全国统一高考数学真题及逐题详细解析理科最新海南卷（精编版）

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷） 第卷一选择题：本大题共12 小题每小题5 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1 设集合m0,1,2n x | x23 x20 则 m in()a1b2c0,1d1,22 设复数z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称z12i 则 z1z2（）a5b5c4id4irrrrrrrr3 设向量a,b 满足 | ab |10 | ab |6 则 a b()a1b2c3d514 钝角三角形abc 的面积是ab21 bc2 则 ac()a5b5c2d15 某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是075 连续两天

2、优良的概率是06 已知某天的空气质量为优良则随后一天的空气质量为优良的概率是（）a08b075c06d0456 如图网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm） , 图中粗线画出的是某零件的三视图该零件由一个底面半径为3cm 高为 6cm的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）a1727b5c10d192737 执行右图程序框图如果输入的开始输入 x ，tx, t均为 2 则输出的s（）m1，s3是否输出 s结束a4b5c6d78 设曲线yaxln( x1) 在点 (0,0) 处的切线方程为y2x 则 a（）a0b1c2d3xy70,9 设 x, y 满足约束条件x3 y

3、10, 则z2xy的最大值为（）3 xy50.a10b8c3d210 设 f 为抛物线c : y23x 的焦点过f 且倾斜角为30o 的直线交 c 于a, b 两点 o为坐标原点则voab的面积为（）a 334b938c63d932411 直三棱柱abca1b1c1 中bca90m , n分别是a1 b1 , a1c 1 的中点bccacc1 则 bm与 an 所成的角的余弦值为（）a 1b2105xc3010d2222212 设函数f ( x)3 sinm若存在f (x)的极值点x0 满足 x0 f ( x0 )m则 m 的取值范围是（）a,66,b,44,c,22,d,14,第卷本卷包括必

4、考题和选考题两部分第13 题第 21 题为必考题每个试题考生必须做答第22 题第 24题为选考题考生根据要求做答二填空题13 ( xa)10 的展开式中x7 的系数为 15 则 a ( 用数字填写答案)14 函数f (x)sin(x2)2sincos(x) 的最大值为 15 已知偶函数f ( x)在0,) 单调递减f (2)0 若f ( x1)0 则 x 的取值范围是16 设点m ( x0,1) 若在圆o : x2y21 上存在点n 使得omn45 则 x0 的取值范围是三解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（本小题满分12 分）已知数列 an 满足1a11 ， an13an1（）

5、证明 an 是等比数列并求 an2的通项公式；（）证明：1113la1a2an218（本小题满分12 分）如图四棱锥p-abcd中底面abcd为矩形 pa平面abcde 为 pd的中点（）证明：pb平面aec ；（）设二面角daec 为 60° ap1ad3求三棱锥eacd的体积19 （本小题满分12 分）某地区2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号1234567人均纯收入y29333644485259（）求y 关于的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程分析2007 年至 20

6、13 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：ntibi 1ntyiya?2yb?ttiti 1x2y220（ 本小题满分12 分）设f1, f2 分别是椭圆221 （ abab0）的左右焦点m是 c 上一点且mf2与 x轴垂直直线mf1 与 c 的另一个交点为n3（）若直线mn的斜率为4求 c 的离心率；（）若直线mn在 y轴上的截距为2 且 | mn|5 | f1n| 求 a,b21（本小题满分12 分）已知函数f ( x)exe x2 x 。（）讨论f ( x)的单调性；（）设g( x)f

7、(2x)4bf ( x)，当 x0 时 gx0 , 求 b 的最大值；（）已知1.414221.4143 估计ln2的近似值（精确到0.001 ）。22（本小题满分10 ）选修 4 1：几何证明选讲如图 p 是 e o外一点pa是切线 a 为切点割线pbc与 e o相交于点bcpc的延长线交e o于点 e 证明：（） beec；2pa d 为 pc的中点 ad（）adde2 pb2 。23 （本小题满分10）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以坐标原点为极点x 轴为极轴建立极坐标系半圆c 的极坐标方程为2cos0, 2（）求c 的参数方程；（）设点d 在 c上 c 在 d 处的

