山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

1、高二质量调研试题数学一、单项选择题：1.已知na是等比数列，且0na，243546225a aa aa a，那么35aa的值等于（）a. 5b. 10c. 15d. 8【答案】 a 【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质，对已知条件进行变形即可求得. 【详解】243546225a aa aa a根据等比数列的性质，则：222335535225aa aaaa解得355aa，又0na故355aa故选： a. 【点睛】本题考查等比数列下标和性质，也可以用基本量求解. 2.已知0a，10b，那么下列不等式成立的是（）a. 2abaabb. 2ababac. 2abaabd. 2ababa【答案】 d

2、 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合已知条件，对三个数的大小进行比较即可. 【详解】因为0a，10b，故0ab，20,0aba故2,abababa又2210abaa b故2aba综上：2ababa故选： d. 【点睛】本题考查利用不等式性质比较大小，是基础题. 3.已知双曲线22221xyab(0,0)ab的焦距为2 5，且双曲线的一条渐近线与直线20 xy垂直，则双曲线的方程为（）a. 2214xyb. 2214yxc. 2231205xyd. 2231520 xy【答案】 a 【解析】【分析】根据题意，列方程，求得, ,a b c即可 . 【详解】由题可知5c，21ba，由222abc

3、故解得224,1ab故选： a. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题. 4.条件:| 2pxm，条件: 1qxn，若p是q的充分条件，则n的最小值为（）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】 c 【解析】【分析】根据p是q的充分条件，可得集合之间的关系，即可求得参数范围. 【详解】因为:| 2pxm，故可解得2,2xmm又因为p是q的充分条件故：集合2,2mm是集合1,n的子集，故21,2mmn解得23nm故n的最小值为3. 故选： c. 【点睛】本题考查由充分条件，求参数的范围，属基础题. 5.如图，在正方体1111abcda b c d中，e，f分别是上底棱的中点，1ab与平面1

4、1b d ef所成的角的大小是（）a. 30ob. 45oc. 60od. 90o【答案】 b 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法进行求解. 【详解】建立以1d为坐标原点，以11d a、11d c，1d d所在直线分别为, ,x y z轴，设正方体棱长为1，则：1111,0,1 ,1,1,0 ,0,0,0,0,? ,12abde设平面11d b e的法向量为, ,nx y zr则110n d buu uu rr，10n d euuuu rr故：10,02yzxy解得11, 1,2nr又10,1, 1abuuur设直线1ab与平面11b d ef所成的角的大小为故可得12,2sinco

5、s n abuu urr故可得1ab与平面11b d ef所成的角的大小为4故选： b. 【点睛】本题考查线面角的求解，可以用向量法进行处理. 6.若正实数a，b满足1ab，则下列说法正确的是（）a. ab有最小值14b. ab有最小值2c. 22ab有最小值2d. 11ab有最小值 4【答案】 d 【解析】【分析】根据不等式的性质，对每一项进行逐项分析即可. 【详解】对a：由均值不等式可得：21144abab，当且仅当ab时取得最大值，不是最小值，故错误；对 b：2121222ababab，当且仅当12ab时取得，此时ab取得最大值2，不是最小值，故错误；对 c：2222112121242a

6、babababab当且仅当12ab时取得最小值，故错误. 对 d：11112224aba babababbab a，当且仅当12ab取得最小值 .故正确 . 故选： d. 【点睛】本题考查不等式的性质，涉及均值不等式的使用，属综合基础题. 7.我国古代数典籍 九章算术 “ 盈不足 ” 中有一道两鼠穿墙问题：“ 今有垣厚十尺， 两鼠对穿， 初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 上述问题中，两鼠在第几天相逢（）a. 2b. 3c. 4d. 6【答案】 c 【解析】【分析】根据题意，构造等比数列，应用公式求解即可. 【详解】不妨设大老鼠和小老鼠每天穿的长度为数列na和nb数列na是一

7、个首项为1，公比 2等比数列，数列nb是一个首项为1，公比为12的等比数列，故可得第n天总共穿的长度：1112211212nn整理得：1?221nn当3n时，长度小于10 当4n时，长度大于10 故两个老鼠在第4 天相逢 . 故选： c. 【点睛】本题考查数列的实际应用，属基础题. 8.已知定义域为r的奇函数( )yf x的导函数为( )yfx，当0 x时，( )( )0f xfxx，若2211,2( 2) ,lnln3333afbfcf，则,a b c的大小关系正确的是（）a. abcb. bcac. acbd. cab【答案】 b 的【解析】【分析】利用条件构造函数( )( )g xxf

