第25讲 导数的应用

1、2.3.1 中值定理中值定理2.3.2 洛必达法则洛必达法则2.3.3 泰勒公式泰勒公式 ( )( , )(11)yf xa b 设设在在内内具具有有阶阶导导数数0( , )1:xa b 在在任任一一点点的的 阶阶泰泰勒勒展展开开式式为为20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf P162 LT2 LT3将将f (x)=ln(1+x) (x 1)展展开为开为x的幂式的幂式. 利用上面结果的前五项计算利用上面结果的前五项计算ln1.2(1)1( ).(1) !nnfxn ! )0(! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf (0)x 位位于于 与与 之之间间0P1

2、15 LT 3.),1ln()(nyxy求求设设 xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ( )1(1)!( 1)(1)nnnnyx ( )0kxy 1( 1)(1)!kk (1)( )nf 1!( 1)(1)nnn ! )0(! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf (1)1( ).(1) !nnfxn ( )(0) !kfk 111 kk 23451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn ：kx.),1ln()(nyxy求求设设 解解:P162 LT2将将f (x)=ln(1+x)展开为展开为x的幂式的幂式 x -1 ( )(0)

3、!kkfxk(1)( )nf 1!( 1)(1)nnn 111 kkxk ( )0kxy 1( 1)(1)!kk ! )0(! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf (1)1( ).(1) !nnfxn 23451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn 111( 1)1 (1+ ) nnnxn P162 LT2将将f (x)=ln(1+x)展开为展开为x的幂式的幂式 x1 23451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn 111( 1)( 0 )1 (1+ ) nnnxxn 在在 与与之之间间( )2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffx

4、xxo xn 利用上面结果的前五项计算利用上面结果的前五项计算ln1.2P162 LT3x=0.2P162 LT323451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn 111( 1)1 (1+ ) nnnxn x=0.223450.20.20.20.2ln(10.2)0.22322 =0.18235R ( 0 )x 在在 与与之之间间( 0 0.2 ) 在在 与与之之间间65610.26(1+ ) R 0.000064(0.000011)6 6610.26(1+ ) ()sin2.fxxmMaclaurin 求求的的阶阶公公式式解解)2sin()( )( kxxfk 因因为为()(0)si

5、n2kkf 1, 2, .k 352112sin.( 1)( )3!5!(21)!mmmxxxxxRxm P162 LT5sin 21sin 2mm 0 11m 21sin2m 221sin2m sin12m cos1m 11m 1, 2, .m 2 21 kmkm 21221221sin()( )()!mmxmRxxm )10( 其中其中352112sin.( 1)( )3!5!(21)!mmmxxxxxRxm 212( )( 1)cos(21)!mmmxRxxm 212sin()xm 2sinxm cosxm( 1) cosmx 公式公式常用函数的常用函数的 Maclaurin2.3.1

6、中值定理中值定理2.3.2 洛必达法则洛必达法则2.3.3 泰勒定理泰勒定理P190 13, 15P188 XT2.3 1, 2, 3 , 5 _RolleLaw P189 12. 利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限 (19: 第一项分母为第一项分母为2次方不是次方不是3次方次方)6,7, 8, 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理XT2.3 1. 验证下列函数在给定区间是否满足验证下列函数在给定区间是否满足 洛尔定理的条件。洛尔定理的条件。 23(1) 31yx 32(2) 1 1,1yxx (3) , 0yxxa aa 1,1x ( 1,1)x ( )( )f af b 连续连续 可导可

7、导 等高等高 226 331xyx 0 x 132 3yx (0,0)尖点尖点 0 x 2. ( )(1)(2)(3)(4) ( )0f xxxxxfx 不不用用求求的的导导数数，说说明明有有几几个个根根，并并指指出出它它们们所所在在的的区区间间. .0 (1)(2)(3)(4)ffff( )1,22,33,4Rollef x 在在闭闭区区间间上上满满足足定定理理123123( )(1,2)(2,3)(3,4)()= ()= ()=0f xfff即即在在三三个个区区间间内内均均分分别别至至少少有有一一个个点点，使使又又f(x)为三次多项式函数，至多有三个不同的实数根，为三次多项式函数，至多有三

