椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条

1、2 标准方程:2a2乂 1b2 1|PFi|A) 2y2 1 (a>b>0)的两个顶点为 A( a,0), A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭 b圆于Pi、P2时AP与AP交点的轨迹方程是2X2a2 卄X10 右 FQ(x0, y0)在椭圆一2a2X11 若 P)(x0, y0)在椭圆 ayoy , 頁2yX°XPP2的直线方程是 2a1.12 AB是椭圆2X2akOM kABbi. a13Fq (xo, yo)在椭圆XqX2ayoyb22Xq2ay。2b214若Po(xq , yo)在椭圆15 若 PQ是椭圆2X2a丄2石12a占(r1b2 2 16若椭圆务告 a b

2、|OP|,r22y2 y b2XoX1上，则过Po的椭圆的切线方程是2a1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为的不平行于对称轴且过原点的弦，2每 1内，则被Po所平分byoy 1 歹1.Pi、P2,则切点弦AB的中点，则点弦的方程是2y_b21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2y21( a > b > 0 ) 上对中心张b2I OQ |).1(a>b> 0)上中心张直角的弦 L所在直线方程为 Ax2 _y_ b2ByXqX2ayoyb21 (AB 0),椭圆与双曲线的对偶性质92条IPF1I 1PF2I2Xa3. ed14. 点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的外角

3、5. PT平分 PFF2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的 圆，除去长轴的两个端点6. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离 7. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切8 .设A、A为椭圆的左、右顶点，则 PRF2在边PFz (或PF )上的旁切圆，必与 AA2所在的 直线切于A2 (或X29椭圆pa1 1则(1)孑孑A2 b2；(2) L 2，a2 A2 b2B217.给定椭圆C1: b2x2a2y2 a2b2 (a>b> 0) , C2: b2x2给定的点F0(xo, yo),它的任一直角弦2 2a b22 yo).a2 .2a

4、2y2(-ab)2,则(i)a b必须经过C2上一定点对G上任意a2 b2M(r2X0，2 ua b a b(ii)对C2上任一点P0(X0',y。')在G上存在唯一的点 M',使得M'的任一直角弦都经过 P。'点.x2y218.设R(X0,y0)为椭圆(或圆)C:二 21 (a > 0,. b>0)上一点，PQ为曲线C的动弦，a bk1, k 2,则直线P1P2通过定点M(mx), my0) (m 1)的充要条件且弦P0P1, P 0P2斜率存在，记为1 m b2" p .1 m a222,19.过椭圆笃1 (aa b>0,

5、 b >0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC 2° (常数). a y。20 椭圆F1PF22 2xy221 (a > b > 0)的左右焦点分别为F1, F 2，点P为椭圆上任意一点ab，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF221.若P为椭圆卩(；卍27 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F2是焦点，PF1F2b2PF2F1b2 tan ,22x2aa c，则222.椭圆务atan co t .a c 222占 1 (a > b> 0 )的焦半径公式：b2| MR

6、 I a exo, IMF2 | a e«( F" c,0) , F2(c,0) M (心 y。).2 223. 若椭圆21 ( a>b> 0)的左、右焦点分别为 R、F2，左准线为L,则当a b0 v ew -、2 1时，可在椭圆上求一点P,使得PR是P到对应准线距离 d与PR的比例中项.x2 y224. P为椭圆 21 (a> b> 0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则a b2a | AF2 | | PA| | PF1 | 2a | AF1I，当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立.2 225. 椭圆x占 1 (a>b

7、>0) 上存在两点关于直线l : y k(x x0)对称的充要条件是a b/ 22、22 (a b )x0-2, 2 2 .a b k26. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直.28. P是椭圆a cos(a > b >0) 上一点，则点 P对椭圆两焦点张直角的充要条件是bsi n1.2sin29设A,B为椭圆2与 k(k 0,k1)上两点，其直线 AB与椭圆b2yb21相交于P,Q,则 AP BQ.230.在椭圆笃a21中，

8、定长为2m(ov m< a)的弦中点轨迹方程为 m24a2cos2a2sin2其中tan.2 2b x2a y90o.31.设S为椭圆2y21 (a > b> 0)的通径，定长线段bL的两端点A,B在椭圆上移动,记 |AB|= I ,M (Xo, yo)是AB中点，则当l S时，有(X°)max兰 *(c2c 2e2 ,2a b , ec-);aS时，有(Sax；b曲|2,筑瓜0.x232椭圆飞a(x33 .椭圆A2a2 B2b234.设椭圆2y b22 2孕L 1与直线Ax a(Ax。2xa2 21与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是 A a2. 2B b

