重庆市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题

1、- 1 - 2019 年重庆一中高2020 级高三上期半期考试数学（文科）测试试题卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上. 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 第卷（选择题，共60 分）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1. 已知集合2|20axxxz，则zc a（）a. 0b. 1c. 0,1d. -1,0,1,2【答案】 c 【分析】利用一元二次不等式解出集合a，利用补集的运算即可求出zca。【详解】由集合2|20axx

2、xz，解得：|21axxxz或z0,1c a，故答案选c。【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。2. 若复数 z 满足112zii，则 z 在复平面内对应的点位于（）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】 a 【分析】- 2 - 将z分离出来得到121izi，然后分子分母同乘以1i ，化简即可得到答案. 【详解】112ziiq12133111222iiiziii，则复平面内对应的点3 1,2 2位于第一象限 . 故选 :a. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题. 3. 等比数列na中，5a、7a是函数243fxx

3、x的两个零点，则39aa等于()a. 3b. 3 c. 4d. 4 【答案】 b 分析：利用根与系数的关系求得573aa，再由等比数列的性质得答案. 详解：q57,a a是函数243fxxx的两个零点，57,aa是方程243xx0 的两个根，573aa，由等比数列的性质可得393aa. 故选： b. 点睛：本题考查等比数列的性质，是基础的计算题. 4. 已知向量2,1ar，2,sin1br，2,coscr，若abcrrrp，则tan的值为（）a. 2 b. 12c. 12d. -2 【答案】 d 【分析】由abcrrrp表示出sin与cos基本关系，化简求解即可【详解】4,sinabrr，4c

4、os2sintan2abcrrrp- 3 - 答案选 d 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：1221x yx y或1122xyxy5. “26m”是“方程22126xymm表示的曲线为双曲线”的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 c 【分析】分别判断充分性和必要性，26m得到表示焦点在x轴上的双曲线；表示双曲线，则(2)(6)0mm，计算判断得到答案. 【详解】若26m，则20,60mm，22126xymm表示焦点在x轴上的双曲线，充分性；若22126xymm表示双曲线，则(2)(6

5、)026mmm，必要性 . 故选：c【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力. 6. 过点(12)a ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）a. 10 xyb. 30 xyc. 20 xy或+30 x yd. 20 xy或10 xy【答案】 d 【分析】设直线方程为(1)2yk x，计算截距得到2210kk，计算得到答案. - 4 - 【详解】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为(1)2yk x，则截距和为：2210kk解得1k或2k故直线方程为：1yx和2yx故选：d【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 7. 已知2145fxxx，则1fx（）a

6、. 287xxb. 26xxc. 223xxd. 2610 xx【答案】 a 【分析】由已知中f（x1）=x2+4x5，我们利用凑配法可以求出f（x）的解 +析式，进而再由代入法可以求出f （x+1）的解 +析式。【详解】解：22(1)45(1)6 (1)fxxxxx，2()6f xxx22(1)(1)6 (1)87f xxxxx，故选 a 【考点】用凑配方和代入法求函数的解+析式。【点睛】把2(1)45f xxx用2(1) ,(1)xx表示出来，是解决本题的关键。8. 定义域为r的奇函数( )yf x的图象关于直线2x对称，且(1)2018f，(2)2019f，则(2018)(2019)ff

7、（）a. 4035b. 4036c. 4037d. 4038【答案】 c 【分析】根据对称性和奇函数得到函数是周期为8 的周期函数，得到(2018)(2019)(2)(1)ffff，计算得到答案. - 5 - 【详解】( )yf x的图象关于直线2x对称，则(2)(2)fxfx即()(4)fxfx( )yfx为奇函数，则( )()f xfx则( )(4)f xfx得到(4)(8)f xfx所以( )(8)f xfx，函数周期为8 (2018)(2019)(2)(3)(2)(1)4037ffffff故选：c【点睛】本题考查了函数值的计算，通过运算得到函数的周期是解题的关键. 9. 如图，正三棱柱

8、111abca b c中，12aaab，d是1bb的中点，则ad与平面11aac c所成角的正弦值等于（）a. 22b. 32c. 64d. 104【答案】 c 【分析】记pq、分别为直线11acac、的中点，取pq中点e，连结ae，de，只需证de平面11acc a，即可得dae是ad与平面11aac c所成的角，进而可求出结果. 【详解】记pq、分别为直线11aca c、的中点，取pq中点e，连结ae，de，所以在正三棱柱111abca b c中，1b q平面11aac c；又d是1bb的中点，所以1deb qp, 所以de平面11acc a，故dae即是ad与平面11aac c所成的角；

