变速圆周运动分析

1、变速圆周运动要点疑点考点课 前 热 身能力思维方法延伸拓展要点疑点考点一、变速圆周运动的性质一、变速圆周运动的性质变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，也是变加速曲线运动时刻在改变，也是变加速曲线运动( (注：匀速注：匀速圆周运动也是变加速运动圆周运动也是变加速运动).).要点疑点考点二、变速圆周运动的特点二、变速圆周运动的特点由于变速圆周运动的合力一般不指向圆心，所以变速由于变速圆周运动的合力一般不指向圆心，所以变速圆周运动所受的合外力产生两个效果圆周运动所受的合外力

2、产生两个效果. .1.1.半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向. .2.2.切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小大小. .改变速度大小改变速度大小改变速度方向改变速度方向vF FFFFn n水平面内的匀速圆周运动水平面内的匀速圆周运动0FCFn竖直平面内的非匀速圆周运动竖直平面内的非匀速圆周运动0FCFnmaF nnmaF 竖直面 内的圆周运动1、处理有关圆周运动问题的步骤：确定研究对象；确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； 对研究对象进行受力分析； 在向心加速度方向和垂直于向心加速度

3、方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正交分解； 依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程，解方程，并讨论解的合理性. 2 2一般竖直面内的圆周运动，物体一般竖直面内的圆周运动，物体所受的合外力除了具有与速度垂直的所受的合外力除了具有与速度垂直的法向力以外，还有与速度平行的切向法向力以外，还有与速度平行的切向力，那么物体的速度不仅方向变化，力，那么物体的速度不仅方向变化，大小也会变化大小也会变化. .对此，高考只要求解对此，高考只要求解决在最高点和最低点这两个特殊位置决在最高点和最低点这两个特殊位置上的动力学问题上的动力学问题. .关系式依然适用，关系式依然适用，只是不同位置对应

4、不同的只是不同位置对应不同的v v或或而已而已. .rrva22mgOmgON3 3竖直平面内圆周运竖直平面内圆周运动的临界问题：由于动的临界问题：由于物体在竖直平面内做物体在竖直平面内做圆 周 运 动 的 依 托 物圆 周 运 动 的 依 托 物（绳、轻杆、轨道、（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以管道等）不同，所以物体在通过最高点时物体在通过最高点时临界条件不同临界条件不同. .mgON绳杆mgO轨道管道可见，物体在最高点的可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的力决

5、定了不同情况下的最小速度最小速度.n竖直平面圆周运动中的临界问题小球运动到最高点时有：2vmgTmr此时，能够提供的向心力的最小值为mg，所以小球能够运动到最高点的条件为：vgrmgOT绳mgON杆若小球运动到最高点时，杆对小球的弹力N为零，则有：0vgr当小球运动到最高点的速率vv0时：N指向圆心;当vv0时：N背离圆心。小球恰好能运动到最高点的条件为v=0。绳与杆的区别：杆不仅能够起到拉拽作用，而且能够起到承托作用，但绳只能起到拉拽作用。例题例题1 1：如图所示，一质量为：如图所示，一质量为m m的小球，用长为的小球，用长为L L细绳系住，使细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动其在竖直面内作

6、圆周运动.(1).(1)若过小球恰好能通过最高点，若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情度分别是多少？小球的受力情况分别如何？况分别如何？(2)(2)若小球在最低若小球在最低点受到绳子的拉力为点受到绳子的拉力为1010mgmg，则，则小球在最高点的速度及受到绳小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？子的拉力是多少？mgO练习练习1 1：如图所示，一质量为：如图所示，一质量为m m的的小球，在半径为小球，在半径为R R 光滑轨道上，光滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动使其在竖直面内作圆周运动.(1).(1)若过小球恰好能通过最高

7、点，则若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别别是多少？小球的受力情况分别如何？如何？(2)(2)若小球在最低点受到若小球在最低点受到轨道的弹力为轨道的弹力为8 8mgmg，则小球在最，则小球在最高点的速度及受到轨道的弹力是高点的速度及受到轨道的弹力是多少？多少？mgO轨道例题例题2 2：如图所示，一质量为：如图所示，一质量为m m的的小球，用长为小球，用长为L L轻杆固定住，使轻杆固定住，使其在竖直面内作圆周运动其在竖直面内作圆周运动.(1).(1)若若过小球恰好能通过最高点，则小过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和

