平方根(提高)知识讲解

1、平方根（提高）撰稿：康红梅责编：吴婷婷【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】【高清课堂：389316 平方根，知识要点】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于 a ，即 x2a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根（规定0 的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作aaa叫做被开，读作 “ 的算术平方根 ”，方数 .要点诠释： 当式子a 有意义时， a 一定表示一个非负数，即a 0， a 0.2.平方根的定义如果 x2a ，那么 x

2、叫做 a 的平方根 .求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算 . a ( a 0)的平方根的符号表达为a (a0) ，其中a 是 a 的算术平方根 .要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别： （ 1）定义不同；（2）结果不同：a 和a2联系： （ 1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3） 0 的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（ 1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（ 2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根 .因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点

3、三、平方根的性质1 / 6a( a0)a2| a |0( a0)a( a0)a2a0a要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位 .例如：62500 250 ，625 25， 6.25 2.5， 0.0625 0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念【高清课堂：389316 平方根：例1】1、若 2 m 4 与 3 m 1 是同一个正数的两个平方根，求m 的值【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2 m 4（ 3 m 1），解方程即可求解【答案与解读】解：依题意得 2 m 4

4、（ 3 m 1），解得 m 1； m 的值为 1【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知2 a 1 与 a 2 是 m 的平方根，求m 的值 .【答案】 2 a 1 与 a 2是 m 的平方根，所以2a 1 与 a 2 相等或互为相反数 .解：当2 a 1 a 2时， a 1，所以 m 22 1 122a 11 当 2a 1 （ a 2） 0时 ， a1，所以2a 12(1) 1222392、 x 为何值时，下列各式有意义？(1) x2 ； (2) x 4 ； (3) x 11 x ； (4)x1 x32 / 6【答案与解读】解： (1

5、) 因为 x20 ，所以当 x 取任何值时，x2 都有意义(2)由题意可知：x40 ，所以 x4 时，x4 有意义(3) 由题意可知：义(4)由题意可知：x101 x 1 所以 1 x 1 时 x 11 x 有意1x解得：0x101且 x 3 x3，解得 x0所以当 x1且 x3时，x1 有意义x3【总结升华】(1) 当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0 时，式子才有意义举一反三：【变式】已知 b4 3a2223a2 ，求 11 的算术平方根ab【答案】3a20,则 a21131解：根据题意，

6、得3a0.3，所以 b 2，b22 ，2a2 11的算术平方根为112 abab类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1)2522423242； (2)20 110.361900 435【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（ 2）注意运算顺序 .【答案与解读】解： (1)252242324249257535 ；3 / 6(2)20 110.3619008110.613090.261.7 4354352【总结升华】(1) 混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2) 初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据a2 a(

7、a 0) 来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 x .1） x2 3610; （ 2） x 12（289 ；（3） 9 3x 2264 0【答案与解读】解：（ 1） x23610 x2 361 x361192（ 2）x1289 x 1289 x 1 ±17x 16 或 x 18.（ 3） 9 3x264 02 3x226498 3x23 x2 或 x1499【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（ 3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：4 / 6（ 1）若 x21.21，则 x _；（ 2） x

8、2169，则 x _；（ 3）若2922x,则x_；（ ）若x2，则x4_43【答案】 （ 1） ±1.1；（ 2） ±13；（ 3）；（ 4） ±2.2类型四、平方根的综合应用【高清课堂：389316 平方根：例5】5 、 已 知 a 、 b是 实 数 ， 且2a6| b2 | 0 ， 解 关 于 x 的 方 程( a2) xb2a1 【答案与解读】解： a 、 b 是实数，2a6| b2 |0 ，2a 6 0 ， | b 2 |0 ， 2a6 0 ， b20 a 3， b2把 a 3， b2代入 ( a 2) xb2a1 ，得 x 2 4， x 6【总结升华】

9、 本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、 b 的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【高清课堂：389316 平方根：例5 练习】【变式】若x21y1 0 ，求 x2011y2012的值【答案】解：由 x21y10，得 x210 ， y10 ，即 x1， y1当 x 1， y 1 时， x2011y201212011(1)20122 当 x 1， y 1 时， x2011y2012(1)2011( 1)20120 【高清课堂：389316 平方根：例 6】6 、小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为5 / 6300 cm2 的长方形纸片，使它长宽之比为3 : 2 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解读】解：设长方形纸片的长为3 x ( x 0) cm ，则宽为2 x cm ，依题意得3x 2x300 .6x2300 .x250 . x 0， x 50 .长方形纸片的长为3 50 cm . 50 49, 50 7. 3 5021, 即长