9、C2.一点，在 PF1F2中,By。2b235. 经过椭圆b2x2点的切线相交于 P1和P2,2x36. 已知椭圆-ya1|OQ |2(1)|OP |2a2b2 a2 b2 .37. MN是经过椭圆O且平行于MN的弦，则b2C)2.By C0有公共点的充要条件是(a> b> 0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意F1PF2PF1F2F1F2Pa2b2 (a>b>0)的长轴的两端点则 | PA | |PA2 | b2.2 y_ b21a2"亠 sinc，则有e.sin sin aA1和A2的切线，与椭圆上任一1 ( a>b> 0)

10、, O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点， 且OP OQ .A； ( 2) |OP|2+|OQ|2的最大值为 字虫；(3) Sopq的最小值是ba ba2y2 a2b2 (a>b>0)过焦点的任一弦，若 AB是经过椭圆中心 | AB |2 2a | MN |.b2x2,238. MN是经过椭圆bOP MN，贝U2一a| MN |2 239. 设椭圆笃爲a b22.a I1a1 (a> b> 0)b2 (a >b > 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦1,M(m,o)或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任点，过M引一条直线与椭圆相交于 P、Q两点，则直

11、线 AP、AQ(AA为对称轴上的两顶点)的交点2b2N在直线I : x (或y )上.mm40. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于M N两点，41 .过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点交于点M, AP和A Q交于点N,贝U MFL NF.242.设椭圆方程冷aQ两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和 则 MFL NF.P、Q, A1、A为椭圆长轴上的顶点，AP和 A2Q2每 1,则斜率为k(k工0)的平行弦的中点必在直线I :bb2 .a2x43.设A、B、C D为椭圆飞a2直线y k x上,而且kkAB与CD相交于P,且P不在椭圆上，则2冷

12、1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为b2| PA | |PB| b2 cos2| PC | | PD | b2 cos22 . 2 a sin 2- a sinkx的共轭，直线244.已知椭圆仔a2_y_ b2(内)角平分线为I，作F1、曰 222,22 r/疋 x y a (b y (a45 .设 ABC内接于椭圆1 (a> b>0)，点P为其上一点Fi,F2为椭圆的焦点,FFF2的外线 AC BC于 E 和 F,2x46.过椭圆一2aF2分别垂直I于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程2 2 2ce)(x c) (x y，且AB为的直径，CD与椭圆又D为I上一

13、点，则2y兀 1 (a > b > 0) b2 2cx) ce(x c).I为AB的共轭直径所在的直线，I分别交直 相切的充要条件是 D为EF的中点.的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则| PF | MN |2xa47.设A (xi ,y i)是椭圆e2 .2y1 (a > b> 0) 上任一点，过 A作一条斜率为线L,又设d是原点到直线L2y_b2贝2_y_b22x48. 已知椭圆a交于A B C、D四点,2x49. 已知椭圆a的距离，r1,r2分别是2 才x 和一2 a1 ( a > b > 0)AB | =|CD

14、 | .1 ( a >b>0),A、x轴相交于点P(x0,0)a2 b2X050.设P点是椭圆2 x 2 aa2V- 1b21A到椭圆两焦点的距离，贝Ur1r2d2書(02a y1ab.1 ), 一直线顺次与它们相B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与a2 b2> b > 0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记2 b2，则(1) |PR |PF2 |. S pf1f2 b1 cos51 .设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线2ab2(n2y_JL，F1PF2tan2P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶MN:

15、X n于M, N两点，则o a mMBN 90a m252. L是经过椭圆冷a个焦点，e是离心率，点P1 ( a > b> 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线， E、F是椭圆两若 EPF，贝U是锐角且sin e或arc sine (当且仅当|PH |ab e “时取等-c号).53. L2是椭圆笃ay221 ( a > b > 0)的准线，A、bB是椭圆的长轴两顶点占P5八、L， e是离心率，EPF，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或arcs ine(当且仅当I PH | 坐时取等号)c2 254. L是椭圆务与 1 ( a > b> 0)a2