8、最低点的速度分别球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如是多少？小球的受力情况分别如何？何？(2)(2)若小球在最低点受到杆若小球在最低点受到杆子的拉力为子的拉力为5.55.5mgmg，则小球在最，则小球在最高点的速度及受到杆子的力是多高点的速度及受到杆子的力是多少？少？mgON练习练习2 2：如图所示，一质量为：如图所示，一质量为m m的的小球，放在一个内壁光滑的封闭小球，放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在竖直面内作圆周运管内，使其在竖直面内作圆周运动动.(1).(1)若过小球恰好能通过最高若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的点，则小球在最高点和最低点的速度分别

9、是多少？小球的受力情速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？况分别如何？(2)(2)若小球在最低若小球在最低点受到管道的力为点受到管道的力为6 6mgmg，则小球，则小球在最高点的速度及受到管道的力在最高点的速度及受到管道的力是多少？是多少？mgONRMmO 例题例题3 3、如图所示，支架的质量、如图所示，支架的质量为为M M，转轴，转轴O O处用长为处用长为L L的轻绳悬的轻绳悬挂一质量为挂一质量为m m的小球的小球. .若小球在若小球在竖直平面内做圆周运动，到达竖直平面内做圆周运动，到达最高点时，恰好支架对地面无最高点时，恰好支架对地面无压力压力. .设设M M=3=3m m. .求：（求

10、：（1 1）小球在）小球在最高点时的速度大小是多少？最高点时的速度大小是多少？（2 2）支架对地面的最大压力是）支架对地面的最大压力是多少？多少？ MmO 练习练习3 3、如图所示，支架的质量、如图所示，支架的质量为为M M，转轴，转轴O O处用长为处用长为L L的轻绳悬的轻绳悬挂一质量为挂一质量为m m 的小球的小球. .若小球在若小球在竖直平面内做圆周运动，到达最竖直平面内做圆周运动，到达最高点时，恰好支架对地面的压力高点时，恰好支架对地面的压力mgmg. .设设M M=3=3m m. .求：（求：（1 1）小球在最）小球在最高点时的速度大小是多少？（高点时的速度大小是多少？（2 2）改变

11、小球的速度，在保证小球仍改变小球的速度，在保证小球仍能作圆周运动的前提下，当小球能作圆周运动的前提下，当小球运动到最低点时，支架对地面的运动到最低点时，支架对地面的最小压力是多少？最小压力是多少？ 例题例题4:4:如图中圆弧轨道如图中圆弧轨道ABAB是在是在竖直平面内的竖直平面内的1/41/4圆周，在圆周，在B B点，点，轨道的切线是水平的轨道的切线是水平的. .一质点一质点自自A A点从静止开始下滑，不计点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达力，则在质点刚要到达B B点时点时的加速度大小为的加速度大小为_，刚滑，刚滑过过B B点时的加速

12、度大小为点时的加速度大小为_. _. AB练习练习4:4:如图中圆弧轨道如图中圆弧轨道ABAB是是在竖直平面内的在竖直平面内的1/41/4圆周，在圆周，在B B点，轨道的切线是水平的点，轨道的切线是水平的. .一质点自一质点自A A点上方高点上方高h h处从静处从静止开始下落，不计滑块与轨止开始下落，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达在质点刚要到达B B点时的加速点时的加速度大小为度大小为_，刚滑过，刚滑过B B点点时的加速度大小为时的加速度大小为_. _. ABh例题例题5 5：如图所示，半径为：如图所示，半径为R R的光滑半圆球固定在水平面上，的光滑

13、半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体顶部有一小物体A A。今给它一。今给它一个水平初速度个水平初速度 , ,则则物体将（物体将（ ）A A、沿球面下滑至、沿球面下滑至M M点点B B、沿球面下滑至某一点、沿球面下滑至某一点N N，便离开球面做斜下抛运动便离开球面做斜下抛运动C C、立即离开半球面做平抛运、立即离开半球面做平抛运动动D D、以上说法都不正确、以上说法都不正确gRv 0MmORv0NMmOR练习练习5 5：如图所示，半径为：如图所示，半径为R R的光滑半圆球固定在水平面上，的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体顶部有一小物体A A。今使无初。今使无初速度放置在球的最高点速度放置

