2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4讲　二次函数与幂函数

1、第 4 讲二次函数与幂函数一、知识梳理1幂函数(1)定义：形如 yx(r)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，为常数常见的五类幂函数为 yx，yx2，yx3，yx12，yx1.(2)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0 时，幂函数 yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数 yax2bxc(xr)不可能是偶函数()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(5)

2、二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏常见误区|(1)幂函数定义不清晰，导致出错；(2)二次函数的性质理解不到位出错；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错1已知幂函数 yf(x)的图象过点2，22 ，则此函数的解析式为_；在区间_上递减解析：设 yf(x)x，因为图象过点2，22 ，代入解析式得12，则 yx12，由性质可知函数 yx12在(0，)上递减答案：yx12(0，)2已知函数 f(x)x22ax3，若 yf(x)在区间4，6上是单调函数，则实数 a 的取值范围为_解析：由于函数 f(x)的图象开口向上，

3、对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.答案：(，64，)3已知函数 f(x)ax2x5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是_解析：因为函数 f(x)ax2x5 的图象在 x 轴上方，所以a0，1220a120.答案：120，考点一幂函数的图象及性质(基础型)复习指导|通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况核心素养：数学抽象1已知点33， 3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)是()a奇函数b偶函数c定义域内的减函数d定义域内的增函数解析：选 a设 f(x)x，由已

4、知得33 3，解得1，因此 f(x)x1，易知该函数为奇函数2已知 a345，b425，c1215，则 a，b，c 的大小关系为()abacbabcccbadcabc，故选 c3若幂函数 yx1，yxm与 yxn在第一象限内的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为()a1m0n1b1n0mc1m0nd1n0m0 时，yx在(0，)上为增函数，且 01 时，图象上凸，所以 0m1；当0 时，yx在(0，)上为减函数，不妨令 x2，根据图象可得 212n，所以1n0，综上所述，选 d4若(a1)12(32a)12，则实数 a 的取值范围是_解析：易知函数 yx12的定义域为0，)，在定义域内为

5、增函数，所以a10，32a0，a132a，解得1a0，若在(0，)上单调递减，则4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确；对称轴为 x1，即b2a1，2ab0，错误；结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a，又函数图象开口向下，所以 a0，所以5a2a，即 5ab，正确故选 b【答案】b确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与 y 轴的交点、与 x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等从这三个方面入手，能准确

6、地判断出二次函数的图象反之，也可以从图象中得到如上信息角度二二次函数的单调性及最值问题(1)函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是递减的，则实数 a 的取值范围是_(2)求函数 f(x)x22ax1 在区间1，2上的最大值【解】(1)当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上递减，满足条件当 a0 时，f(x)的对称轴为 x3a2a，由 f(x)在1，)上递减知a03a2a1，解得3a0.综上，a 的取值范围为3，0故填3，0(2)f(x)(xa)21a2，所以 f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 xa.当a12时，f(x)maxf(2)4a5.当a12即 a12时，f(x)

7、maxf(1)22a，综上，f(x)max4a5，a12，22a，a12.二次函数的单调性及最值问题(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成角度三一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)xk 在区间3，1上恒成立，则 k 的取值范围为_【解析】(1)作出二次函数 f(x)的草图，对于任意 xm，m1，都有 f(x)0，则有f（m）0，f（m1）0，即m2m

8、210，（m1）2m（m1）10，解得22mk 在区间3，1上恒成立设 g(x)x2x1，x3，1，则 g(x)在3，1上递减所以 g(x)ming(1)1.所以 k1.故 k 的取值范围为(，1)【答案】(1)22，0(2)(，1)不等式恒成立求参数取值范围的思路一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域1函数 f(x)ax22x3 在区间1，3上为增函数的充要条件是()aa0ba0c0a13da1解析：选 d当 a0 时，f(x)为减函数，不符合题意；当 a0 时，函数 f(x)ax22x3 图象的对称轴为 x1a，要使 f(x)在区间1，3上为增函数，则a0，

9、1a1，解得 a1.故选 d2如果函数 f(x)x2bxc 对任意的实数 x 都有 f(1x)f(x)，那么()af(0)f(2)f(2)bf(0)f(2)f(2)cf(2)f(0)f(2)df(2)f(0)f(2)f(0)故选 a3 若函数 f(x)x22x1 在区间a， a2上的最小值为 4， 则 a 的取值集合为_解析：因为函数 f(x)x22x1(x1)2，对称轴 x1，因为 f(x)在区间a，a2上的最小值为 4，所以当 1a 时，f(x)minf(a)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3，当 a21，即 a1 时，f(x)minf(a2)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3

10、，当 a1a2，即1a1 时，f(x)minf(1)04，故 a 的取值集合为3，3.答案：3，3基础题组练1 如图是yxa； yxb； yxc在第一象限的图象， 则 a， b， c 的大小关系为()acbababccbcadac0，所以 f(x)在(，2)上是递减的，在2，)上是递增的3已知函数 f(x)x24xa，x0，1，若 f(x)有最小值2，则 a 的值为()a1b0c1d2解析：选 d函数 f(x)x24xa 的对称轴为直线 x2，开口向下，f(x)x24xa 在0，1上单调递增，则当 x0 时，f(x)的最小值为 f(0)a2.4(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字

