；综上运算,不同的取法共有11+511=9（种）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 2：由于这些线段互不等长,故至少要用7 条线段才

6、能组成一个正方形；当恰取7 条线段组成正方形时,正方形的3 条边各用 2 条线相接,另一条边只用一条线段；当恰用8 条线段时,只能每边各用 2 条线段相接（简洁看出,其他情形不行能发生）；由于1+2 9=45, 45 不能被 4 整除,所以用 9 条线段,不行能组成正方形；由解法一知,拼出的正方形边长至多为11,又易知正方 形的边长不行能为1,2,3,4,5,6；有了以上分析就简洁计数了；（1）取出 7 条线段,有以下7 种：7=1+6 2 5 3 4；81+72+6 3 5；9182736=45（这个式子有 5 种）；（2）取出 8 条线段,有以下2 种：19283746；29384756；

7、综上所述,不同的取法共有72=9（种）； 三.乘法原理假如完成一件事必需分n 个步骤,而每一个步骤分别有m1,m2, mn种方法,那么完成这件事共有： nm1× m2×× mn种方法；这就为乘法原理,它为分步法的依据；乘法原理和加法原理被称为为计数的基本原理；我们应留意它们的区分,也要留意二者的联合使用；例 5 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目；求：（1）当 4 个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的支配节目的次序？（2）当要求每 2 个舞蹈节目之间至少支配1 个演唱节目时, 一共有多少不同的支配节目的次序？ 解：（ 1）先将 4 个舞蹈节目看成1 个

8、节目,与 6 个演唱节目一起排,有7 ！=7× 6× 5× 4×3×2×1=5404（种）方法；其次步再排 4 个舞蹈节目,有 4！=4×3×2×124（种）方法；依据乘法原理,一共有5040 ×24=120960（种）方法；（2）第一将 6 个演唱节目排成一列（如下图中的“”）,一共有6！=6× 5× 4× 3× 2 ×1=720（种）方法；×××××××其次步,再将 4 个

9、舞蹈节目排在一头一尾或2 个演唱节目之间（即上图中“×”的位置）,这相当于从 7 个“×”中选 4 个来排,一共有7× 6× 5× 4 840（种）方法；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据乘法原理,一共有720× 840=604800（种）方法；例 6 有 8 个队参与竞赛,假如采纳下面的剔除制,那么在赛前抽签时,实际上可以得到多少种不同的支配表？解： 8 个队要经过 3 轮竞赛才能确定冠亚军；将第1 轮的 4 组,自左至右记为1, 2, 3, 4 组,其中第 1, 2 组为甲区, 3,4 组为乙区； 8 个队抽签即为

10、在上图的8 个位置排列,共有8！=8× 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1=40320（种）不同的方法；但为,两种不同的排列不肯定为实际上不同竞赛的支配表；事实上,8 队中的某 4 队都分在甲区或乙区,实际上为一样的；同区的4 队中某 2 队在某一组或另一组,实际上也为一样的；同组中的2 队,编号谁为奇数谁为偶数实际也为一样的；由乘法原理知, 在 40320 种排法中, 与某一种排法实质上相同的排法有2 ×22×24=27=128（种）,故按实际不同竞赛支配表的种数为四.对应法小孩子数苹果,往往掰着手

11、指头,一个一个地掰,掰完左手掰右手,这种数苹果的方法就为对应法；小孩子把苹果与自己的手指头一对一,他掰了几个指头,也就数出了几个苹果；一般地,假如两类对象彼此有一对一的关系,那么我们可以通过对一类较易计数的对象计数,而得出具有相同数目的另一类难于计数的对象的个数；例 7 在 8× 8 的方格棋盘中,取出一个由3 个小方格组成的“ l”形（如图 1）,一共有多少种不同的方法？解：每一种取法,有一个点与之对应,这就为图1 中的 a 点,它为棋盘上横线与竖线的交点,且不在棋盘边上；从图 2 可以看出,棋盘内的每一个点对应着4 个不同的取法（“ l”形的“角”在2×2 正方形的不同

12、“角”上）；由于在 8 × 8 的棋盘上,内部有7×7=49（个）交叉点,故不同的取法共有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载49× 4=196（种）；例 8 数 3 可以用 4 种方法表示为 1 个或几个正整数的和,如3,1 2, 2+1,1+11；问： 1999表示为 1 个或几个正整数的和的方法有多少种？分析与解：我们将1999 个 1 写成一行,它们之间留有1998 个间隙,在这些间隙处,或者什么都不填,或者填上“”号；例如对于数3,上述 4 种和的表达方法对应：111,111,111, 1 1 1；明显,将 1999 表示成和的形式与填写199

13、8 个间隙处的方式之间一对一,而每一个间隙处都有填“”号和不填“”号2 种可能,因此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有五.容斥原理在应用加法原理时,关键在于把所要计数的对象分为如干个不重不漏的类,使得每类便于计数；但为详细问题往往为复杂的,经常扭成一团,难以分为不重不漏的类,而要把条理分清晰就得用加 法原理的推广容斥原理；为了表达便利,我们用 a 表示 a 类元素的个数,用 b 表示 b 类元素的个数,用 a b 表示为 a 类或为 b 类元素的个数,用 ab 表示既为 a 类又为 b 类元素的个数； a b c, a b c 的意义类似；容斥原理 1 假如被计数的事物有两类,那么a

