线性代数课后答案(高等教育出版社)

1、加 QQ719283511第一章行列式1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201(1)1411 83201解 1411832(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644111(3) a b c a2 b2 c21 1 1 解 a b c a2 b2 c2222222bccaabacbacb4 计算下列各行列式4 1 2 4(1) 1 202105200 1 1 741 2 4cc41 2104110解12 0 22312024310520103214122( 1)c410 31401 1 77c3 001041 10c2c3 99100122c10021031421

2、 c3 17 17 14214 1(2)31 2 1123 2506 22 1 4 1 c c2 1 4 0 r r2140解31 2 14231 2 24231 2 2123 2123 0123 0506 2506 2214 0rr214 04131 2 20123 0000 0(3)abacaebdcddebfcfefabacaeadfbce解bdcddebcebfcfefbce1114abcdefadfbce 111111a100(4)1b1001c1001 da1 0 0r ar0 1 aba 0解1b10121b1001c101c1001 d001 d1 ab a0 c3dc2aba

3、ad(1)(1)2 11c1111ccd01 d010(1)(1)3 21abadabcd ab cdad111cd6. 证明 :a2abb2(1) 2a a b 2b (a b)3;1 1 1证明a2ab b2 c2c1a2 ab a2 b2a22a a b2b2aba2b2a111c3c1100(1)3 1ab a2b2a2(ba)(ba) a ba(a b)3ba2b2a12axby aybz azbxxy z(2) aybz azbxaxby(a3 b3) yzx ;az bx axby aybzzxy证明axby aybz azbxaybz azbx axbyazbx axby ay

4、bzxaybz azbxy aybz azbxa yazbx axbyb z azbx axbyz axby aybzx axby aybzxaybzzyz azbxa2 yazbxxb2 zx axbyz axbyyxy aybzxyzyzxa3 yzxb3 zxyzxyxyzxyzxyza3 yzxb3 yzxzxyzxyxyz(a3b3) yzxzxy8. 计算下列各行列式 (Dk 为 k 阶行列式 )a1(1) Dn, 其中对角线上元素都是a未写出的元素都1a是 0解a000a000aDn000100000(n 1a001)0a0000(1)n 1(1)naxa(2) Dn a x a

5、 a0 10 00 0 (按第 n 行展开 )a 00 a01a0000( 1)2n aa0 (n 1)a (n 1) (n 1)(n 1)anan an 2 an 2(a2 1)a( n 2)( n 2)aa ;x解将第一行乘 (1)分别加到其余各行得xx xaaaaa000Dn axxa0ax000 x a再将各列都加到第一列上得x (n 1)aaaaDn0x a00x (n 1)a(x a)n00x a00000 xa第二章矩阵及其运算1. 计算下列乘积a11a12 a13 x1(5) (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3解a11a12 a13

6、 x1(x1x2 x3) a12 a22 a23 x2a13a23 a33 x3x1(a11x1 a12x2 a13x3a12x1 a22x2 a23x3a13x1 a23x2 a33x3) x2x3a11 x12a22 x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2 x31111232A 及 ATB2.设A 111 B12 4求 3AB111051111123111解 3AB 2A 311112 42 111111051111058111213223 05 62 111217 202901114292111123058ATB 11112405 61110512903. 已知两

7、个线性变换x1 2y1 y3y13z1 z2x22y1 3y2 2y3y22z1 z3x34y1 y2 5y3y3z2 3z3求从 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的线性变换解由已知x20 1y120 1310z11y2z2x22 3 22 3 2201x341 5y241 501 3z3613z112 4 9 z210 1 16 z3x16z1z23z3所以有x212z14z29z3x310z1z2 16z34. 设A1 2B1 0问1 31 2(1)AB BA 吗?解 ABBA因为 AB3 4BA1 2所以 AB BA4 63 8(3)(A B)(A B) A2 B2 吗?解 (A

8、 B)(A B) A2 B2因为 AB2 2A B022 501( AB)( AB)2 20 20 62 50 10 9而A2 B23 81 02 84 113 417故(A B)(A B) A2 B25. 举反列说明下列命题是错误的(1)若A2 0 则A 0解 取 A0 1则 A20但 A 00 0(2)若A2 A 则A0或A E解 取 A1 1则 A2A但A 0且A E0 0(3)若 AX AY且 A 0则 X Y解 取A1 0X11Y1 10 01 10 1则AXAY且A0 但XY10求 Ak7.设A 010 0解 首先观察A21010010010 00A3A233 23A033 200