8、切线与直线l : y3x2 垂直根据（）中你得到的参数方程确定 d 的坐标24（本小题满分10 ）选修 4-5 ：不等式选讲1设函数f ( x)| x| xa |（ aa0 ）。（）证明：f ( x)2 ；（）若f (3)5求 a 的取值范围参考答案一、选择题1. d解析 1：直接检验法把 m0,1,2中的数，代入不等式x23x20 ，经检验x1,2 满足。解析 2：把 0， 1， 2 代人 x23 x20 验证，只有1， 2 满足不等式，故选d.考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题.2. a.解析：q z12i与 z2关于虚轴对称， z1 z2(2i)(2i)5，故选a.解析 2：考

9、察复平面坐标与复数一一对应，z12i 对应点 (2,1) 关于虚轴（ y 轴）对称点为(2,1) ，因此z22i, z1 z2i 245考点：考查复数的基本知识，简单题.3. a.解析：q| ab |10,|ab |6rr2r2rrr2aba2 a bb6 （ 2）， (1)-(2)=a b1，故选 a.解析 2：考察向量的运算，是课本上的原型，r ar 2br 2arr2a br 2b10 （ 1）同理有rr4a brr4 即 a b1考点：考查平面向量的数量积，中等题.4. b.1解析 1： abc面积为2， ab1, bc2 1 12 sin b1sin b2b45 ,135222当 b

10、=45°时，此时， ac=ab=1,故 a=90°，这与 abc为钝角三角形矛盾.当 b=135°时，ac 2ab2bc 22 abbc cos135122 1225ac25 ，故选b.解析 2：因为sv abc1 ac sin b12 1sin b1，所以sin b2 ，所以 b，3或 b。422224当 b时，经计算4vabc为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。所以 b32，使用余弦定理，得b4a2c22ac cosb5 。11解析 3：考察三角形面积公式与余弦定理的简单应用，sabbcsinabc则有222222sinabc，因此当2abc时4acabbc3

11、2abbc cosabc1 ，ac=1 注意此时为等腰直角三角形不合题意舍去，当abc时4ac 2ab2bc 22 abbc cosabc5 ， ac5 （大边对大角）满足条件考点：考查正余弦定理的应用，中等题.5. a.解析 1：设第 i 天空气优良记着事件ai，则p (a i )0.75, p (a i a i1)0.6(i1,2,l ) ,第 1 天空气优良，第2 天空气也优良这个事件的概率为p( a| a )p( a1 a2 )0.60.8，故选a.21p( a1)0.75解析 2：考察独立事件的概率乘法，设某一天空气优良为事件a, 后一天空气优良概b，则根据概率乘法有连续两天空气优良

12、p( ab )p( a)p( b) ，得p( b)0.8考点：考查条件概率的概率，简单题.6. c.解析 1：毛胚的体积v32654制成品的体积v322224341切削掉的体积与毛胚体积之比为：1v113410，故选 c.v5427解析 2：因为加工前的零件半径为3，高为 6，所以体积v19654。因为加工后的零件，左半部分为小圆柱，半径2，高为4，右半部分为大圆柱，半径为3，高为 2，所以体积v2449234。543410所以，削掉部分的体积与原体积之比等于。5427解析 3：三视图，注意三视图位置为（正，侧，俯）由图可以看出相当于一个平躺的圆柱（底面圆的半径为3，高为 6）外侧消掉一部分（

13、剩余部分小圆柱底面半径为2，高为 4，大圆柱底面半径为3，高为 2）则原毛坯的体积为v原54，剩余部分体积为v剩161834v削，因此v毛20105427考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7. d.解析 1：第 1 次循环，m2122 ， s1235， k2 ；第 2 次循环，m22 ， s2257 ， k3 。退出循环，s7 。解析 2：简单的程序框图，但由于变量涉及到5 个，容易出错， 同时一定要注意每一步执行的顺序根据流程图模拟运算有第一次结果m2, s5, k2 ，第二次结果m2, s7, k3 ，此时 kt 不成立退出循环，输出s7考点：考查算法的基本知识，简单题.8. d