8、个不同的实数根，所以所以 f(x)=0有三个根分别位于有三个根分别位于 内。内。(1,2)(2,3)(3,4)( )1xf xex( )0f( )1xfxe因因( )10fe 故故0 解解得得证明：假设方程还有一个根为证明：假设方程还有一个根为a0， 则对于函数则对于函数f(x)在区间在区间0，a之间满足之间满足Rolle定理定理, , 故至少存在一点故至少存在一点介于介于0 0与与a之间，有之间，有这与这与介于介于0与与a之间之间矛盾，矛盾， 所以假设错误原命题成立。所以假设错误原命题成立。XT2.3 5. 证明方程证明方程 只有只有x=0一个根一个根. 1xex(0)( )0ff a有有x

9、yo0, 0 xy0 1xxex0, 0 xy0 1xxex拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理证明 1xee x 1xeex 1 1xex0 xyex ，在在端端点点 和和 的的区区间间( )( )( )()f bf afba 第二章第二章 微分学微分学第一节第一节 导数及其运算导数及其运算第二节第二节 微分微分第三节第三节 中值定理中值定理 导数的应用导数的应用2.3.4 导数的应用导数的应用1 函数单调性的判别法函数单调性的判别法一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、单调区间的求法二、单调区间的求法一、单调性的判别法一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(

10、xf0)( xfabBA ( ) ( , ).yf xa b 定定理理 设设函函数数在在内内可可导导(1) ( , ) ( )0 ( )( , )a bfxf xa b 如如在在内内，则则在在上上严严格格单单调调增增加加；(2)( , )( )0( )( , ).a bfxf xa b 如如在在内内，则则在在上上严严格格单单调调减减少少证明证明:),(,21baxx 12,xx 设设应用拉格朗日中值定理应用拉格朗日中值定理, ,得得)()()()(212121xxxxfxfxf , 0)(),( xfba内内，若若在在, 0)( f则则).()(21xfxf .)(严严格格单单调调增增加加在在

11、上a,bxfy , 0)( xf若若, 0)( f则则).()(21xfxf .,)(上上严严格格单单调调减减少少在在baxfy 12( ),f xxx在在上上解：解： . 1 的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y.函函数数严严格格单单调调减减少少,), 0(内内在在 , 0 y).,(:D. 函函数数严严格格单单调调增增加加1xyo, 0 y由由, 0 x得得. )( ) 0)( ( 的驻点或稳定点的驻点或稳定点叫做函数叫做函数的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点定义定义xfxf . 3的的单单调调性性讨讨论论函函数数xy 22

12、3xy ,)0 ,(内内在在 , 0 y.函函数数严严格格单单调调增增加加,), 0(内内在在 , 0 y).,(:D. 函函数数严严格格单单调调增增加加, 0 y由由, 0 x得得解：解：上上严严格格单单调调增增加加函函数数在在),(: D注意注意: :区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零, ,不影响区间的单调性不影响区间的单调性. .10 ( ) ( , ).( ) ( , ) ( ) ( )( , )设设函函数数在在内内可可导导如如果果在在内内，那那么么在在内内严严格格单单调调增增加加. . . .yf xa ba bfxyf xa b xxysin 求函数求函数在在 内的单调性内的

13、单调性. 0,2 xycos1 0,2( )0 xfx 且且仅仅在在点点时时有有, 0 00: ( , )( )( ) ( )( , ).推推广广如如果果在在内内，且且仅仅有有限限个个点点那那么么在在内内严严格格单单调调增增加加a bfxfxyf xa b 解解 . )( 32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:D32( ),3fxx . ,0导导数数不不存存在在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf(0,) 在在上上严严格格增增加加；时时，当当 x0, 0)( xf(,0) 在在上上严严格格减减少少；严格增区间为严格增区间为(,0).(0,).32xy 严格减区间为严