16、 b2P L， EPF,离心率为e，仅当| PH | b a2 c2时取等号)cx255. 已知椭圆a的准线,E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点将A、B与椭圆左焦点Fi连结起来,边不等式取等号，当且仅当2xa56.设A、B是椭圆PBABPAtan tan 21 e .(3)半焦距为c，贝U为锐角且sine2或arc sin e2 (当且>b> 0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于 A、B两点,2 人 22(*2-(当且仅当 AB丄x轴时右aB三点共线时左边不等式取等号)则 b2 | F1A| |F1B|A、F1、2每 1 ( a >b>0)的长轴两端点，P

17、是椭圆上的一点，PABb,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) |PA| 2a22ab | cos |c2cos2.PAB2a b 丄 cot b a2 x_ 2 a点，且Xa、Xb的横坐标Xa57.设A B是椭圆2 y_ b21 ( a >b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两Xb2a , (1)若过 A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBA QBA ; ( 2)若过B引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，贝U PBA QBA 180°.2 258.设A、B是椭圆2 占 1 ( a >b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两a2

18、b2点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，(若B P交椭圆于两点，则 P、Q不关于x 轴对称)，且 PBA QBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足Xa Xb a2 ； (2)若过B点引直 线与这椭圆相交于P、Q两点，且PBA QBA180°,则点A、B的横坐标满足xAxBal259.设A, A是椭圆笃aa'q'的交点P的轨迹是双曲线2y_b22xa1的长轴的两个端点， QQ是与AA垂直的弦，则直线 AQ与8ab2a2 b2x2 y2过椭圆二2 1 ( a > b > 0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则a b2 2 | CD | 2

19、(aI abi61.到椭圆的轨迹是姊妹圆62.到椭圆2xa(x2xa2 y_ b2 a)22 y_ b2a c1 ( a > b > 0)两焦点的距离之比等于 -b2 ,2y b .1 ( a > b > 0)的长轴两端点的距离之比等于(c为半焦距)的动点 M(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆(xa 22 b 2)y () ee2 263到椭圆笃每a b1 ( a > b > 0)的两准线和x轴的交点的距离之比为距)的动点的轨迹是姊妹圆a 2(x2)(e为离心率).64.已知P是椭圆(a > b> 0)上一个动点， A, A是它长轴的两个端点.

20、2 2» 14a2''xAQ AP, AQ AP，则Q点的轨迹方程是 2a65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长 的比例中项2 2作斜66设椭圆2y? 1 ( a > b>0)长轴的端点为 A, A , P(X1, yj是椭圆上的点过 P率为b2%2a y1的直线l，过代A分别作垂直于长轴的直线交 I于M ,M ,则a b2x67.已知椭圆a(1) | AM | A M | b2. (2)四边形MAAM面积的最小值是 2ab.的直占 1 ( a > b> 0)的右准线I与x轴相交于点E ,过椭圆右焦

21、点F b2线与椭圆相交于 A B两点，点C在右准线I上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.(x a)2 y268. OA OB是椭圆 一古 与 1 ( a > 0,b > 0)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，a b2ab2则(1)直线AB必经过一个定点(22 ,0). 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的a b轨迹方程是(x冷叫)2 y2 (弓3)2(x 0).a ba bb21( a> b> 0)上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，69. P(m, n)是椭圆(x则(1直线AB必经过一个定点严2 m(a2b2一 ). (2)以P A、P B为

22、直径的两 a b圆的另一个交点 Q的轨迹方程是.2 2 .2 , ab a m、2 , bn (x 22 ) (ya ba b70.如果一个椭圆短半轴长为b，焦点Fi、F2到直线L的距离分别为di、d2,那么(1) did2 b2 ,L和椭圆相切.(2) did2 b，且F1、F2在L同侧 直线L ?和椭)2a2b42/ 2n (a2 2 2(a2 b2)2( x m且 y n).且F1、F 2在L?同侧 直线圆相离，(3) d1d2 b2，或2 271. AB是椭圆笃 -y-a2 b2F、F2在L异侧直线L和椭圆相交.(a>b> 0)的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B

23、2 ABDC的对角线的交点 M的轨迹方程是x2x72.设点P(x0,y°)为椭圆a定点P(x°, y°)的任一弦，当2 2 (22 a b (a y0的切线交于C、D两点，则梯形(|PA| |PB|)max2工1b2 1弦 AB2 2b X。)2 24a y 1(y0).2 2x y(a >b>0)的内部一定点，AB是椭圆 21过a b平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA| | PB |)minb2a2b2 (a2y°2 b2x°2).当弦 AB垂直于长轴所在直线时，73.74.75.76.77.b2椭圆焦三角形中，以焦半径为

