(完整word版)空间向量练习题

1、空间向量在立体几何中的应用 4 H T T 【知识梳理】1、已知直线h,。的方向向量分别为v,v2，平面的法向量分别为n,n2，则 (1) _ I/ _ ；(2)h J 二 _ (3) 若直线li,2的夹角为 二，贝U COST二 _ ； (4) */：= _ ; ( 5) l1 -二 _ (6) 若直线11与面的成角为 二，贝U sinr = _ ； (7) 面/面 1 u _ ； (8)面爲.1 面 1 = _ (9)若面：与面1成二面角的平面角为 寸，则 _ 2、( 1)三余弦定理： _ ; (2) _ 三垂线定理(及逆定理)： _ ; (3) 二面角的平面角定义 (范围)： _ 【小试

2、牛刀】1、A(1, 1, -2)、B(1 , 1, 1)，则线段AB的长度是( J AJ B.2 C3 0,4 2、 向量 a= (1, 2, -2), b= (-2 , -4, 4)，则 a 与 b( ) A.相交 B.垂直 C平行 D,以上都不对 3. 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M为 AC 与 BD 的交点.若 AB1 =a, AD1= b, AA=c,则下列向量中与B1M相等的向量是( 4.下列等式中，使点 M 与点 A、 B、C 疋共面的疋 A. OM =3OA-2OB-oC B. 1 1 一 1 - OM OA OB OC 2 3 5 1 1 1 1 A a+

3、b+c B. a+ b+c 2 2 2 2 C. 1 1 K a b+c D. 1 a 1 b+c 2 2 2 2 C. OM OA OB OC 二 0 D. MA MB MC 二 0 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、 AD 的中点，贝 U EF DC等于 A.丄 B. C.至 D.亘 3 5 5 5 10. / ABC 的三个顶点分别是 A(1,1,2)，B(5,-6,2)，C(1,3,-1)，则 AC 边上的高 BD 长 为 A.5 B. . 41 C.4 D. 2 . 5 11. 设 a = (x,4,3)， b = (3, -2,

4、 y)，且 a/ b，则 xy 二 . 12. 已知向量 a= (0,1,1)，b = (4,1,0), Ra+b = j29 且九 0，则九= _ . 13. 在直角坐标系xOy中，设 A (-2，3)，B( 3, -2 )，沿x轴把直角坐标平面折成 大小为二的二面角后，这时 AB =2.11 ,则二的大小为 _ 14. 如图，PABCD 是正四棱锥，ABCD -ABQQ 是正方体， 其中AB =2,PA二.6，则B1到平面 FAD 的距离为 . I 时 4 4 4 B. C. D. 6.若 a 二(1, ,2), b= (2,1,1) , a与 b 的夹角为600，则，的值为 A.17 或

5、-1 B.-17 C.- D. 7.设 0A 二(1,1, -2) , 0B 二(3,2,8) , 0C 二(0,1,0) 则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离 B. C. 53 4 D. 53 4 8. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误.的是 A. BD / 平面 CB1D1 B. ACBD C. AC1 丄平面 CB1D1 D. 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 9. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2,AA1=1, 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 i 15. 已知 a =(2,4, x )b = (2,

6、y,2 )，若 a =6且a 丄b，求 x + y 值. 16 如图所示，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，CA=CB=1 , / BCA=90 ,棱 AAJ=2 , M、N 分别是 A1B1、 A1A的中点. (1) 求BN的长; (2) (3) 求 COSVBAHCBJ 的值 求证：AJB丄C1M. 17.如图，在四面体 ABCD 中，CB 二 CD, AD _ BD，点 E, F 分别是 AB, BD 的中 点求证： (1) 直线 EF/ 面 ACD ； (2) 平面 EFC 面 BCD . 18.(本小题满分 14 分)如图，已知点 P 在正方体 ABCD - ABCD的对角线 BD

7、上, / PDA=60 . (1) 求 DP 与 CC所成角的大小； (2) 求 DP 与平面 AADD 所成角的大小. C E 是侧棱 PC 上的 C 19.(本小题满分 14分)已知一四棱锥 P- ABCD的三视图如下, 动点. (1) (2) (3) 求四棱锥 P-ABCD 的体积； 是否不论点 E 在何位置，都有 BD 丄 AE ?证明你的结论； 若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D AE B 的大小. 参考答案1、C 2、C _1_ _ 1 11 AA巧(BA + BCF-a+b)=-屮严故选 A. B、C 四点共面 二 OM 二 xOA yOB zOC(x, y, z R)且x

8、 y z = 1 .选项(A)、(B)、(C)都不正确.由于 MA MB MC = 0= MA - -MB -MC 所以存在 x - -1, y =1,使MA = xMB yMC MA, MB,MC共面 由于M为公共点.M、A、B、C四点共面，故选 D. 1 1 H 5. v E,F分别是 AB,AD的中点，.EF / BD 且EF BD, EF BD , 2 2 1 =丄故选 B. 2 4 11.9 12.3 13.作 ACL x 轴于 C, BD 丄 x 轴于 D,则 AB = AC CD - DB |AC =3,CD| =5DB =2, AC CD =0,CD DB =0,AC DB ”