14、.解析 1：考察导数的几何意义，复合函数求导y 'a1, y '(0)x1a12, a3解析 2：因为曲线yaxln( x1)在点 (0,0) 处的切线方程为y2x又因为ya1 x1所以 y|x 0a12 ，解得 a013 ，故选 d.考点：考查导数的几何应用，中等题.9. b解析 1：考察线性规划问题，通过对应方程两两联立得交点分别为(5, 2) ， (3, 4) ，（ 1,2 ）经检验都在可行域内，因此x5, y2, zmax8解析 2：画出可行域，如右图：可行域为vabc ，计算得：a(3, 4) ，b(5, 2) ， c(2,1) 。因为：z( a)2342 ，z( b

15、)2528 ，z(c)2213 ，所以 z2xy的最大值为8xy70解析 3：作出 x ，y 满足约束条件x3 y10 表示的平面区域如图阴影部分：3xy50做出目标函数 l0 ：y2 x ， y2xz ，当 y2 xz的截距最小时， z 有最大值。当 y2 xz经过 c 点时， z 有最大值。x3 y由xy10 得： c (5, 2)70此时： z 有最大值 2528 ，故选 b解析 4：作图即可 .考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题. 10 d解析 1：y23x抛物线c 的焦点的坐标为：f ( 3 ,0 )43所以直线ab的方程为：yt an30 ( x) 4y3 (x3)故34y2

16、3x221从而 16x168 x903x1x22弦长|ab|=x1x212233又 o点到直线ab : 4x43 y30的距离 d =42(43) 28 soab1 123289, 故 选 d.4解析 2：过点3f (,0)且倾斜角为30o 的直线 ab 的方程为y3 (x3 ) 。由 y3 (x43 ) ，得 x33 y，将 x33y代入34y23 x ，消去 x ，整理得3444y233y90 。4由弦长公式得，| ab |11( yy )24y y12 。k2121 2直线 ab 的一般式方程为43 x12 y3 30 ，原点 o 到直线 ab 的距离d|33 |3 。481448sva

17、bc13912。2843解析 3：考察抛物线的定义及三角形面积，由已知得焦点坐标为33f (,0)4，因此 ab直线方程为 y(x34), 即4 x4 3 y3 0 ，与抛物线方程联立化简得：联立方程得：4 y2123 y90 ，因此yayb( yay )24 ya yb6 同时bs1 ofyy1369或者有x221 x90, xx21又根据oabab2244213ab2162抛物线的定义有abxax bp12 ，同时根据原点到直线距离有高为2233h，因此s oab1 ab h942(43) 2824解析 4：3f(,0) ，设a( x , y) 、b( x , y) ，直线 ab 的方程为

18、 y3 ( x3) ，4代入抛物线方程得：11x221 x2290 ，x1x2341221 ， xx9由弦长公式得| ab |(1216k 2 )( xx )24x x21612121 2|3003 |由点到直线的距离公式得：o 到直线 ab 的距离 d3433 228 s oab11239()(1) 3284考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为困难题 .11 c.解析 1：设 ac=2，uuur uuuuruuuruuuuranbm3330cosan, bmuuuruuuur故选 c.解析 2： c|an| | bm |653010分别以c1b1,c

19、1a1, c1c 为x, y, z 轴，建立直角坐标系。不妨设 bccacc12 ，则 a(0,2,2)uuuuruuur， b(2,0,2)， m (1,1,0)，n (0,1,0) ，所以bm(1,1, 2) ， an(0,1,2) 。uuuuruuuruuuuruuur bman01430cosbm , anuuuuruuur。| bm | | an |65101解析 3：考察异面直线夹角问题，取bc中点 d，连结mn,nd，由于mn / /bc / /b1c1 因此2有 nd / /bm ，则 nd与 na 所成夹角即为异面直线bn与 an夹角，设bc2 ，则bmnd6,an5, ad