14、格减区间为3. (0)x 二、单调区间的求法二、单调区间的求法 1. .确定函数定义区间确定函数定义区间驻点，驻点， 不可导点不可导点 2. .找单调区间可能的分界点找单调区间可能的分界点求导数求导数y 3. .由由各区间内导数的符号各区间内导数的符号来判断来判断函数函数的单调性的单调性xy y)0 ,( 00)2 , 0( 20), 2(_.2的的单单调调区区间间确确定定xexy 解解定义域为定义域为).,(xxexxey 22xexx )2(得得令令0 y2, 021 xx严格减少区间为：严格减少区间为：(,0),(2,) ;严格增加区间为：严格增加区间为：(0,2).列表讨论列表讨论4P

15、157 LT1(2)xx xe . )1ln(1 , 0 成立成立试证试证时时当当xxxxx P157 LT2证明证明(1),1ln()( xxxf 设设.1)(xxxf 则则( )(0,)( )0,f xfx 在在可可导导，且且(0,) 在在上上严严格格增增加加；, 0)0( f时时，当当 0 x, 0)1ln( xx即即 ln(1)xx 于于是是. )1ln(1 , 0 成立成立试证试证时时当当xxxxx ，0)0()( fxf11 P68ln(1).nn 提提示示：P157 LT2证明证明 (2),1)1ln()( xxxxg 设设 .1)( 2xxxg 则则( )(0,)( )0,g

16、xgx 在在可可导导，且且, 0)0( g时时，当当 0 x)1ln(1 xxx 于于是是. )1ln(1 , 0 成成立立试试证证时时当当xxxxx ，0)0()( gxg01)1ln()( xxxxg即即综上综上(1)(2)命题不等式得证！命题不等式得证！P157 LT2(0,) 在在上上严严格格增增加加；单调区间的求法单调区间的求法 1. .确定函数定义区间确定函数定义区间驻点驻点;不可导点不可导点 2. .找单调区间可能的分界点找单调区间可能的分界点求导数求导数y 3. .由各区间内导数的符号来判断函数的单调性由各区间内导数的符号来判断函数的单调性作业：作业：XT2.3 18（2、5）

17、，）， 19 ( )( , )(11)yf xa b 设设在在内内具具有有阶阶导导数数0( , )1:xa b 在在任任一一点点的的 阶阶泰泰勒勒展展开开式式为为20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf 一、曲线的凹凸与拐点的定义一、曲线的凹凸与拐点的定义二、曲线的凹凸与拐点的判定二、曲线的凹凸与拐点的判定2.3.4 导数的应用导数的应用2 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点的定义一、曲线的凹凸与拐点的定义问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 任意弧段位于所张弦的下任意弧段位于所张弦的下( (上上)

18、)方方xyo)(xfy 1x2xABC上凹上凹上凸上凸把凹与凸的分界点把凹与凸的分界点称为曲线的拐点称为曲线的拐点. .xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy 定义定义若曲线弧位于其每一点的切线上方若曲线弧位于其每一点的切线上方, ,则称该曲线是上凹的则称该曲线是上凹的若曲线弧位于其每一点的切线下方若曲线弧位于其每一点的切线下方, ,则称该曲线是上凸的则称该曲线是上凸的. .ABCxyo二、曲线二、曲线凹凸凹凸与拐点的判定与拐点的判定内内若若在在导导数数内内具具有有二二阶阶在在上上连连续续在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的

19、图图形形是是上上凹凹的的在在则则baxfxf . ,)(, 0)()2( 上上的的图图形形是是上上凸凸的的在在则则baxfxf 证明证明, 0之之间间与与介介于于xx 阶阶导导数数内内具具有有在在因因为为11),()( baxf0( , )1:xa b 在在任任一一点点的的 阶阶泰泰勒勒展展开开式式为为，若若0)( xf)()()(:000 xxxfxfxf 有有，则则若若0)(0)( fxf)()()(:000 xxxfxfxf 则有则有 . ,)(上上的的图图形形是是上上凹凹的的在在所所以以，baxf . ,)(上上的的图图形形是是上上凸凸的的在在所所以以，baxf20000)(! 2)(