9、344 36 2A4A3A044 3004A5A455 410 3A055 4005kk k 1k(k 1)k02Akk k 100k用数学归纳法证明当 k 2 时显然成立221022002k 2假设 k 时成立，则 k 1 时，k kk 1k(k 1)k 210Ak 1 Ak A 020kk k 1100k00k 1(k1) k 1 (k 1)k k 102k 1(k 1)k 100k1由数学归纳法原理知kk k 1k(k 1)k 2Ak02kk k100k8. 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵证明因为ATA所以(BTAB)T BT(BTA)T B

10、TATB BTAB从而 BTAB 是对称矩阵11 求下列矩阵的逆矩阵(1) 1 22 5解A1 2|A|1故 A1存在因为2 5A*A11A2152AA2 11222故A11A*52| A|21(3)121342541121故A1存在解A342|A| 20因为541A*A11A21A31420AAA136112223232 142A13A23A33A1 1A*210所以13 31| A|2216 71a1 a02(a1a2an 0)(4)0ana10Aa2解由对角矩阵的性质知0an110a1A1a201an12. 利用逆矩阵解下列线性方程组x12x23x31(1) 2x1 2x2 5x3 23

11、x1 5x2 x3 3解方程组可表示为1 2 3x112 2 5x223 5 1x33x11 2 3111故x22 2 520x33 5 130x11从而有x20x301其中 P141 01119.设 P AP110 2求 A解由P1AP得APP1所以 A11A=P 11P 1.|P| 3P*1 4P 1 1141 13111 0111 0而110 20 2111410142731 2732故A1133110211116836843320. 设AP P1111其中 P10211115求 (A) A8(5E 6A A2)解( )8(5E 62)diag(1 1 58)diag(5 5 5) di

12、ag( 6 6 30) diag(1 1 25) diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P11 P()P*|P|1111 0 02222 1020 0 03031110 0 01211 114 1 111 1121. 设 AkO (k 为正整数 )证明 (EA) 1EAA2Ak 1证明因为 Ak O 所以 E AkE又因为E Ak (E A)(E A A2Ak 1)所以(E A)(E A A2Ak 1)E由定理 2推论知 (E A)可逆且(EA)1EAA2Ak 1证明一方面有 E (E A) 1(E A)另一方面 由 AkO 有E (E

13、 A) (A A2) A2Ak 1 (Ak 1 Ak)(EAA2A k 1)(E A)故(E A) 1(E A) (E A A2Ak 1)(E A)两端同时右乘 (E A) 1就有(E A)1(E A) E A A2Ak 122 设方阵 A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆并求 A 1及(A 2E) 1证明A2由A2A 2E O得A 2E即A(A E) 2E或A 1(A2E)E由定理2推论知 A可逆且A112( AE)由A2 A 2E O得A2A 6E4E 即(A 2E)(A 3E)4E或( A2E) 1(3E A)E4由定理 2 推论知 (A2E)可逆且( A2E)11(3)EA

14、4即故证明由A2 A 2E O得A2|A2 A| 2|A|A E| 2|A| 0A 2E两端同时取行列式得所以A可逆而A 2E A22由AA2EOA(A|A 2E| |A2| |A|2 E) 2E0故A 2E也可逆A 1A(A E)2A1E A1 1(A E)2又由A2A2EO(A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)( A3E)4 E所以(A2E) 1(A2E)(A3E) 4(A 2 E)1( A2E) 11(3EA)4第三章矩阵的初等变换与线性方程组1 把下列矩阵化为行最简形矩阵1 0 2 1(1) 203 1304 31 021解2 031(下一步 r 2 ( 2)r1r 3( 3)

15、r1 )3 0431 021 0 013(下一步 r 2 ( 1)r 3(2)0 0201021 001 30 0 1 01 0 2 1 001 30 0 0 31 0 2 1 001 30 0 0 11 0 2 1 001 00 0 0 1(下一步r 3 r2 )(下一步r 3 3 )(下一步r 2 3r 3 )(下一步r 1 ( 2)r2 r 1 r3 )1000 0010000111 343(3)33 5412232033 42111 343解33 541(下一步 r2 3r1 r 3 2r 1 r4 3r 1 )22 32033 421113430048800366 (下一步 r2(4

16、)r 3( 3) r4 ( 5) )005101011 34 30012 2( 下一步 r13r2r3r2r4r2)0012 20012 211 0230012200000000003. 已知两个线性变换x1 2y1 y3y13z1 z2x22y1 3y2 2y3y22z1 z3x34y1 y2 5y3y3z2 3z3求从 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的线性变换解由已知x20 1y120 1310z11y2z2x22 3 22 3 2201x341 5y241 501 3z3613z112 4 9 z210 1 16 z3x16z1z23z3所以有x212z14z29z3x310z