11、：已知二次函数 yax2bxc 的图象过点(1，0)，求证：这个二次函数的图象关于直线 x2 对称根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是()a在 x 轴上截得的线段的长度是 2b与 y 轴交于点(0，3)c顶点是(2，2)d过点(3，0)解析：选 abd由已知得abc0b2a2，解得 b4a，c3a，所以二次函数为 ya(x24x3)，其顶点的横坐标为 2，所以顶点一定不是(2，2)，故选 abd5(多选)设函数 f(x)ax2bxc(a0)，对任意实数 t 都有 f(4t)f(t)成立，则函数值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()af(1)bf(1)cf(2)d

12、f(5)解析：选 acd因为对任意实数 t 都有 f(4t)f(t)成立，所以函数 f(x)ax2bxc(a0)的对称轴是 x2，当 a0 时，函数值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是 f(2)；当a0 时，函数值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是 f(1)和 f(5)6已知二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，对称轴为 x3，与 y 轴交于点(0，3)则它的解析式为_解析：由题意知，可设二次函数的解析式为 ya(x3)2，又图象与 y 轴交于点(0，3)，所以 39a，即 a13.所以 y13(x3)213x22x3.答案：y13x22x37(2020甘肃

13、兰州一中月考)已知函数 f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在 x(0，)上递减，则实数 m_解析：根据幂函数的定义和性质，得 m2m11.解得 m2 或 m1，当 m2 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，符合题意；当 m1 时，f(x)x01 在(0，)上不是减函数，所以 m2.答案：28设函数 f(x)mx2mx1，若对于 xr，f(x)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_解析：当 m0 时，f(x)10，符合题意当 m0 时，f(x)为二次函数，则由 f(x)0恒成立得m0，0，即m0，（m）24m（1）0，解得4m2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)由 f(0

14、)1，得 c1，所以 f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x，所以 a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x，所以2a2，ab0，所以a1，b1，因此，所求解析式为 f(x)x2x1.(2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在区间1，1上的最小值大于 0 即可设 g(x)x23x1m，则 g(x)在区间1，1上单调递减，所以 g(x)ming(1)m1，由m10，得 m1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1)综合题组练1若函数 f(x)x2a|x|2，xr 在

15、区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a 的取值范围是()a113，3b6，4c3，2 2d4，3解析：选 b由于 f(x)为 r 上的偶函数，因此只需考虑函数 f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数 f(x)在3，)上为增函数，在1，2上为减函数，故a22，3，即a6，42(2020福建连城一模)已知函数 f(x)2ax2ax1(a0)，若 x1f(x2)cf(x1)f(x2)d与 x 的值无关解析：选 c由题知二次函数 f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为 x14，因为 x1x20， 所以直线 xx1， xx2关于直线 x0 对称， 由x1x2， 结合二次函数的图象可知 f(x1)

16、0 且 f(x)min1b24a0，联立解得 a1，b2，所以 f(x)x22x1.因为 g(x)f(x)kxx22x1kxx2(2k)x1x2k221（2k）24， 所以当k222 或k222 时，函数 g(x)在2，2上是单调函数，故实数 k 的取值范围是(，26，)答案：x22x1(，26，)4(创新型)定义：如果在函数 yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在 x0(ax0b)，满足 f(x0)f（b）f（a）ba，则称函数 yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如 yx4是1，1上的平均值函数，0 就是它的均值点现有函数 f(x)x2mx1 是1，1上的平均值函

17、数，则实数 m 的取值范围是_解析：因为函数 f(x)x2mx1 是1，1上的平均值函数，设 x0为均值点，所以f（1）f（1）1（1）mf(x0)，即关于 x0的方程x20mx01m 在(1，1)内有实数根，解方程得 x01 或 x0m1.所以必有1m11，即 0m1 时，求函数 g(x)的最小值解：(1)f(x)在 y 轴右侧的图象如图所示若 x0，则x0)，所以 f(x)x22x（x0） ，x22x（x0）.(2)由(1)知 g(x)x22x2ax2，其图象的对称轴方程为 xa1，当 a1 时，a12，g(x)x22x2ax2 在1，2上单调递减，则 g(x)在1，2上的最小值为 g(2)24a.6已知函数 f(x)x22ax5(a1)(1)若函数 f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数 a 的值；(2)若 f(x)在区间(， 2上是减函数， 且对任意的 x1， x21， a1， 总有|f(x1)f(x2)|4，求实数 a 的取值范围解：(1)因为 f(x)x22ax5 在(，a上为减函数，所以 f(x)x22ax5(a1)在1，a上单调递减，即 f(x)maxf(1)a，f(x)minf(a)1，所以