8、x，然后利用导数研究函数( )g x的单调性，利用函数的单调性比较大小【详解】解：根据题意，设( )( )g xxf x，若( )yf x为奇函数，则()()()( )( )gxx fxxf xg x，则函数( )g x为偶函数，当0 x时，( )( )( )( )( )( )( )( )f xg xxf xxfxf xxfxx fxx，又由当0 x时，( )( )0f xfxx，则( )0g x，则函数( )g x在(0,)上为减函数，222( )()333afg，2 ( 2)( 2)bfgg （2） ，111()()()(3)333clnf lng lng lng，且1323ln，则有bc

9、a；故选b【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质以及应用，关键是构造新函数( )( )g xxf x，属于综合题二、多项选择题：9.以下说法正确的有（）a. 实数0 xy是11xy成立的充要条件b. 222abab对,ra b恒成立c. 命题 “rx，使得210 xx” 的否定是 “rx，使得210 xx”d. 若211xy，则+2xy的最小值是8【答案】 b 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合题意，逐项分析即可. 【详解】对a：实数0 xy是11xy成立的充分不必要条件，故错误；对 b：222abab对,ra b恒成立，故正确；对 c：命题 “rx，使得210

10、 xx” 的否定是 “rx，使得210 xx”故错误；对 d：若211xy，且当0,0 xy时，才能满足最小值为8，当不满足两个数均为正数，则最小值为8 不成立，故错误. 故选： b. 【点睛】本题考查不等式的性质，涉及均值不等式，重要不等式，属不等式基础题. 10. 如图，在边长为2 的正方体1111abcda b c d中，e为bc的中点，点p在底面abcd上移动，且满足11b pd e，下列结论正确的是（）a. 1b p的长度的最大值为2 b. 1b p的长度的最小值为6c. 1b p的长度的最大值为2 2d. 1b p的长度的最小值为6 55【答案】 d 【解析】【分析】找出点p的运动

11、轨迹，再根据题意，计算其最大值与最小值即可. 【详解】根据题意，若满足11b pd e，则点p的轨迹为过1b且与直线1d e垂直的一个平面与底面abcd的交线 . 根据题意，取dc中点为m，取1cc中点为n，连接11,ab b n nm ma如下图所示：因为1b n垂直于1d e在平面11bcc b中的投影，故11b nd e同理11d eab故直线1d e平面1ab nm故平面1ab nm与底面abcd的交线am即为p点的运动轨迹在1b amn中，115,2 2,3amabb m由等面积法可知，过1b作底边am的高线，则高线长为6 55即为1b p的最小值；又当p点与m点重合时，取得最大值，

12、最大值为3bm综上所述：16 5,35b p故选： d. 【点睛】本题考查线面垂直问题，涉及轨迹求解，属综合基础题. 11. 已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1f，2f，点m在双曲线的左支上，若212|5|mfmf，则双曲线的离心率不可以是（）a. 3b. 73c. 2d. 53【答案】 a 【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合题中已知条件，利用两边之和大于第三边，找到不等关系，确定离心率的范围即可. 【详解】设12,mfn mfm故可得：2 ,25mnamn解得：104,33ama n因为2mnc，故可得1423ac解得73ca. 故选： a. 【点睛】本题考查

13、双曲线离心率范围的求解，其中寻求不等关系是重中之重. 12. 已知函数， 若方程( )( )f xf xax有 4 个零点，则a的可能的值为 （）a. 14b. 1 c. 12d. 1e【答案】 a 【解析】【分析】求出yinx在区间1,e上的过坐标原点的切线的斜率，只需a小于该斜率，且为正数即可. 【详解】根据函数fx的解析式，可知，函数的图像如下：要使得方程( )( )f xf xax有 4 个零点，只需a小于yinx在区间1,e上的过坐标原点的切线的斜率即可. 1yx，设切点00 x ,y，故可得切线方程为：0001yinxxxx，又其过0,0代入解得0 xe故此时切线的斜率为011xe

14、故10,?ae故选： a. 【点睛】本题考查函数的零点问题，涉及数形结合，利用导数求切点，属函数综合题. 三、填空题：13. 记 sn为等比数列 an的前 n 项和 .若13314as，则 s4=_ 【答案】58.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到4s题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】详解：设等比数列的公比为q，由已知223111314saa qa qqq，即2104qq解得12q，所以441411()(1)521181()2aqsq【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分

