指数与对数运算及大小比较教案

1、指数、对数及其运算-可编辑修改-知识点:1 .根式的概念般地，如果xn a ,那么x叫做a的n次方根。a的n次方根用符号nW表示.式子n0叫做根式(radical ),这里 n 叫做根指数(radical exponent ), a 叫做被开方数(radicand ). 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是002 .分数指数幕规定：(1)零指数幕a0 1 (a 0)(2)负整数指数幕a n 4 a 0, n Nam(3)正分数指数幕 ann/am a 0,m,n N ,n 1 ；m 11(4)负分数指数号a n n= a 0,m,n N ,n 1 n n.ama(5)0的正分数指数幕等于0,0

2、的负分数指数幕没有意义3 .有理指数幕的运算性质r r r s(1) a a a(a 0,r,s Q);(2) (ar)s ars(a 0, r,s Q);0,r Q) .a (a0)a (a0)(3) (ab)r aras(a 0,b(4) (Va)n a(5)当n是奇数时，VOn a 当n是偶数时，疗|a|4 .无理指数幕般地，无理数指数幕a (a 0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕.5 .对数的概念一般地，如果ax N (a 0, a 1),那么数x叫做以a为底N的对数(Logarithm )，记作：x loga N a 一底数，N 真数，|og

3、 a N 一对数式两个重要对数：10常用对数(common logarithm ):以10为底的对数lg N ；23自然对数(natural logarithm )：以无理数e 2.71828 为底的对数的对数In N .6 .对数式与指数式的互化log a N xax N对数式指数式对数底数一a 一幕底数对数一x 一指数真数一N一 幕7 .对数的性质(1)负数和零没有对数；(2) 1的对数是零：lOgal 0 ；(3)底数的对数是1 : logaa 1 ;(4)对数恒等式：alOgaN N,logaab b;(5) log a an n .8 .对数的运算性质如果a 0,且a1,M 0,N

4、0,那么：C log a(M N) log a M + loga N ；23 lOg a M log a M - log a N ； N® log a M n n log a M (n R).9 .换底公式logc blog a b (a 0,且 a 1; c 0,且 c 1; b 0).logc a利用换底公式可推导下面的结论(1)对数的降幕公式：log am bn log a b ；m一1(2) loga b log ba“六法”比较指数哥大小对于指数哥的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因哥的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌

5、握一些特殊方法.1 .转化法_1_2例1比较（3 2，2#与（J2 1）3的大小.解：.刀2无（近1）2（近1）2,_1_1_.（3 2五）2（质1） 2 2&1.又丁。61 1,，函数y （J2 1）x在定义域R上是减函数.212.72 1 （贬 1）3,即（3 272） 2 （42 11.评注：在进行指数哥的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.例2 比较0.7a与0.8a的大小.解：设函数y 0.7x与y 0.8x,则这两个函数的图象关系如图.当 x a,且 a 0 时，0.8a0.7a；当 x a,且 a 0 时，0.8a 0.

6、7a ；当 x a 0 时，0.8a 0.7a.评注：对于不同底而同指数的指数哥的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.13例 3 比较 4.15.64,11 3层一一 的大小.331解：. 5.64 5.60 1 4.10 4.1 2031 .5.64 4.1 2评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较,从而可间接地比较出要比较的数的大小.4 .作商法比较aabb与abba0）的大小.解：;a. ba bb. aa b1,a. ba bb. aa b1.baagbb0.评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比

7、较法，即对两值作商，根据其值与1 的大小关系，从而确定所比值的大小当然一般情况下，这两个值最好都是正数5 作差法例5 设m n 0, a 0,且a 1,试比较am a m与an a n的大小.m mn n m mn n mnm n解： (a a ) (a a ) a a a a (a a ) (a a )n mnmmnmnn ma (a 1) a (1 a ) (a 1)(a a ) (1)当 a 1 时，m n 0, .am n 1 0.nmnm又. a 1 , a 1,从而 a a 0.mnn mm m n n .(a 1)(a a ) 0. . . a a a a(2)当 0 a 1 时

8、，.am n 1 ,即 am n 1 0 .nmnm又 m n 0 , . .a 1, a 1,故 a a 0 .mnn mm m n n (a 1)(a a ) 0. a a a a综上所述， am a m an a n 评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小6 分类讨论法22例 6 比较 a x 与 a x ( a0 ，且 a 1 ）的大小-可编辑修改-22分析：解答此题既要讨论幂指数2x 1与x 2的大小关系，又要讨论底数 a与1的大小关系.解：(1)令 2x2 1 x2 2,得 x 1 ,或 x 1 .当 a 1 时，由 2x2 1 x2 2 ，2x2 1 x2 2从而有 a a ；22当 0 a 1 时， a2x 1 ax 2 22222x2 1x2 2( 2 )令 2x 1 x 2 ，得 x 1 ， a a3 )令 2x2 1x22 ，得 1 x 1 2当 a 1 时，由 2x 1x2 2 ，222x 1 x 2从而有 a a ；x2 2 a22x2 1当 0 a 1 时，a2x