不可测集的构造

1、不可测集的构造不可测集的构造是建立在选择公理的基础上 , 通常我们是用 它来构 造各种反例 （ 例如利用不可测集去作出 Lebesgue 可测集 而非 Borel 集 的例子等 ） , 这使我们能加深对测度理论的理解。在 构造二维不可测集前 , 我们先来了解一些预备知识 :外测度定义 :设 E 是 Rn 的点集 ，是 Rn 中的一列开长方 体 ,，则 确定一个非负的数u。记。称为E的Lebesgue 外测度 外测度的基本性质 :性质 1:;（ 非负性 ）性质 2: ; （ 单调性 ）性质 3:;（ 次可加性 ）完全可加性 : 若对任意互不相交的点集, 有 :则称具有完全可加性。不可测集 : 若

2、某集合的外测度不能满足外测度的三个基本 性质 1、 2、3 及完全可加性 , 则称这样的集合叫做不可测集。选择公理 （Zermelo ）: 是一簇两两不相交的非空集 , 则存在 集 合 L 满足下列条件 :; L 与 F 中的每一个集合有且只有一个公共元素 一、二维不可测集的构造1. 构造集合 S 用 一个等价关系把 中的一切点分类 , 每一类构成一个集 合。取等 价关系 :, 假设对 的每一个分量都是有理数。根据这个 等价关系 , 我们可 以把的一切点分类比如就是其中一类。 由上述等价关系划分出来的等价类是一串互不相交的集 合类 : 记 , 则对任意的 , 有 :事实上,假设 , 即, 使得

3、。则必存在 , 使得和的每个分量都是有理数。从而 的每个分量也都是有理数 , 即的每个分量是有理数 , 于是有Rx 与 Ry 是同一类 ， 这与 Rx,Ry 的定义矛盾 ， 故假设不成立 ，即。 由 选择公理 , 构造如下集合 :S2. 证明集合 S 是个不可测集证 :10 记 =,.则 为 中的两个分量都是有理数的全体 ，Sn 为 S 平移 rn 得 到, 显然, 且当 时, 。事实上 , 当 时, 若存在 则有 , 这使得 :于是 （ 两个有理数的向量差 ）, 故 向量差的两个分量都是有理数。从而推出，即x和y属于同一类，这与S的构造矛盾，因此有:对20 下证证:任取，由 S 的构造知 是

4、个单点集 ，设为，于是 的每个分 量均为有理数 ， 且 ， 因此存在一个 n0， 使得 rn0= ， 这样， 即。综合上面 10，20 可得 :30 下证 Sn 是不可测集 ()证:假设 Sn 具有完全可加性 ()，于是， 由外测度的单调性 : 由完全可加性得 :由平移不变原理得 : ， 则式变为 :再由外测度非负性知 : ， 则若 ， 则推出 ， 从而矛盾。若 ， 从而推出 : 矛盾。故是 Sn 不可测集 ( 不具有完全可加性 )，又由知 S 是不可测 集。二、 n 维不可测集的构造1.引理:对于任意的外测度等于正无穷大集合E,总存在一个外测度既大于零又小于正无穷的子集 (即大于零又有界 )

5、。证:，即对使得当时 ， 有 又记 ， 。 于是由外测度的性质得 : 必定存在使所以综合上述得 : 存在， 使得: 这样 En 就是 E 的外测度大于零又有界的子集。 即引理的结 论成立。2.在n维可测集E中构造n维不可测集，类似第二节，具体方法 与相关证明如下 :(1) 同第 2 节中的同理 ，先用一个等价关系把 E 中的一切点 分类 , 每一类构成一个集合。取等价关系 :, 假设对 , 有的每个分量都是有理数。根据这个等价关系 , 我们可以把中 的一切 点分类 (比如 就是其中的一类 )。(2) 由等价关系划分出来的等价类是一串互不相交的集合类:即:对任意的：。这里的证明方法与第二节中的证

6、明方法相同。(3) 由选择公理 , 作集合 :证明 W 是不可测集这个证明分以下几个步骤 : 证:记 为, 即中的两个分量都是有理数的全体。,即 Wn 是将 W 平移 rn 得到的 ， 显然 ， 且当时 。下证证:任取，由的 W 构造知 是个单点集 ，设为=,于是,的每个分 量均为有理数 , 故, 因此存在一个 n0, 使得 =。这样 , 即。综合可得 : 。证明 Wn 为不可测集 假设 Wn 是可测集 ，则 Wn 具有完全可加性。由外测度的单调性得 : 再由完全可加性及次可加性得 : 于是有 : 再由平移不变原理得 :, 又由 的收敛性知 :则式变为 : 矛盾 , 故是不可测集。而 , 所以我们在 n 维可测集 E 中构造出来的集合是不 可测集。结论: 上面的不可测集是在外测度大于零又有界的集合