9、AC |DB cos(!800 -R - -6cosr |DB 2(AC CD CD DB DB AC) .(2.11)2=32 52 22 2(0 -0 -6cos. co -1.由于 0 一二一 180,120 14.以A1B1为x轴，ADj为y轴，AjA为z轴建立空间直角坐标系 设平面 FAD 的法向量是 m =(x,y,z)，: AD =(0,2,0), AP =(1,1,2),二 y = 0, x y 2z = 0 , 取 z =1 得 m =(-2,0,1), ；BA = (-2,0,2)，二 B1 到平面 PAD 的距离 d - 15、解：由 a =6= 22+42 +X2 =3

10、6，又 a 丄 b= a 6 = 0 即 4 + 4y+2x = 0 10.由于 AD = AB cos ：: AB, AC = AB AC 4，所以BD = AB $ -IAD 二5,故选 A AC 3. B1M B1B BM 4. 由于M、A、 .1 1 1 二 EF DC=BD DC =丄 BD .DC cos v BD,DC a 丄 x 1 工1 xcos120 2 * - 6.B 7.B 8. D 2 9. D AB =(AC+CD+DB)2 =|AC| + CD 骨5. BA 由有：x = 4, y = -3或x = -4, y = 1 x y =1 或-3 16、如图，建立空间直

11、角坐标系 0 xyz. (1 )依题意得 B(0, 1, 0)、N( 1, 0, 1) /.|BN |= J(1-0)2 +(0-1)2 +(1-0)2 = V3. (2)依题意得 A1 (1 , 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、 BA| = 1, 1, 2, CBi =0 , 1, 2, , BA1 CBi =3, | CB1 |= 5 cos= BA1 CB1 一 1 ,30. | BA1 | | CB1 | 10 (3)证明：依题意，得 C1 (0, 0, 2)、M (丄，1,2), AB= 1, 2 217. 证明：(1)v E,F 分别是 AB, BD

12、 的中点， EF 是厶 ABD 的中位线，二 EF/ AD , AX 面 ACD EF 亿面 ACD 二直线 EF/面 ACD (2)v AD 丄 BD, EF/ AD ,二 EF BD, TCB=CD , F 是ED的中点,二 CF 丄 BD 又 EFn CF=F, BD 丄面 EFC, / BD 面 BCD 二面 EFC _面 BCD. 18. 解：如图，以 D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系 D-xyz . 则 DA=(1,0,0), CC=(0,0,1).连结 BD , BD . 在平面 BB D D 中,延长 DP 交 BD 于 H . 设 DH =(m, m ,1)(m

13、0),由已知:：DH , DA = 60 , 由 DALDH = DA DH cos ： DA,DH , AD 一 1 1 1,2，C1M =2,2, 0. ： AB C1M = 1 1 2 2+0=0, AB 丄 C1M，二 A1B丄C1M. 可得 2m = 2m2 1 解得m-2,所以D = | , ,1 . 2 I2 2 丿 2 0 迈 0 1 1 2 (1)因为 cos ： DH, CC 2 2 -, 1汇丁2 2 所以:DH,C =45,即DP与CC所成的角为45 (2)平面 AAD D 的一个法向量是DC =(0,1,0). B D p / z kz C C B 2 : 一 y二面

14、角D - AE - B的大小为牛 2 0 2 11 0 彳 因为HQC 一 122 乜， = 60：，可得 DP 与平面 AA D D 所成的角为30 . 19. 解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正 1 2 方形，侧棱 PC 丄底面 ABCD，且 PC=2.A VP _ABCD = S ABCD 3 二 3 不论点 E 在何位置，都有 BD 丄 AE 证明如下：连结 AC ,v ABCD 是正方形，二 BD 丄 AC PC 丄底面 ABCD 且 BD 平面 ABCD 二 BD 丄 PC 又 AC PC=C 二 BD 丄平面 PAC 不论点 E 在何

15、位置，都有 AE 平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 BD 丄AE 解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DG 丄 AE 于 G,连结 BG v CD=CB,EC=EC，A RUECD 也 RtAECB，二 ED=EB AD=AB，二 EDA EBA，二 BG 丄 EA . DGB 为二面角 D EA B 的平面角 v BC 丄 DE，AD / BC，A AD 丄 DE 在 R ADE 中 DG = AD DE = 2 二 BG AE 43 2 2 2 在厶 DGB 中，由余弦定理得cos. DGB二竺 匹 亜 2DG BG DGB =，二二面角 D AE B 的大小为. 3 3 解法 2:以点 C 为坐标原点，CD 所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示: 贝U D(1,0,0), A(1,1,0),B(0,1,0), E(0,0,1)，从而 DE =