2018版高中数学第四章函数应用1.2利用二分法求方程的近似解学案北师大版必修1

1、1. 2 利用二分法求方程的近似解学习目标 1.能用二分法求出方程的近似解；2.知道二分法是求方程近似解的一种常用 方法，体会“逐步逼近”的思想.|课前預习自 4 学习.积淀基讪预习教材 P117- 119 完成下列问题：知识点一二分法的定义对于图像在区间a,b上连续不断且满足f(a) f(b)0 的函数y=f(x)，每次取区间 的中点将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.【预习评价】1用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示前提条件：(1)f(x)在区间a,b上的图像连续不断.(2) 在区间a,b端点的函数值f(a) f(b)0 .2.所有函数的零点都

2、可以用二分法求出吗？提示 不是，例如函数y= (x+ 2)2的零点一 2 就无法用二分法求出.知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1) 确定区间a, b，验证f(a) f(b)0，给定精确度；(2) 求区间(a,b)的中点c；(3) 计算f(c);1若f(c) = 0,则c就是函数的零点；2若f(a)f(c)0 ,则令b=c(此时零点x (a,c).3若f(c)f(b)0 ,则令a=c(此时零点x (c,b).判断是否达到精确度:即若 lab| &，则得到零点近似值a(或b)；否则重复 .【预习评价】1 用二分法求函数f(x) =

3、x3+ 5 的零点可以取的初始区间是()A. 2,1B. 1,0C. 0,1D. 1,2解析 /f( 2) = 30,f( 2) f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算.答案 A2.用二分法研究函数f(x) =x3+ 3x 1 的零点时，第一次经计算得f(0)0 ,2可得其中一个零点xo_ ，第二次应计算 _ .解析 因为f(0)0，所以f(0) f(0.5)0，故f(x)的一个零点xo (0,0.5),利用二分法，则第二次应计算f一 2 =f(0.25).答案(0,0.5)f(0.25)il堂互貂“.题型剖桩心互动探究题型一二分法概念的理解【例 1】 下列图像与x轴均有交点，

4、其中不能用二分法求函数零点的是()解析 按定义，f(x)在a,b上是连续的，且f(a) f(b)0，才能不断地把函数零点 所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项 A 不满足，在 A 中，图像经过零点X。时，函数值不变号，因此不能用二 分法求解.故选 A.答案 A规律方法 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点. 因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零 点适合，对函数的不变号零点不适合.【训练 1】 下列函数中，能用二分法求零点的为()解析 函数图像连续不断，函数零点附近的

5、函数值异号， 这样的函数零点才能使用二分 法求解，观察四个函数图像，只有B 选项符合.答案 B典例迁移题型二用二分法求方程的近似解【例 2】 用二分法求方程 2x3+ 3x 3 = 0 的一个正实数近似解(精确度 0.1).33解 令f(x) = 2x+ 3x 3,经计算，f(0) = 30,f(0) f(1)0 ,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程 2x3+ 3x= 3 在(0,1)内有解.取(0,1)的中点 0.5，经计算f(0.5)0 ,所以方程 2x3+ 3x 3 = 0 在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表:(a,b)中点cf(a)

6、f(b)曽)(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于 |0.687 5 0.75| = 0.062 50.1,所以方程 2x3+ 3x 3 = 0 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为0.687 5 .3【迁移 1】(变换条件)本例变为：根据下表，用二分法求函数f(x) =x 3x+1 在区间(1,2)上的零点的近似值(精确到 0.1)是_f(1) = 1f(2) = 3f(1.5) = 0.

7、125f(1.75) = 1.109 375f(1.625) = 0.416 015 625f(1.562 5)= 0.127 197 265解析 由表中数据知f(1.5) f(2)0 ,f(1.5) f(1.562 5)0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5) 上，又因为 |1.562 5 1.5| = 0.062 50.1,所以函数f(x) =x3 3x+ 1 在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填 1.5 .答案 1.5【迁移 2】(变换条件)(本例变为)用二分法求 2x+x= 4 在1,2内的近似解(精确度为0.2).参考数据：x1.1251.251.3751.51

8、.6251.751.875x22.182.382.592.833.083.363.67解 令f(x) = 2x+x 4,则f(1) = 2+ 1 40.区间区间中点值Xnf(Xn)的值及符号(1,2)X1= 1.5f(X1)= 0.330(1,1.5)X2= 1.25f(X2)= 0.370(1.25,1.5)X3= 1.375f(X3)= 0.0350 |1.375 1.5| = 0.1250 ,f( 2)0 ,f( 2)0(2, 1.5)1.5 2X121.75f(X 2.2030(2, 1.75)1.75 2X2-2- 1.875f(X2)0.7360(2, 1.875)1.875 2X

9、3-2 1.937 5f(Xs)0.097 40(1.937 5 , 1.875)由于| 1.875 + 1.937 5| = 0.062 50.1 ，所以函数在区间2, 1内的一个近似零 点可取为一1.937 5 .规律方法 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1) 需依据图像估计零点所在的初始区间m n(般采用估计值的方法完成).(2) 取区间端点的中点c,计算f(c)，确定有解区间是(m c)还是(c,n)，逐步缩小区 间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点；中值计算两边看.同号丢，异号算，

10、零点落在异号间.重复做，何时止，精确度来把关口.丨裸堂反馈羔鏈矗矗矗義.透屋矗屢蠶蠶J蠶蠹暮蚩底债捡测成歿课堂达标1下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是()6A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3 ,+)答案 B3用二分法求方程x3- 2x 5= 0 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为xo= 2.5，那么下一个有根的区间是 _ .解析 令f(x) =X3- 2x- 5,则f(2) = 23- 2X2- 5=- 10 ,下一个有根的区间是(2,2.5).答案(2,2.5)4.已知方程mx-x 1 = 0 在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的

11、取值范围是 _ .解析设函数f(x) =mx-x- 1,因为方程mx-x-1= 0 在(0,1)内恰有一解，所以当m= 0 时，方程一x- 1 = 0 在(0,1)内无解，当m0时，由f(0)f(1)0,即(mr 1- 1)2.答案(2 ,+)5.用二分法求函数f(x) =x3-x- 1 在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为 0.1).27 37解f(1) =- 10,那么函数f(X) 定存在零点的区间是()7上125551f(1.25) =- 12 一一 1 = 一 0.1 ;f(1.375)0 ，所以零点在区间 (1.25,1.375) 内，此时 |1.375 1.25| = 0.1250.1 ;又f(1.312 5)0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时 |1.375 1.312 5| = 0.062 50.1 ，3故f(x) =xx 1 在区间(1,1.5)内的一