20、5 ，因此 cosandnd 2na2ad 230解析 4：如图所示，取 bc 的中点 p ，连结 np 、 ap2 ndna10 m ， n 分别是 a1b1 ， a1c1 的中点，四边形 nmbp 为平行四边形， bm所求角的余弦值等于anp 的余弦值p pn不妨令bccacc12 ，则anap5npmb6 ，cosanp| an |2| np |2| ap |2(5) 2(6) 2(5) 2302| an | | np |25610考点：考查空间夹角问题. 中等题 . 12 c.解析 1： qxf (x)3 sin3xf ( x)cosm令 f ( x)0cosx0xmmmmk(kz )

21、2(2kx1) m22，即 f ( x) 的极值点x0(2 k1) m 2(kz )存在 f ( x) 的极值点x0，满足 x0f ( x0 )m22 (2 k1) m 223 sin 2x0m2m2x02(2k1) m2 2k2又 sinsin ()sinsin(k)1mm222(2 k1) m 22存在 kz ，使得23(2k3m1)2存在 kz , 使得21m43(2 k1)21321m max1444| m |2，故选 c.解析 2：考察三角函数的性质及特称命题与全称命题（正难则反）转化，以及关于不等式恒成立问题f ( x)3 sin(x) 的极值点即为三角型函数的最高或者最低点处的横

22、坐标，由三角m形性质可知t22m ，因此 x0mmkm( kz ) 2, 假设不存在这样的x0 ，即对任意的2x 都 有 x f ( x) 2m2 ，则m2(km)32m ，整理得：0002f (m)m2 (k 2k3 )30 恒成立， 即 k 2k33， f(k)k 2k3最小值44m243为(k41或0），2m2 因此原特称命题成立的条件是m2解析 3：f '( x)3cosx ，令f '( x)3cosx0 得：1xm( 2mmmmk)kz1 xm(2k)kz ，又 x2 f ( x )2m ，m2 ( 10k)223 sin(00k) 2m222即： 3m2 1( 12

23、k )2 ， 1( 12k )20 ，故： k021 223m 1() ，即： m24 ，故： m2 或m2考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识，为困难题.二、填空题113 2解析：q ( x10a)10展开式的通项为tr 1733r10cx10r ar (r10,1,l,10) (xa)展开式中x 的系数为c10a15a2考点：考查二项展开式的通项公式，简单题. 14 1解析 1：f ( x)sin(x2)2sincos(x)f (x)sin x 的最大值为1.解析 2：考察两角和差的正弦公式，注意角的拆分f (x)sin( x)2sincos( x) ，又f (x)sin( x)s

24、in( x)coscos(x)sin，因此f(x)sin( x)coscos(x)sinsinx 即最大值为1考点：本题考查和差角公式，为中等题. 15 (1,3)解析 1：考察偶函数的性质，对称区间单调性相反，数形结合易得2x12,1x3解析 2：作出函数f ( x) 的示意图，如图所示因为f (x1)02x121x3解析 3：特殊化，数形结合因为偶函数fx 在0,单调递减f20 ，所以不妨画出图像如下：函数f (x1)的图像为：由图可知，不等式f (x1)0 的解集为(1,3)。考点：本题考查函数的单调性与奇偶性. 简单题 . 16 1,1解析 1：数形结合，当m (1,1)时，恰好存在圆

25、上（0,1 ）（ 1,0 ）两个点使得，omn45o结合图像，当m继续向右运动时，与圆上任意一点形成的夹角都小于45 度，再结合对称性可得 x0 范围在 1,1解析 2：直线 om 的斜率为1x，设直线mn 的斜率为k ，因为0omn45 ，所以1kox01x0x01tan 45| ，解得 k，或者 k。11k x01x0x011x01x0当 k时，直线mn 的方程为y1( xx0 ) ，整理得0001x01x0(x1) x(1x ) y1x20 。为保证点n 在圆 o 上，令圆心o 到直线 mn 的距离d1 ，即10x2221 ，解得1x01 。(x01)(1x0 )x01当 k时，同理可得