14、在球的最高点, ,现在现在给其一扰动，则物体将（给其一扰动，则物体将（ ）A A、沿球面下滑至、沿球面下滑至M M点点B B、沿球面下滑至某一点、沿球面下滑至某一点N N，便离开球面做斜下抛运动便离开球面做斜下抛运动C C、立即离开半球面做平抛运、立即离开半球面做平抛运动动D D、以上说法都不正确、以上说法都不正确N要点疑点考点三、竖直平面内的圆周运动问题的分析三、竖直平面内的圆周运动问题的分析竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，高考中经常竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，高考中经常有这种模型，时常与能量及动量相结合有这种模型，时常与能量及动量相结合中学物理中只研究中学物理中只研

15、究物体在最高点与最低点的两种情况物体在最高点与最低点的两种情况. .主要有以下两种类型：主要有以下两种类型：1.1.如图如图4-4-14-4-1所示：无支撑物的小球在竖直平面内最高点情况所示：无支撑物的小球在竖直平面内最高点情况. .图4-4-1要点疑点考点(1)(1)临界条件：小球达最高点时绳子的拉力临界条件：小球达最高点时绳子的拉力( (或轨道的弹力或轨道的弹力) )刚好等于刚好等于0 0，小球在最高点的向心力全部由重力来提供，这，小球在最高点的向心力全部由重力来提供，这时有时有mg=mvmg=mv2 2minmin/r/r，式中的，式中的v vminmin是小球通过最高点的最小速度，是小

16、球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度通常叫临界速度v vminmin= .= .(2)(2)能通过最高点的条件：能通过最高点的条件：v vv vminmin. .(3)(3)不能通过最高点条件不能通过最高点条件v vv vminmin，注意的是这是假设到最高，注意的是这是假设到最高点而做出一个点而做出一个v v，其实球没到最高点就脱离了轨道或是沿原，其实球没到最高点就脱离了轨道或是沿原轨道返回或是做斜抛运动了轨道返回或是做斜抛运动了. .gr要点疑点考点2.2.有物体支撑的小球在竖地面最高点情况有物体支撑的小球在竖地面最高点情况. .(1)(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰好能

17、临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰好能到最高点的临界速度到最高点的临界速度v vminmin=0.=0.(2)(2)图图4-4-24-4-2中的小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力中的小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力情况；情况；图4-4-2要点疑点考点 当当v=0v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N N，其大小等，其大小等于小球的重力，即于小球的重力，即N=mgN=mg； 当当0 0v v 时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度增大而减小，其取值范围是小随速度增大而减小，其取值范围是:0:0N Nmg

18、mg； 当当v= v= 时，时，N=0N=0； 当当v v 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大度的增大而增大. . (3) (3)图图4-4-24-4-2的硬管对小球的弹力情况，请大家参考杆对的硬管对小球的弹力情况，请大家参考杆对小球的分析自己分析小球的分析自己分析. .grgrgr课 前 热 身1.1.杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子到最高点时，里面水也不流出面内做圆周运动，当杯子到最高点时，里面水也不流出来，这是因为来，这是因为( ( ) )A.A.

19、水处于失重状态，不受重力的作用了水处于失重状态，不受重力的作用了B.B.水受平衡力作用，合力为水受平衡力作用，合力为0 0C.C.水受的合力提供向心力，使水做圆周运动水受的合力提供向心力，使水做圆周运动D.D.杯子特殊，杯底对水有吸力杯子特殊，杯底对水有吸力C C课 前 热 身2.2.乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m m的人随车在的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是竖直平面内旋转，下列说法正确的是( ( ) )A.A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来没有保险带，人就会掉下来B