20、)()()(xxfxxxfxfxf ，则则0)( fxyo)(xfy ab0 xx二、曲线二、曲线凹凸凹凸与拐点的判定与拐点的判定内内若若在在导导数数内内具具有有二二阶阶在在上上连连续续在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的图图形形是是上上凹凹的的在在则则baxfxf . ,)(, 0)()2( 上上的的图图形形是是上上凸凸的的在在则则baxfxf xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy . 3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy ，时时当当 0 x, 0 y，时时当当 0 x, 0 y(0,) 曲曲

21、线线在在为为凹凹的的；注意到注意到, , . )0 , 0(是是曲曲线线的的拐拐点点故故P168 LT3(,0). 曲曲线线在在 是是上上凸凸的的.)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点拐点拐点的判定的判定二、曲线凹凸与二、曲线凹凸与拐点拐点的判定的判定定理定理, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数. )(,( , )( )2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx ；即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁 )(,( , )( )1(000 xfxxfx 解解),( :D,121223xxy

22、).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹上凸上凸上凹上凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(),32,0 ,( 凹凹区区间间为为32, 0凸凸区区间间为为列表讨论：列表讨论：43341.yxx 求求曲曲线线的的拐拐点点及及凹凹凸凸区区间间P169 LT5. 3的的拐拐点点求求曲曲线线xy 解解: :, 0 x,3132 xy,9235 xy. , 0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,), 0( y内内在在0,) . 曲曲线线在在上上是是上上凸凸的的. 0 )(处连续处

23、连续在在 xxf例例, 0,)0 ,( y内内在在(,0 . 曲曲线线在在上上是是上上凹凹的的. )0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 曲线拐点的充分条件曲线拐点的充分条件, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数. )(,( , )( )2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx . )()(,(,)(000的的拐拐点点曲曲线线也也可可能能是是连连续续点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :；即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁 )(,( , )( )1(000 xfxxfx 一、曲线的凹、凸

24、、拐点的定义一、曲线的凹、凸、拐点的定义二、二、曲线的凹凸、曲线的凹凸、拐点拐点的判定的判定2.3.4 导数的应用导数的应用2 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点2.3.4 导数的应用导数的应用1. 1. 函数单调性的判别法函数单调性的判别法2. 2. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3. 3. 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 函数的极值及其求法函数的极值及其求法一、函数极值的定义一、函数极值的定义二、函数极值的求法二、函数极值的求法2.3.4 导数的应用导数的应用3 一、函数极值的定义一、函数极值的定义x)1 ,( ), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 0032 166 6

25、( )29 123PLTf xxxx 似似2( )618 12fxxx 2 1 263 2xx )1()(fxf )2()(fxf 621xx .)()(,)()( ;)()(,)()( ),(,),()( 000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称成成立立如如果果的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称成成立立如如果果内内有有定定义义在在设设函函数数定定义义xfxfxfxfxfxfxfxfxUxxUxf 函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值, ,使函数取得极值的点使函数取得极值的点 x0 称为极值点称为极值点. .oxyab)(xfy 1x2x4x5

26、x6xoxyoxy0 x0 x( (1) )极值点只能是区间内部的点，区间端点不会是极值点只能是区间内部的点，区间端点不会是. .( (2) )极值是局部概念，可有多个。极值是局部概念，可有多个。 极小值可能大于极大值。极小值可能大于极大值。2x4x5x6xoxy)(xfy 1x二、函数极值的求法二、函数极值的求法( ), .f x可可导导函函数数的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻点点 但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是极极值值点点例如例如, ,3xy , 00 xy0 x. 0)( )( )(3 000 xfxxxf处取得极值，则一定有处取得极值，则一定有处具有导数，且在处具

27、有导数，且在在点在点设设必要条件必要条件定理定理. 但但不不是是极极值值点点定理定理4(第一充分条件第一充分条件) P163. )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )1(00000处处取取得得极极大大值值在在点点则则有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )2(00000处处取取得得极极小小值值在在点点则则有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , )(),( ),( )3(00000处处无无极极值值在在点点则则相相同同的的符符号号及及如如果果xxfxfxxxxxx f( (x) )在在x0 0的去心的去心邻域可导邻域可导, x0点连续点连续,x)1 ,(), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 00312 92)(23 xx