线性空间的概念学习教案

1、会计学1第一页，共47页。第1页/共46页第二页，共47页。教 学 内 容 和 基 本 要 求1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标(zubio)变换的公式；2, 掌握子空间与维数定理，理解(lji)子空间的相关性质；3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵(j zhn)示表示, 了解线性空间同构的含义.重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与 坐标变换.难点: 基变换与坐标变换第2页/共46页第三页，共47页。常见数域： 复数(fsh)域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ；设F是至少包含两个数的数集，如果F中F中的数，则称F为一个数域任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）

2、仍是定义：一,数域的定义(dngy)（注意(zh y)：自然数集N及整数集Z都不是数域） 1.1 线性空间第3页/共46页第四页，共47页。说明(shumng)：1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中，则说数集F对这个运算是封闭的2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集 F为一个数域第4页/共46页第五页，共47页。是一个(y )数域例1证明：数集 ( 2)2 | ,Qaba bQ证： 000 2,110 2,( 2),x yQ又对 2,2,xabycd设 则有 (2)() 2( 2)x yacbdadbcQ0,1(

3、 2)Q, , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ设20,ab于是也不为02ab 第5页/共46页第六页，共47页。或 0,0ab矛盾） （否则，若20,ab则2,ab 2,aQb于是有20.ab2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 222222.22acbdadbcQabab为数域( 2)Q ( ),1Q iabi a bQ i是数域.类似可证Gauss数域第6页/共46页第七页，共47页。二、数域的性质(xngzh)定理任意(rny)数域F都包括有理数域Q证明： 设F为任意一个数域由定义可知，于是有01.FF ， ,111mZmF 即:有理数域为最小数

4、域进而有,mm nZFn 0.mmFnn而任意一个有理数可表成两个(lin )整数的商，.QF第7页/共46页第八页，共47页。定义1 设 是一个非空集合， 为一数域在V上定义运算如下：)对任意两个元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作Vyx ,VFzxyyxz 三,线性空间的定义(dngy)和举例若对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作F Vx V xx 第8页/共46页第九页，共47页。; 0 , 0)3(xxVxV 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在;)1(xyyx ;)2(zyxzyx ; 0 ,)4( yxVyx

5、Vx使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何; 1)5(xx ; )6(xx . )8(yxyx ; )7(xxx 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的线性空间记为:FV)(FVFVzyx ,;,设设八条运算(yn sun)规律:第9页/共46页第十页，共47页。 （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例1 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一个个线线性性空空间间nmR 一般(ybn)线性空间的判定方法第10页/共4

6、6页第十一页，共47页。121210 nnnnniF xaxaxa xa aF 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法(chngf)两种运算满足线性运算规律例2 数域F上次数(csh)小于n的多项式的全体，记作：例3,:,1001FaaaaxaxaxQxQnFnnnn 即即记作记作次的多项式的全体次的多项式的全体上上数域数域 不是(b shi)线性空间可以验证： 构成数域F上的线性空间 F x第11页/共46页第十二页，共47页。例4 正弦函数的集合 .,sinRBABxAsxS 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间 221121sinsinBxABxAss xbxaxbxasincos

7、sincos2211 xbbxaasincos2121 BxA sin.xS 11111sinsinBxABxAs xS 是一个线性空间. xS第12页/共46页第十三页，共47页。例5. 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法及乘数运算为 R ., RbaRaaabba 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间 R(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律第13页/共46页第十四页，共47页。下面(xi mian)一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对任何对任何中存

8、在零元素中存在零元素, 1)3( RaR;11aaa 使使有负元素有负元素,)4(1 RaRa; 111 aaaa证明:;, RabbaRba., RaaRaR 所以对定义的加法(jif)与乘数运算封闭第14页/共46页第十五页，共47页。;1)5(1aaa ;)6(aaaaa (7) ;aaa aaaaa baababba )()()8(所以 对所定义的运算构成线性空间 R. baba 第15页/共46页第十六页，共47页。 0 , 0),(1 nTxx 不构成(guchng)线性空间对于通常的有序数组的加法(jif)及如下定义的乘法例6. 个有序实数(shsh)组成的数组的全体n Rxxx