24、直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切 椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点 椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点78. 椭圆焦三角形中79. 椭圆焦三角形中80. 椭圆焦三角形中 侧焦点的距离成比例.81. 椭圆焦三角形中 侧焦点连线段成比例.82. 椭圆焦三角形中 与另一焦半径所在直线平行83. 椭圆焦三角形中 为椭圆长半轴的长.84. 椭圆焦三

25、角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必,则椭圆中心与垂足的距离,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为85. 定值e.86.87.88.椭圆焦三角形中椭圆焦三角形中 椭圆焦三角形中 椭圆焦三角形中,非

26、焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点2X89.已知椭圆 a2y1(a0,b0)(包括圆在内)上有一点 P ,过点P分别作直线by -x及y x的平行线，与直线 aa2(1) |OM |OP分别交于R,Q , O为原点，则:90.过平面上的轴于R,Q . (1 )若|OQ |291.引x轴、的面积为92.2 2|ON | a ； (2)P点作直线11 : y2 2|OM | |ON |2 2 2|OQ | |OR| b .-x及12: y-x的平行线，分别交x轴于M , N，交y

27、aa2，则P的轨迹方程是2v1(a0,b0) .(2)若b|OR|2 b2，贝U P的轨迹方程是2点P为椭圆笃a2再 1(a 0,bb0).2V21(a0,b 0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过Pby轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y -x于Q, R，记 OMQ与 ONR a“abS1,S2，则：S1 S22 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交K V X 于 Q, R，记a2V21(a0,bb2.|PF1| |PF2|2xa标准方程:3.|PFi|OMQ与0).2a2V- 1 b2 1ONR的面积为Si,S2，已知Sy轴、x轴于M , N，交直线abS2，贝

28、y P的轨迹方程2双曲线4.5.ed1点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .7. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切8. 设A、A为双曲线的左、右顶点，则 PFF2在边PF2 的直线切于A2 (或A).y2、21 ( a>0,b > 0)的两个顶点为b2(或 PF1)上的旁切圆，必与 AA所在2x9双曲线aA1(a,0) , A(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P时A1P1与交点的轨迹方程

29、是2x2a2y_b21.10若2xF0(x0,y°)在双曲线a2V1 ( a > 0,b > 0) b上，则过P。的双曲线的切线方程是泌ycy2.2ab22x y11.右P)(x0, y0)在双曲线21a bx°xa(a>0,b > 0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、F2，则切点弦PP2的直线方程是12. AB是双曲线1 (a>0,b > 0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点,b2则 kOM kAB 2 a13若F0(xo, yo)在双曲线2X2a2 y b2(a>0,b >0)内，则被 Po所平分的中

30、点弦的方程是22x°xy°yx°y°a2 b2a2 b214若F0(x0, y。)在双曲线2y_b2(a >0,b >0)内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是2 2xy2.2abx°xy°ya2b2丄r115 .若PQ是双曲线x2ay 1 b2 112 2丄丄(2 2 1|OP|,21 OQ |).a b2216 .若双曲线x-2y_.21(b > a22>a(b > a > 0 )上对中心张直角的弦，则0 )上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax By 1 (AB 0),则(1)1b2A2B2；l 2

31、办血2|a2A2 b2B2 | '17.给定双曲线G : b2x2a2b22 2 2 2(a>b>0) , C2: b x a y点 P0(X0,y°)2 ,2 za b (r2ab),a bC2上一定点则(i)对G上任意给定的2 . 2 2 . 2.ababM(U2x0, 2 y0).abab(ii)对C2上任一点P 0(x0, y0)在G上存在唯一的点M，使得M的任一直角弦都经过 P°点.、 x2 y2、一 、18设P)(x0, y0)为双曲线一22 1 (a>0,b >0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且弦P0P1,a bk 2,则直

32、线P1P2通过定点 M(mx), my0) (m 1)的充要条件是,它的任一直角弦必须经过P0P2斜率存在,记为2a2k1,2,19.过双曲线务ab21 (a>0,b >0)上任一点 A(X0,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBc字(常数)a y。x20双曲线笃ab21 (a > 0,b > o)的左右焦点分别为Fi, F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2则双曲线的焦点角形的面积为 S f1pf2b2叫PG2 b2 tan2 ,221 若P为双曲线b2cot). c222x y2 ,2a b1 (a> 0,b

