131利用导数判断函数的单调性

1、日照实验高中2007级数学导学案-导数教师备课学习笔记1.3.1禾U用导数判断函数的单调性学习目标：1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2掌握利用导数判断函数单调性的方法.学习重点难点：利用导数判断函数单调性自主学习一、知识再现：1. 函数的单调性对于任意的两个数 X1, I，且当X!< X2时， 都有f(Xi) < f(X2)，那么函数f(X)就是区间I上的增函数对于任意的两个 数Xi, X2 I，且当Xi< X2时，都有f(Xi) > f(X2)，那么函数f(X )就是区间I上的减函数2. 导数的概念及其四则运算二、新课探究：1、定义：一般地，设函数y=f

2、(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/ _0,那么函数y=f(X)在为这个区间内的增函数；如果在 这个区间内yri0,那么函数y=f(X)在为这个区间内的减函数-2、用导数求函数单调区间的步骤： 求函数f(x)的导数f' (x). 令f' (x) 一0解不等式，得X的范围就是递增区间. 令f' (x)乞0解不等式，得x的范围，就是递减区间.3、例题解析：例1确定函数f(x)=x2 2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函 数.解：f' (x)=(x2 2x+4)' =2x 2.令 2x 2> 0，解得 x> 1.当 x (1 ,

3、 +s)时，f' (x)>0, f(x)是增函数.令 2x 2< 0,解得 x< 1.当 x ( a, 1)时，f' (x)< 0, f(x)是减函数.例2确定函数f(x)=2x3 6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减 函数.解：f' (x)=(2x3 6x2+7) ' =6x2 12x令 6x2 12x>0,解得 x>2 或 x<0当 x ( a, 0)时，f' (x)> 0, f(x)是增函数. 当 x (2, + a)时，f' (x)>0, f(x)是增函数. 令 6x2 12

4、x<0,解得 0< x< 2.当 x (0 , 2)时，f' (x)< 0, f(x)是减函数.1例3证明函数f(X)= 在(0 , +a )上是减函数.X证法一：(用以前学的方法证)任取两个数Xi, X2 (0, +8 )设XiV X2.11X2 Xif(xi) f(X2)= / Xi > 0, X2> 0,. . XiX2> 0X1X2X1X2cX2 Xic/ X1< x2,. x2 X1 > 0,> 0X1X21 、，.f(Xl) f(X2)> 0，即 f(Xl) > f(X2) f(X)=在(0 , + 8

5、 )上是减函数.X证法二：(用导数方法证) , 1 2 1-f (x)=( )' =( 1) X = y , X > 0,XX2 1 1 x2>0,r< 0. f' (x)< 0,. f(x)= 在(0, + 8)上是减函数XX例4求函数y=x2(1 X)3的单调区间解：y' = x2(1 X)3' =2X(1 x)3+x2 3(1 X)2. ( 1)=x(1 x)2 2(1 x) 3x =x(1 X)2. (2 5x)人22令 X(1 x) (2 5x)> 0,解得 0 < x<.5 y=x2(1 x)3的单调增区间2

6、 2 2是(0,-)令 x(1 x) (2 5x)< 0，解得 x< 0 或 x> 一且 xm 1.552t x=1为拐点， y=x2(1 x)3的单调减区间是(一8, 0), (一 , + 8)5H +X2例5.求f (x) =1 n七的单调递增区间解：由函数的定义域可知，1-x2 >0 即一 1cxv1h+x2122又 f(x)=l 叫=2 In(1+x2)T n( 1一x2)T 1 X2才、，、1 , 2x2x、x , x所以 f(X)(2 2)222 1+x 1 -x1 + x 1-x令 f (x) >0 ,得x v -1 或 0 <x <1教师备课 学习笔记综上所述，f（x）的单调递增区间为（0,1）课堂巩固：2 11函数y=4x2 + 的单调递增区间是（）x1 1A （0,+迂）B （牙+处）C0D（_°°,2）2. 已知函数y=x3x，则它的单调递减区间是（）A.（严0） B. （-1,1） C.（0,切 D.（严-1）及（1,址）23. 函数 f （x） =1 n（x x -2）的单调递增区间是4当k E _时，f （x） =x3 +kx2在0, 2上是减函数.归纳反思：合作探究：1.求函数f（x）=2x21 nx的单调区间教师备课 学习笔记2