15、式计算，部分考生易出现运算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3343431315()428ssasa q，避免繁分式计算14. 正方体1111abcda b c d的棱长为1,若动点p在线段1bd上运动 , 则dc apu uu vuu u v的取值范围是【答案】0,1【解析】【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系则、 点在线段上运动， ，且apabbpdcbpuuu ruuu ruuu ruuu ru uu r,1,， ，故答案为0,1考点：空间向量数量积的运算. 15. 已知函数( )2e (e)lnexf xfx，则函

16、数( )f x 的极大值为_ 【答案】2ln 2【解析】【分析】对函数求导，通过赋值，求得fe，再对函数单调性进行分析，求得极大值. 【详解】21efefxxe，故21efefeee解得1fee，2xfxinxe，21fxxe令0fx，解得2xe函数在0,2e单调递增，在2 , e单调递减，故fx的极大值为222222fein ein故答案为：22in. 【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量fe. 16. 已知f为抛物线2yx 的焦点，点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧，6oa obuu u r u uu r（其中o为坐标原点），则abo与afo面积之和的最小值是_

17、，当abo与afo面积之和最小值时直线ab与x轴交点坐标为 _ .【答案】(1). 3 132(2). (3, 0)【解析】【分析】设出直线方程，利用6oa obuuu r uu u r求出直线ab与x轴交点的横坐标，将面积转化为函数，利用均值不等式求解 . 【详解】设直线ab方程：xtym，1122,a x yb xy联立2yx得：20ytym1212,yyt y ym根据6oa obuuu r uuu r可得：12126x xy y又221212x xy ym，代入上式得：3m或2m，因为a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧故123,3y ym，可得213|yy1211113224aboaf

18、ossyyynn1213382yy1113982yy93 132 13162当且仅当1113982yy，即16 1313y，2132y时取得最小值. 故：面积和的最小值为3 132，交点的坐标为3,0故答案为：3 132，3,0. 【点睛】本题考查抛物线中面积的最小值，涉及均值不等式的使用，属综合中档题；本题中面积的转换是重点 . 四、解答题：17. 设ns为数列na的前 n 项和，已知1a2，对任意*nn，都有nn2sn1 a()求数列na的通项公式；()若数列nn4aa2的前 n 项和为nt，求证：n1t12【答案】 (1)2nan；(2 ）证明见解析. 【解析】【分析】；1）运用数列的递

19、推式，化简整理即可得到所求通项公式； 2； bn44111222211nnaannn nnn，由裂项相消求和即可得到所求和【详解】（ 1）因为21nnsna，当2n时，112nnsna两式相减得：121nnnanana即11nnnana，所以当2n时，11nnaann. 所以121naan，即2nan. （2）因为2nan，42nnnbaa，*nn，所以411122211nbnnn nnn. 所以12112nntbbbl11111123111nnnnnl，因为101n，所以1111n. 又因为11fnn在*n上是单调递减函数，所以111n在*n上是单调递增函数. 所以当1n时，nt取最小值12

20、，所以112nt. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1111n nkknnk； （2）1nkn1nknk； （3）111121 2122121nnnn； （4）11122n nn11112n nnn；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18.在如图所示的几何体中，平面pad平面abcd，；pad为等腰直角三角形，90apdo，四边形abcd为直角梯形，/ /abdc，abad，2abad，/ /pqdc，1pqdc（1）求证：/ /pd平面 qbc

21、 ；（2）求二面角qbca的余弦值 .【答案】（ 1）证明见详解； （2）66【解析】【分析】（1）找到平面qbc 中与直线pd平行的直线，利用线线平行证明线面平行即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，用向量法处理二面角的求解. 【详解】（ 1） 因为/pqcd，pqcd，所以四边形pqcd是平行四边形所以/pdqc因为pd平面 qbc ，qc平面 qbc ，所以/ /pd平面 qbc 即证 . （2）取ad的中点o，连接op，因为papd，所以opad因为平面pad平面abcd，op平面pad，平面pad i平面abcdad，所以op平面abcd以点o为坐标原点，分别以直线od ，op为y