33、 > 0 )右(或左)支上除顶点外的任一点 ,Fi, F 2是焦点，PFi F2,PF2F1，则c atan cot(或c atan 一 co t )22c a2 2c a2 2x22 .双曲线笃1.2(a>0,b >0)的焦半径公式：(F1 (c,0),F2(c,0)abIMF1Ia, | MF21 ex0 a.当m(x°, y。)在石支上时，ex0、【/ n fl /f 、IMF1Ia , | MF21 ex0当m(x°, y。)在左支上时，exDa.x2 v223. 若双曲线 2 1 (a>0,b >0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准

34、线为L,则当a b1 v ew、2 1时，可在双曲线上求一点P,使得PR是P到对应准线距离 d与PF的比例中项.、x2v224. p为双曲线 1 (a > 0,b > 0)上任一点,F 1 ,F 2为二焦点，A为双曲线内一定点，a b则|AF2| 2a I PA I I PF当且仅当A, F2, P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立2 2x y25. 双曲线 21 (a> 0,b > 0) 上存在两点关于直线I : y k(x x0)对称的充要条件a b/2匚22是 x2©dx02 2 2 'a b k26. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的

35、切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直27. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线a secbta n(a> 0, b> 0) 上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e21 tan229.设A,B为双曲线2x2a2 y_ b2k (a>0,b >0, k 0,k1 )上两点，其直线AB与双曲线2x2aBQ.2y21相交于P,Q ,则APb2230.在双曲线一a22771 中,b12定长为2m( m) 0)的弦中点轨迹方程为 m a 一2 . 2cossin2 |?

36、2a b其中tan空,当ya y90o.231设S为双曲线笃a2221 (a>0,b >0)的通径，定长线段 L的两端点bA,B在双曲线上移动，记|AB|= l , M(x0,y0)是AB中点，则当lS时，有(x0)min兰 (c2c 2e22 Ca b , e );aS 时，有(X°)minAL32 .双曲线A2a2 B2b233.双曲线22x y2,2a bC2.(x x。)21 ( a > 0,b > 0)与直线 Ax ByC 0有公共点的充要条件是a2条件是 A2a2 B2b2 (Ax02 2L 乂 1a2 b2在 PFF234设双曲线上任意一点，si

37、nc e.a2x(sin sin )35. 经过双曲线笃a点的切线相交于 P1和P2,2x36. 已知双曲线a12|OQ|OP| a2b2 b2 a2.(y y0 )201 (a> 0,b > 0)与直线Ax By C 0有公共点的充要b22 By。 C).(a>0,b >0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为双曲线中，记 F1PF22y_b2则 | PA | | PA2 | b2.2y_ba2x37. MN是经过双曲线aPFiF2F1F2P1 (a> 0,b >0)的实轴的两端点Ai和A的切线，与双曲线上任1(b> a > 0),0

38、为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ .(2) |OP| 2+|OQ|2的最小值为 2b22 24a % ； (3) S OPQ的最小值是a2 y b2 双曲线中心O且平行于MN的弦，则2 238. MN是经过双曲线冷每a2 b221 (a>0,b >0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过的半弦OP MN，则239.设双曲线牛a2| AB |2a| MN |.1 ( a> b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心 O111222a|MN | |OP |ab2鶴 1 (a>0,b >0) ,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的

39、任一点，b过M引一条直线与双曲线相交于 P、Q两点，则直线 AP、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点N在直线I :2ax 上.m40.设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，贝U MFL NF.41. 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M, AP和AQ交于点N,贝U MFL NF.x242. 设双曲线方程字a轭直线y kx上,而且kk2yb2b2.a1 ,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线l : y kx的共别为43.设A、B、

40、C D为双曲线，直线AB与CD相交于2x44.已知双曲线笃a角平分线为I的外(内) 迹方程是2x45.2y21 (a>0,b >0)上四点,AB、b2P,且P不在双曲线上，则丨PA丨丨PB|PC| |PD|CD所在直线的倾斜角分,222 2b cosa sinT2222b cosa sin2y 1孑1，作R、F2分别垂直I于R、S,当P跑遍整个双曲线时， R、S形成的轨(a>0,b >0),点P为其上一点F1, F2为双曲线的焦点,F1PF22y设厶ABC三顶点分别在双曲线 l分别交直线AC BC于 中占I 八、a2(a3b(x c)(a2 b2)x b2c2 a4c2