20、.B.人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一定小人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一定小于于mgmgC.C.人在最低点时对座位的压力等于人在最低点时对座位的压力等于mgmgD.D.人在最低点时对座位的压力大于人在最低点时对座位的压力大于mgmgD D课 前 热 身3.3.如图如图4-4-34-4-3所示，长为所示，长为L L的轻杆，一端固定着一个的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的小球，另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平水平轴转使小球在竖直平面内运动，设小球在最高面内运动，设小球在最高点的速度为点的速度为v,v,则则( ( ) )图4-4-3BCBCA.vA.v的最小值为的最

21、小值为B.vB.v若增大，向心力也增大若增大，向心力也增大C.C.当当v v由由 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大逐渐增大时，杆对球的弹力也增大D.D.当当v v由由 逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小gLgLgL能力思维方法【例【例1 1】如图】如图4-4-44-4-4所示，细杆的一所示，细杆的一端与小球相连，可绕端与小球相连，可绕O O点的水平轴自点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中做圆周运动，图中a a、b b分别表示小分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是

22、球的作用力可能是( ( ) )图4-4-4A.aA.a处为拉力，处为拉力，b b处为拉力处为拉力B.aB.a处为拉力，处为拉力，b b处为推力处为推力C.aC.a处为推力，处为推力，b b处为拉力处为拉力C.aC.a处为推力，处为推力，b b处为推力处为推力ABAB能力思维方法【解析】小球以【解析】小球以O O点为圆心在竖直面内做圆周运动，在点为圆心在竖直面内做圆周运动，在最低点时，小球除受重力外，还有杆的作用力，由于最低点时，小球除受重力外，还有杆的作用力，由于合外力提供向心力且指向圆心，杆对小球的作用力只合外力提供向心力且指向圆心，杆对小球的作用力只能向上，所以在最低点，杆对小球只能是拉力

23、能向上，所以在最低点，杆对小球只能是拉力 在最高点时，杆对小球可以向下拉，也可以向上在最高点时，杆对小球可以向下拉，也可以向上推推. .当小球速度小于当小球速度小于 时，杆对小球向上推，当小球时，杆对小球向上推，当小球的速度大于的速度大于 时，杆对小球向下拉时，杆对小球向下拉. .glgl能力思维方法【解题回顾】杆对球既可能推力又可能是【解题回顾】杆对球既可能推力又可能是拉力、而如果杆摸成线，即线对球就只能拉力、而如果杆摸成线，即线对球就只能是拉力了。是拉力了。能力思维方法【例【例2 2】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为环的半径为R(

24、R(比细管半径大得多比细管半径大得多) )在圆管中有两个在圆管中有两个直径与细管直径相同的小球直径与细管直径相同的小球.(.(可视为质点可视为质点) )A A球的质球的质量为量为m m1 1，B B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为于圆管的合力为0 0，那么，那么m m1 1、m m2 2、R R与与v v0 0应满足的关系应满足的关系式是式是(m(m1 1-m-m2 2)v)v2 20 0/R+(m/R+(m1 1+5m+5m2 2)g=0.)g=0.能力思维方法【解析】【解析】A A球在最低点时作用于管道的作用力一定是竖直球在最低点时作用

25、于管道的作用力一定是竖直向下的，且二者大小相等向下的，且二者大小相等设均为设均为N N，管壁对两球的作用，管壁对两球的作用力的大小也必为力的大小也必为N.N. 对对A A球：球：N-mN-m1 1g=mg=m1 1v v2 20 0/R/R； 对对B B球：球：N+mN+m2 2g=mg=m2 2vv2 2/R./R.其中其中vv为为B B球通过最高点的瞬时速度，由机械能守恒定律球通过最高点的瞬时速度，由机械能守恒定律 m m2 2g g2R+(1/2)m2R+(1/2)m2 2vv2 2=(1/2)m=(1/2)m2 2v v2 20 0. . 由上式可得关系式由上式可得关系式:(:(m m1 1-m-m2 2)v)v2 20 0/R+(m/R+(m1 1+5m+5m2 2)g=0.)g=0.延伸拓展【例【例4 4】一宇航员抵达一半径为】一宇航员抵达一半径为R R的星球表面后，为了测定的星球表面后，为了测定该星球的质量该星球的质量M M，做如下实验，取一根细线穿过光滑的细，做如下实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为直管，细线一端拴一质量为m m的砝码，另一端连接在一