26、x011x01 。解析 3：设 n 点的坐标为(cos,sin)（ 1）当x00,1时 m 点的坐标为 (x0 ,1) om, mn的斜率分别为：k1 , k1sinommnx0x0cosomn45 tan 45kmnkom( kk)1kk1k mn kommnommnom1sin即(1 )11sin1 ( )x2x0cosx0x0cosx02取正号时，化简（* ）式得： (1x0 ) cos(1x0 )sin10取负号化简（* ）式得： ( x10 ) cos(1x0 )sin10x(1x ) 2(1x ) 2 sin()1x 2400000(1x ) 2(1x ) 21201| x0 |1

27、0xx0故 |x0 |<1 且 x00（ 2）当x00 时，取n (1,0) , 此时满足题设.（ 3）当x01 时，取n (0,1) ，此时也满足题设.综上所述，1x01解析 4：由图可知点 m 所在直线 y1 与圆 o 相切又 on1，由正弦定理得：onom12sin2omonm，即：sin omomnsinonm 2 sinonm又 0onm， om2 ，即212 ，解之：1x01x0考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程, 分析问题的能力. 困难题 .三、解答题17. 解析： (i) an 13an1 an1 是首项为23，公比为3 的等比数列2n a13 3n 1

28、33n1a, nn *nn2222(ii)由(i)知， an3n12,nn * ，故考点：考查等比数列的通项公式, 求和公式，考查放缩法证明不等式的技巧. 中等题 .18. 解析 1：（）连接bd交 ac于点 o，连接eo。因为 abcd为矩形，所以o 为 bd的中点。又 e 为 pd的中点，所以eopb 。eo平面aec， pb平面aec，所以 pb平面 aec。（）因为pa平面abcd ， abcd为矩形，所以ab， ad， ap两两垂直。uuru如图，以a 为坐标原点，abuuru的方向为x轴的正方向，| ap |为单位长，建立空间直角坐标系axyz则 d (0,3,0)， e (0,3

29、122uuur,)， ae(0,31。,)22设 b(m,0,0) （ m0 ），则c(m,3,0)uuur， ac(m,3,0)。uruuururmx3 y0,n1ac0,设 n1( x, y, z)为平面 ace的法向量，则uruuur即31可取ur3n1(,1,3)。mn1ae0,yz0,22uur又 n2(1,0,0)为平面 dae的法向量，由题设| cosuruur 1n1 ,n2|，即231，解得 m3。34m2221因为 e 为 pd的中点，所以三棱锥eacd的高为2，三棱锥eacd 的体积v113313。32228解析 2： (i) 连接 ef, 因为四边形abcd是矩形，故f

30、 为 ac中点，又因为e 为 pd中点，故ef是pbd的中位线，从而ef | pb , 故pb | 面aec .(ii)建立坐标系如图所示. 因为 ap1, ad3， e 为 pd中点 p(0,0,1),d (0,3, 0), e (0,3 , 1 )，设 | cd |a，则b(a,0,0), c( a,3,0)22uuur31uuur ae(0,), ac 22(a,3,0) pa面abcd， 平面abcd是矩形 abuuur面padab(a,0,0)是平面 ade的法向量ruuur31rnaeyz0设平面 aec的法向量为n=( x, y, z)，则22ruuur令 y3，得 x3 , z

31、 ar3，故 nnacax3y0(3 ,3,3)a二面角daec 的大小为60°ruuuur| nab |33 cos603r| n|uuur| ab |a939a2912a2解得 a2三棱锥eacd 的高为111| pa |122211111313 ve acd(| ad | | cd |) (| pa |)(3)32232228考点：考查空间线面关系，椎体的体积计算和向量法解决立体几何问题的技能，中等题. 19 解析 1：（）由所给数据计算得t1 (1234567)4，7y1 (2.93.33.64.44.85.25.9)4.3 ，77(tii 1t) 2941014928，7b