41、(x c)y2 (ab3c2y2)2).上，且AB为 的直径，|为AB的共轭直径所在的直线, 又D为l上一点，贝U CD与双曲线相切的充要条件是F,D为EF的246.过双曲线笃a2 y b2(a> 0,b >0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,47.设 A (xi ,y 1)是双曲线则四| MN |2 2x y a2 b2b2x1 砧 子的a y1的距离，片卫分别是A到双曲线两焦点的距离，则Jrr2d ab.(a>0,b >0)上任一点，过 A作一条斜率为直线L,又设d是原点到直线L2 248. 已知双曲线笃爲a b它们相交于

42、 A、B、C D四点，则| AB I =|CD I .x249. 已知双曲线冷a22x1 (a > 0,b > 0)和一2a2y(01 ), 一条直线顺次与2yb2(a>0,b > 0) ,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,O),则x02,2a b亠或x°aa2 b22x50.设P点是双曲线一2ab21 (a >0,b > 0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1) |PF1|PF2|2b2.(2) S pF1F2b2cot .1 cos2B ( m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，

43、A为双曲线实轴x n于M, N两点，则PF1F251.设过双曲线的实轴上一点AQ分别交相应于过B点的直线MN2ab2(n a)2的左顶点，连结AP和MBN 90oa m2 252. L是经过双曲线 笃 -y2a b1 (a > 0,b > 0)焦点F且与实轴垂直的直线,A、B是双曲线实轴的两个焦点，e是离心率，点PL,若 EPF1,则是锐角且e.1 arc sin eab（当且仅当|PH|时取等号）c2X53. L是经过双曲线笃a2双曲线的准线与x轴交点，点1则是锐角且sin -或e2 22y_b2P L,e是离心率，1arc sin(当且仅当e1 (a > 0,b >

44、 0)的实轴顶点 A且与x轴垂直的直线,E、F是EPF , H是L与X轴的交点c是半焦距, | PA |辿时取等号）.c54. L 是双曲线一2 2 1 （a> 0,b > 0）a b与x轴交点，H是L与x轴的交点，点P L , 比口.1、角且sin 2或e焦占八'、八、F且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线55.已知双曲线1 arc sin 飞 e2 2 z y_ 1 a2b2EPF ,离心率为e,半焦距为c,则 为锐 （当且仅当IPF1I bJa2 c2时取等号）.c（a> 0,b > 0）,直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将 A、B

45、与双曲线左焦点（2a2 b2）2F1连结起来，则IF1AI | F1B | （2一-（当且仅当 AB丄xa轴时取等号）2x56 .设A、B是双曲线一-aPABPBA ,22ab |cos |（1）|PA| 厂2.| a c cos |2xa57.设A、B是双曲线域）、外部的两点，且xA、P、Q两点，则 PBA PBA QBA 180°.2 y b2BPAtan1 （a > 0,b > 0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点,ta ne分别是双曲线的半焦距离心率，则有2, 2a b 丄.（3） S PAB722 cotb a1 e2(a>0,b >0)2Xa Xb

46、a ,实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则Xb的横坐标QBA ； （ 2）若过B引直线与双曲线这一支相交于22与y2 1 （a>0,b >0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区a b域）,外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则 P、Q不关于x轴对称），且 PBA QBA，则点A B的横坐标xA、xB满足 a ； （2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且 PBA QBA 180°,B的横坐标满足Xa Xb2设代A是双曲线勺a58.设A、B是双

47、曲线Xa Xb则点A59.与AQ的交点P的轨迹是双曲线2a2Lb22x2a1的实轴的两个端点， QQ是与AA垂直的弦，则直线 AQ60 .过双曲线2 2x y2 u2a b1 （ a > 0,b > 0）的右焦点 F作互相垂直的两条弦AB、CD,则8ab 2 |AB|a b |CD |.61.到双曲线M的轨迹是姊妹圆62.到双曲线2X-2a(X2Xa2y孑ec）22y_b21 (a> 0,b > 0)y2 (eb)2.1 (a> 0,b >0)c a两焦点的距离之比等于 b的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆（x2 263.至U双曲线冷笃a b2 2 2a) y b .1 (a> 0,b > 0)的两准线和x轴的交点的距离之比为焦距）的动点的轨迹是姊妹圆(x a)2(b)2e（e为离心率）.2X64.已知P是双曲线与a(a> 0,b > 0)上一个动点， A, A是它实轴的两个端点.2 2A 14a2''XAQ AP, AQ