9、xSnnTnxxx,2121),(.对运算封闭对运算封闭nS,1Ox 但但.不不满满足足第第五五条条运运算算规规律律., 线性空间线性空间不是不是所以所以线性运算线性运算由于所定义的运算不是由于所定义的运算不是nS解答:第16页/共46页第十七页，共47页。1零元素(yun s)是唯一的证明(zhngmng):假设 是线性空间V中的两个零元素，210 ,0.0,021 由于,0 ,021V 所以.000 ,000121212 则对任何 ，V 有.000000212211 二,线性空间(kngjin)的性质第17页/共46页第十八页，共47页。2负元素(yun s)是唯一的证明(zhngmng)

10、假设 有两个负元素 与 ， 那么. 0, 0 则有0 0. 向量 的负元素记为 . 第18页/共46页第十九页，共47页。 . 00;1; 00. 3 证明(zhngmng) ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 第19页/共46页第二十页，共47页。4如果(rgu) ，则 或 . 0 0 0 证明(zhngmng)假设,0 那么 011 . 0 .11 又. 0 同理可证：若 则有0 . 0 第20页/共46页第二十一页，共47页。证：设,0V且且121212,有k kPkkkkV1212()0kkkk又又12.kk而数域F中有无限(wxin)多个不同的数，所

11、以V中有无限(wxin)多个不同(b tn)的向量.注：只含一个(y )向量零向量的线性空间称为零空间.练习：证明：数域F 上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量第21页/共46页第二十二页，共47页。 定义: 设 为数域 上的一个 维线性空间， 为 的一个子集，如果 对于 的两种运 算(加法与数乘运算)也构成数域 上的线性 空间,那么我们称 为 的一个子空间。FVnVVWFWV四. 线性子空间(kngjin)定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是： 对于 中的线性运算封闭VWVWW第22页/共46页第二十三页，共47页。例7. 对于任意一个有限维线性空间 ,

12、 它必有两个平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间 本身。V 0V例8 .设 ,那么线性方程组 的全部解为线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。nmRA OAX nR 当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。OAX 第23页/共46页第二十四页，共47页。解(1)不构成子空间.因为(yn wi)对1000001WBA ?32为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 RcbacbacbaW例9有,0000021WBA 第

13、24页/共46页第二十五页，共47页。即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W,000000)2(2W 因因.2非空非空即即W对任意(rny)2222111000,000WcbaBcbaA 于是(ysh)有, 0111 cba, 0222 cba 212121000ccbbaaBA第25页/共46页第二十六页，共47页。满足(mnz) , 0212121 ccbbaa, 2WBA 即即有有对对任任意意Rk 111000kckbkakA且, 0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空间的子空间是是故故 RW第26页/共46页第二十七页，共47页。 设 是线性空间 中的向量(xingli

14、ng)，则由 的所有线性组合： 构成的集合是 的子空间，称为由张成（生成）的子空间，记为：1|,1,2miiiik x kK immxxx,21mxxx,21mxxx,21)(FV)(FV),(21mxxxL或：,21mxxxspan零向量集合与 本身称为平凡子空间(kngjin)， 非平凡子空间(kngjin)称为 的真子空间(kngjin)VV张成子空间(kngjin)的定义:第27页/共46页第二十八页，共47页。?, 为什么为什么上的一个线性空间上的一个线性空间是否构成是否构成数量乘法数量乘法对于通常的向量加法和对于通常的向量加法和的所有解向量的所有解向量元非齐次线性方程组元非齐次线性