22、轴，z轴建立空间直角坐标系oxyz，如下图所示：则x轴在平面abcd内因为90apdo，2abad1pqcd，所以(0,1,0)a，(2,1, 0)b，(1,1,0)c，(1,0, 1)q，则( 1,1,1)bquu u r，(0,1,1)cquu u r设平面 qbc 的法向量为( ,)nx y zr，由00n bqn cquuu vruuu vr得0,0 xyzyz令1z，解得2x，1y，得(2,1, 1)nr由题意得平面abcd的法向量为(0, 0,1)mu r，所以16cos,66 1n mr u r又因为二面角qbca的平面角为锐角，所以二面角qbca的余弦值是66【点睛】本题考查由

23、线线平行推证线面平行，以及用向量法求解二面角，属综合基础题；注意本题中建系的方式是一种比较好的方式. 19. 已知函数1lnxfxaxx在点11f，处的切线方程是5ybx（1）求实数,a b的值；（2）求函数fx在1,ee上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）. 【答案】（ 1）2a，1b； （2）最大值为2e1，最小值为3ln 2. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b 的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f （x）在1ee，上的最大值和最小值【详解】（ 1）因为x1fxalnxx，22a1xafxxxx，则

24、f11 a，f 12a，函数f x在点1,f 1处的切线方程为：y2a1ax1，由题意得1,315aba，即a2，b1. （2）由（ 1）得x1fx2lnxx，函数fx的定义域为0,，2221x2fxxxx，fx00 x2，fx0 x2，x1fx2lnxx在0,2上单调递减，在2,上单调递增故f x在1,2e上单调递减，在2,e上单调递增，f x在1,ee上的最小值为f 23ln2又1f2e1e，2fe3e，且1ffeef x在1,ee上的最大值为1f2e1e. 综上，f x在1,ee上的最大值为2e1，最小值为3ln2【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思

25、想以及计算能力, 准确计算是关键，是中档题. 20. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100 名技术人员，年人均投入m万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（*xn且45,60 x） ，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，技术人员的年人均投入调整为3()50 xm a万元 .（1）要使这100 x名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数a，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出

26、a的范围，若不存在，说明理由.【答案】（ 1）50人； （2）存在，a的范围为23,55，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式,并求解即可；（2）需满足两个不等关系：技术人员的年人均投入不减少研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入 ,列出不等式求解即可【详解】（1）由题 ,可列方程为：10012100 x mxm,则50 x, 故调整后的技术人员的人数为50 （2）存在 , a范围为23,55由题 ,31001250 xx mxmx a,则100125xax在*xn且45,60 x上恒成立 ,1001001121452525xxxxq,当且仅当10025xx即50 x时取等 ,5

27、a又350 xm amq即3150 xa,设3150 xh x,则h x在*xn且45,60 x上为增函数 ,但60 x时,h x取得最大值为235235a综上 , a的范围为23,55【点睛】本题考查不等关系的应用,考查最值问题 ,分析题意 ,列出（不）等式是解题关键21. 设椭圆2222:10 xymabab的左、 右焦点分别为12ff、，左顶点为a，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为12.（1）求椭圆m 的方程；（2）过点 a 作斜率为k的直线与椭圆m 交于另一点b，连接2bf并延长交椭圆m 于点 c.若1f cab，求 k 的值 .的【答案】（ 1）22143xy； （2）612k【解

28、析】【分析】（1）由题可得1,12ceaca,解得2,1ac,进而求得椭圆方程即可；（2）联立直线ab与椭圆 ,可得点2228612,3434kkbkk,进而得到直线2bf,联立直线2bf与直线1cf可得281, 8ckk,将点c坐标代入椭圆方程中,即可解得k值【详解】（ 1）设椭圆左焦点1,0fc, 依题意 ,1,12ceaca, 解得2,1ac,2223bac, 则椭圆方程为：22143xy；（2）由（ 1）得 ,2,0a, 由题0k，则直线ab 的方程为2yk x, 联立222143yk xxy, 消去 y, 得2222341616120kxk xk, 设(,)bbb xy,221612234bkxk, 即2228612,3434kkbkk, 由（ 1）得 ,121,0 ,1,0ff,22222124348614134bfkkkkkkk,11cfkk, 直线224:114kbfyxk直线11:1cfyxk, 联立2411411kyxkyxk，解得281, 8ckk, 代入22143xy, 得4219220890kk，解得2124k, 即612k的,【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力22. 已知函数( )e21xf xkx，( )2ln(1)(r)g xkxxk（1）求函数( )f x 的单调区间；（2）若不等式( )( )0f