17、1z2 16z34. 试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵3 2 1(1)3 1 53 2 332110032 11 0 0解31501001 41 1 032300100 21 0 13 203/201/ 23 0 07/2 29/ 2 01 01 12 01 01 1200 21 0100 11/2 01/ 21 0 07/6 2/33/ 201 01120 011/ 201/ 2723故逆矩阵为632112101223201(2)02211232012132011000解02210100123200100121000112320 01 00121 0 00 104951 03 0022

18、1 0 10 01232 0 0100121 0 0010011 1 0340021 0102123200100121000100111 0340001216101200112201 000101001 011360001216101000112401000101001011360001216101124故逆矩阵为01011136216100211235. (2)设 A213B求 X使XA B231334解考虑 ATXTBT因为02 3 12r 1 0 0 2 4(AT, BT) 21 3 23010 1 7134 310 0 11424所以XT (AT) 1BT1 714从而X BA1211

19、4749. 求作一个秩是 4 的方阵 它的两个行向量是(10100)(11000)解用已知向量容易构成一个有4 个非零行的 5 阶下三角矩阵1 00001 10001 01000 00100 0000此矩阵的秩为4其第 2 行和第 3 行是已知向量123k12. 设A1 2k3问 k 为何值 可使k23(1)R(A) 1(2)R(A) 2 (3)R(A)3解 A123kr11k1 2k 3 0 k 1(kk 1k23001)(k 2)(1)当 k1 时 R(A)1(2)当 k2 且 k1 时 R(A)2(3)当 k1 且 k2 时 R(A)3P106/1.已知向量组A a1 (0 1 2 3)

20、T a2 (3 0 1 2)T a3 (2 3 0 1)TB b1 (2 1 1 2)T b2 (0 2 1 1)T b3 (4 4 1 3)T证明 B 组能由 A 组线性表示但 A 组不能由 B 组线性表示03220 4r1 0312410312 40 32204证明 由 (A, B)21011 101615732 121 30 28179r1 03124r1 031240 161570 161570020 5041350 00000知 R(A) R(A B) 3 所以 B 组能由 A 组线性表示由20 4r1 02r1 0212 402 20 1 1B11 101

21、10 0021 30110 00知 R(B) 2因为 R(B)R(B A)所以 A 组不能由 B 组线性表示4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (131)T(210)T(141)T(2) (230)T(140)T(002)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为1 2 1r1 2 1 r1 2 1A3140770 1 11 010 2 20 0 0所以 R(A) 2 小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为|B|21 022 034 000 2所以 R(B) 3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关5 问 a 取什么值时下列向量组线性

22、相关？a1(a1 1)T a2 (1 a1)T a3 (11 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A 由|A|a111)1a1 a(a 1)(a11a知 当 a1、0、 1 时 R(A) 3此时向量组线性相关9.设 b1 a1 a2 b2a2a3 b3 a3a4b4 a4 a1证明向量组 b1 b2 b3b4 线性相关证明由已知条件得a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a1于是a112a3bbb1b2b3a4b1 b2 b3 b4 a1从而b1b2b3b40这说明向量组 b1234 线性相关b bb11.(1) 求下列向量组的秩 , 并求一个最大无关组(1)a1

23、(1 214)Ta2 (9100 104)Ta3( 242 8)T解由1921921 92(a1, a2, a3)2 1004r0820r0 101 10201900 0044803200 00知 R(a1a2a3)2 因为向量 a1 与 a2 的分量不成比例故 a1 a2 线性无关所以 a1 a2 是一个最大无关组12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组25 31 1743(1) 75 94 53 13275 94 54 13425 32 20 48解因为2531 1743r23r125 31 17 43r4r325 31 17 4375 94 53 132r33r10123

24、012375 94 54 134r4r10135r3r2001325 32 204801350000所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组 .1 1 221(2)0 2 1512 0 3131 1 041解因为1 1 221r32r111221r3r21 12210 2 151021510 2 15 12 0 31 3r4r10215 1r3r40 02 221 1 041002220 0000所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组13. 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T 的秩为 2 求 a b解设 a1 (a 3 1)T a2 (2 b 3)

25、T a3 (1 2 1)T a4 (2 3 1)T因为1 2 a 2r1 113 r1 113(a3, a4, a1, a2) 2 3 3 b 0 1 a 1101a 1111130 11 b 60 0 2 a b 5而 R(a1 a2 a3 a4) 2 所以 a 2 b 5 20.求下列齐次线性方程组的基础解系x18x210x32x40(1) 2x1 4x2 5x3 x4 03x1 8x2 6x3 2x4 0解对系数矩阵进行初等行变换有18 102r1 040A 2 451 01 3/4 1/438620 000于是得x14x3x2 (3/ 4)x3(1/ 4)x4取(x3x4)T (4 0)T得 (x1x2)T ( 16 3)T取(x3x4)T (0