14、 babab；容斥原理 2 假如被计数的事物有三类,那么a bca+bc-a b-bcaca bb；容斥原理的实质在于包含与排除,或形象地称之为“多退少补”；容斥原理如用韦恩图进行分析和记忆,非常便利,留给读者讨论；例 9 在 100 名同学中,有 10 人既不会骑自行车又不会游泳,有65 人会骑自行车,有73 人会游泳,既会骑自行车又会游泳的有多少人？解：从 100 名总人数中减去既不会骑自行车又不会游泳的10 人,就为会骑自行车或会游泳的人数100-10=90（人）；既会骑自行车又会游泳的有（65 73） 90=48（人）；例 10 在 1 至 100 的自然数中,不能被2 整除,又不能被

15、3 整除,仍不能被 5 整除的数,占这100 个自然数的百分之几？解：由容斥原理 2 知,1 至 100 的自然数中,或能被2 整除,或能被 3 整除,或能被 5 整除的自然数的个数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5033 20-16-6 3 74；所以,在 1 至 100 的自然数中,不能被2 整除,又不能被 3 整除,仍不能被5 整除的自然数有100 74=26（个）,占这 100 个自然数的 26；六.归纳法对于比较复杂的问题,可以先观看其简洁情形,归纳出其中带规律性的东西,然后再来解决较复杂的问题；例 11 10 个三角形最多将平面分成几个部分？ 解；设 n 个三角形最

16、多将平面分成an 个部分； n=1 时, a1=2；n=2 时,其次个三角形的每一条边与第一个三角形最多有 2 个交点, 三条边与第一个三角形最多有 2×3=6（个）交点；这 6 个交点将其次个三角形的周边分成了 6 段,这 6 段中的每一段都将原先的每一个部分分成 2 个部分,从而平面也增加了 6 个部分,即 a2 2 2× 3；n3 时,第三个三角形与前面两个三角形最多有4×312（个）交点,从而平面也增加了12个部分,即：a3=22×34×3；一般地,第 n 个三角形与前面（ n-1 ）个三角形最多有2（n-1 ）× 3 个交点

17、,从而平面也增加2（n 1）× 3 个部分,故an=22×34×3 2（ n-1 ）× 3 2 24 2（ n-1 ）× 3 2 3n（n-1 ） 3n2-3n 2；特殊地,当 n 10 时,a10 3× 102 3× 102=272,即 10 个三角形最多把平面分成272 个部分；七.整体法解答数学题,有时要“化整为零”,使问题变得简洁；有时反而要从整体上来考虑,从全局.从整体来讨论问题；例 12 正方形 abcd的内部有 1999 个点,以正方形的4 个顶点和内部的1999 个点为顶点,将它剪成一些三角形；问：一共可以剪

18、成多少个三角形？共需剪多少刀？解：我们从整体来考虑, 先运算全部三角形的内角和； 汇聚在正方形内一点的诸角之和为360°, 而正方形内角和也为360°,共有 360 °× 1999360°,从而三角形的个数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于每个三角形有三条边,而正方形纸原先的4 条边当然不用剪；其余的边,由于为两个三角形的公共边,剪一刀出两条边,所以共剪的刀数为练习 101一只青蛙在 a,b,c三点之间跳动,如青蛙从a 点跳起,跳 4 次仍回到 a 点,就这只青蛙一共有多少种不同的跳法？2在国际象棋棋盘上放置两只“车”,假如它

19、们彼此不构成威逼,那么一共有多少种不同的放法？3在 8× 8 的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形？4从 19,20,21, 97, 98,99 这 81 个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数为多少？5平面上有 7 个不在同始终线上的点,以这7 个点作为顶点做三角形,使得任何两个三角形至多只有一个公共顶点；最多可做出多少个满意条件的三角形？6下图为一个道路图； a 处有一大群孩子,这群孩子向东或向北走,在从 a 开头的每个路口, 都有一半人向北走,另一半人向东走,假如先后有 60 个孩子到过路口 b,那么先后共有多少个孩子到过路口 c？7在 1001, 10

20、02, 2000 这 1000 个自然数中,可以找到多少对相邻的自然数,使它们相加时不进位？8有 10 个箱子,编号为1, 2, 10,各配一把钥匙, 10 把各不相同,每个箱子放进一把钥匙锁好,先撬开 1,2 号箱子,取出钥匙去开别的箱子,假如最终能把全部箱子的锁都打开,就说为一种好的放钥匙的方法；求好的方法的总数；练习 10 答案1.6 种；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：如下图,第1 步跳到 b, 4 步回到 a 有 3 种方法；同样第 1 步到 c 的也有 3 种方法；共有 6种方法；2.3136 种；解：第一步,放第一只“车”,有64 种方法；其次步,放其次只“车”

21、,因不能和第一只同行,也不能同列,故有49 种方法；由乘法原理,一共有64×49=3136（种）放法；3.168 个；解：在每个 2×3 的长方形中可以找到2 个“凸”字形图形, 8×8 方格棋盘中共有84 个 2×3 的长方形,所以可以找到84× 2=168（个）；4.1600 种；解：从 19 到 99 共计 81 个不同的整数,其中有41 个奇数. 40 个偶数；如选取两数之和为偶数,就必需且只须选取的两个数有相同的奇偶性,所以选取的方法数分为两类：第一类,选取两个不同偶数的方法数；其次类,选取两个不同奇数的方法数；依加法原理, 这两类方法数的总和即为所求的方法数；第一类为从 40 个偶数中选取两个不同偶数的方法数,先取第一个偶数有40 种方法,从其余39个偶数中挑选第 2 个有 39 种方法,依乘法原理,共有 40×39 种不同的方法,但留意选取第 1 个数比如 30,选取第 2 个数比如 32 ,与选第 1 个数 32,再选第 2 个数 30,为同一组；所以总的选法数应当折半,其次类为从 41 个奇数中选取两个不同奇数的方法数,与上述方法相同,5.7 个；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 个三