32、$i 1(ti7t)( yiy)2(tit )140.5，28i 1a$yb$t4.30.542.3，所求回归方程为$y0.5t2.3 。（）由（ 1）知， b$0.50 ，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元。将 2015 年的年份代号t9代入（ 1）中的回归方程，得$y0.592.36.8 ，故预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入为千元。解析 2：（ i ）回归方程为：y0.5t2.3(ii)由于b?0.50，故 y 与是正线性相关的，因此从2007 年到 2013 年农村居民的人均纯收入是逐年上升的. 当 t9 时， y0.592

33、.36.8 ，即 2015 年农村居民的人均纯收入预测将达到千元.考点：考查线性回归方程，线性相关的概念的应用. 难度中等 .20 解析 1：（）根据ca2b2及题设知b 2m (c,)a， 2b23ac。将 b2a2c2 代入12b2c1c3ac ，解得，a2a2 （舍去）。故 c 的离心率为。2（）由题意，原点o 为 f1f2 的中点，mf2 y 轴，所以直线mf2 与 y轴的交点d (0,2)是线段mf2 的中点，故b2a4 ，即b24a 。1由| mn|5 | f1 n |，得 | df1 |2 | f1 n |。设 n ( x1 , y1 )，由题意知y10，则2(cx1)c,x3

34、c,12 y12,即2y11,代入 c 的方程，得9c214 a2b 21 。22将1 即 ca2b代入 2，得9( a24a)11 。4a 24a解得 a7， b24a28 ，故a7 ， b27。解析 2：（ i ）mf 2x轴 （不妨设m在 x 轴的上方）yx221b2 m的坐标满足方程组3a2b2 xcm (c,)a mn的斜率为4b 2 3a42c2b 23ac c2a 2b22(a 2c2 )3acc22又 ea2(1e )3e12e3e20椭圆离心率为e.2(ii) mn在 y 轴上的截距为2， o为 f1, f2 的中点 m的坐标为 ( c,4)(不妨设m在 x 轴的上方 )b2

35、由（ i ）得a4(*) | mn|5 | nf 1 | | mf 1 |4 | nf 1 |作 nfx轴 于 t, 由于vntfvmf fym, 故有4,2c41112yn133cxn ynym1,xn4c，即 n (2c,1)29c21把 n 点的坐标代人椭圆方程得：4a 2b 219( a 2b 2 )19b 21514a 2b 24a 2b2(*)4把（ * ）与（ * ）联立得：a 7b 27考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21 解析 1：（）f (x)exe x20 ，等号仅当x0 时成立。所以f ( x)在 r 上单调递增。（）g( x)f (2 x)4b

36、f ( x)e2xe 2x4b(exe x )(8b4) x ，2(exe x2)(exe x2b2) 。（ i ）当 b2 时，g ( x)0，等号仅当x0时成立，所以g( x)在 (,)单调递增，而g(0)0，所以对任意x0 ， g( x)0 ；（ ii）当 b2 时，若x 满足 2exe x2b2，即 0xln(b1b22b)时，g ( x)0 。而g(0)0，因此当0xln( b1b22b)时， g(0)0 。综上， b 的最大值为2.3（）由（）知，g(ln2)22b22(2b1) ln 2。当 b2时， g(ln2)3426ln 20 ，228230.6928 ；12当 b3214

37、时， ln(b1b22b)ln2 ，g (ln2)322(322)ln 20 ， ln 22182280.6934 .所以 ln 2 的近似值为.解析 2： (i) f (x)e2e x2xxxxx f ( x)ee22e e2 f (x) 在 r 上递增 .（ ii ）qf ( x)exe x2 x（注意这里用分离变量法处里恒成立无法进行下去! ） f ( x)exe x20, f(2 x)2e2 x2e 2 x40又 g( x)2e2 x2e 2 x44b(exe x2)令 g ( x)0exe x2(b1)exb1b(b2)（ 1）当 b1 时 g( x)g(0)0成立, 故 b1 成立.xxx(2) 当