15、方程组上的上的实数域实数域RBAXnR 第28页/共46页第二十九页，共47页。. 上上的的一一个个线线性性空空间间不不能能构构成成RBAXBAXBAXnXX 2121 , , 则则的解向量的解向量元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组都是都是设设事实上事实上BBBBAXAXXXA 2 )( 2121但但. , 21不封闭不封闭法运算法运算所有解向量的集合对加所有解向量的集合对加也就是说也就是说的解向量的解向量不是不是即即BAXXX . 空空间间因因此此不不能能构构成成一一个个线线性性第29页/共46页第三十页，共47页。FVzyx ,;,设设; 0 , 0)3(xxVxV 都有都有对任何对任何

16、中存在零元素中存在零元素在在;)1(xyyx ;)2(zyxzyx 八条运算(yn sun)规律:; 0 ,)4( yxVyxVx使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何; 1)5(xx ; )6(xx . )8(yxyx ; )7(xxx 第30页/共46页第三十一页，共47页。 （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例1 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一个个线线性性空空间间nmR 一般线性空间的判定(pndng)方法第31页/共46页

17、第三十二页，共47页。., :,012211构成向量空间构成向量空间多项式的乘法多项式的乘法数乘数乘对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法即即记作记作的多项式的全体的多项式的全体上次数小于上次数小于数域数域 FaaxaxaxaxFxFnFinnnnnn 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算(yn sun)规律例2例3,:,1001FaaaaxaxaxQxQnFnnnn 即即记作记作次的多项式的全体次的多项式的全体上上数域数域 不是(b shi)线性空间第32页/共46页第三十三页，共47页。例5. 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法及乘数运算为 R ., RbaRaaab

18、ba 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间 R(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律第33页/共46页第三十四页，共47页。下面一一验证(ynzhng)八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对任何对任何中存在零元素中存在零元素, 1)3( RaR;11aaa 使使有负元素有负元素,)4(1 RaRa; 111 aaaa证明:;, RabbaRba., RaaRaR 所以对定义(dngy)的加法与乘数运算封闭第34页/共46页第三十五页，共47页。;1)5(1aaa ;

19、)6(aaaaa (7) ;aaa aaaaa baababba )()()8(所以 对所定义的运算构成线性空间 R. baba 第35页/共46页第三十六页，共47页。 0 , 0),(1 nTxx 不构成(guchng)线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义(dngy)的乘法例6. 个有序实数组成(z chn)的数组的全体n RxxxxSnnTnxxx,2121),(.对运算封闭对运算封闭nS,1Ox 但但.不不满满足足第第五五条条运运算算规规律律., 线性空间线性空间不是不是所以所以线性运算线性运算由于所定义的运算不是由于所定义的运算不是nS解答:第36页/共46页第三十七页，共47

20、页。例7. 设 是一个域，令：F 1 , ),( )(21niFaaaaFVinn 构成线性空间对于通常的有序数组的加法及乘法)(FVn 特别的，对于含有 个元素的有限域 ，由 构成的线性空间 记为：qqF)(FVn)(qnFV),(qnV第37页/共46页第三十八页，共47页。1零元素(yun s)是唯一的四,线性空间(kngjin)的性质2负元素(yun s)是唯一的 . 00;1; 00. 3 4如果 ，则 或 . 0 0 0 第38页/共46页第三十九页，共47页。 定义: 设 为数域 上的一个 维线性空间， 为 的一个子集，如果 对于 的两种运 算(加法与数乘运算)也构成数域 上的线

21、性 空间,那么我们称 为 的一个子空间。FVnVVWFWV五. 线性子空间(kngjin)定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是： 对于 中的线性运算封闭VWVWW第39页/共46页第四十页，共47页。例7. 对于任意一个有限维线性空间 , 它必有两个平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间 本身。V 0V例8 .设 ,那么线性方程组 的全部解为线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。nmRA OAX nR 当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。OAX 第40页/共46页第四十一页，共47页。解(1)不构成子空间.因为(yn wi)对1000001WBA ?32为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 RcbacbacbaW例9有,0000021WBA 第41页/共46页第四十二页，共47页。即 对矩阵加法不封闭，不