9、设124aaab，则22ad222 2，221de213b q，所以de6sindaead4. - 6 - 故选 c. 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型 . 10. 已知正实数, x y满足3xyxy，若对任意满足条件的, x y，都有2()()60 xya xy恒成立，则实数a的最大值为 ( ) a. 2 6b. 7 c. 4 6d. 8 【答案】 b 【分析】由3xyxy，利用22xyxy，求得6xy，2()()60 xya xy恒成立，等价于()6()axyxy恒成立，令6mxy，利用单调性求出6()g mmm的最小值，进而可得结果

10、. 【详解】3xyxyq，且22xyxy，故232xyxyxy，整理即(6)(2)0 xyxy，又,x yq均为正实数，故6xy，又q对于任意满足3xyxy的正实数, x y，均有2()()60 xya xy恒成立，整理可得()6()axyxy恒成立，令6mxy，- 7 - 令6()g mmm，6m时2()160gmm所以6()g mmm在6,上递增，()(6)7g mg，因此(6)7ag，实数a的最大值为7，故选 b. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数afx恒成立 (maxafx即可 )或afx恒成立（

11、minafx即可） ；数形结合 (yfx图象在yg x上方即可) ；讨论最值min0fx或max0fx恒成立 . 11. 已知abc的三个内角,a b c所对的边分别为, ,a b c，abc的外接圆的面积为3，且222coscoscosabc1 sinsinac，则abc的最大边长为（）a. 2b. 3c. 3d. 2 3【答案】 b 【分析】化简得到222sinsinsinsinsin0abcac，根据正弦定理得到2220acbac，根据余弦定理得到120b，再计算得到答案. 【详解】abc的外接圆的面积为233rr222coscoscos1sinsinabcac则2221sin1sin1

12、 sin1sinsinabcac222sinsinsinsinsin0abcac，根据正弦定理：2220acbac根据余弦定理：22212coscos1202acbacbacbb故b为最长边：2sin3brb故选：b【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力 . - 8 - 12. 设函数2( )sinfxx在(0,)上最小的零点为0 x，曲线( )yf x在点0(,0)x处的切线上有一点p，曲线23ln2yxx上有一点q，则|pq的最小值为（）a. 105b. 55c. 3 1010d. 3 510【答案】 d 【分析】由导数的几何意义可得：曲线(

13、 )yf x在点(1,0)处的切线l的方程为2(1)yx，由导数的应用可得：当q的坐标为3(1, )2时，点q到切线l的距离为|pq的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解 : 令2sin0 x，(0)x。则xk，即xk，(*)kn，则x的最小值为1，即0 x=1，又( )2cosfxx，所以(1)2f，又(1)0f，所以曲线( )yf x在点(1,0)处的切线l的方程为2(1)yx，由23ln2yxx，则13yxx，令132xx，解得1x，此时32y，即当q的坐标为3(1, )2时，点q到直线l的距离为|pq的最小值，由点到直线的距离公式可得：min|pq=223223 52

14、1012，故选 d. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题 . 第卷（非选择题，共90 分）二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13. cos27 cos18sin 27 sin18_. 【答案】22- 9 - 【分析】直接利用和差公式的逆运算得到答案. 【详解】2cos27 cos18sin 27 sin18cos452故答案为：22【点睛】本题考查了是三角恒等变换，属于简单题. 14. 已知21nanan. 若数列na是递增数列，则实数a的取值范围是_. 【答案】2a【分析】数列na是递增数列，则na是单调递增的一次函数

15、型的数列，建立不等式关系进行求解即可。【详解】12,(2)nnaanananaq，20a，解得2a。故答案为：2a。【点睛】本题主要考查数列单调的性质的应用，根据数列单调性建立不等式关系是解决本题的关键。15. 在直三棱柱111abca b c中，90bac且3ab,14bb，设其外接球的球心为o，且球o的表面积为28，则abc的面积为 _. 【答案】3 32【分析】先计算球的半径为7，确定球心为hg的中点，根据边角关系得到3ac，计算面积得到答案 . 【详解】球o的表面积为24287rr- 10 - 如图所示：,h g为11,bc b c中点，连接hg90bac，故三角形的外心在bc中点上，

16、故外接球的球心为hg的中点 . 在rt ogc中：112,72ogbbocr，故3cg；在rt abc中：22 3bccg，3ab，故3ac，故3 32abcs故答案为：3 32【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键. 16. 已知双曲线c：22221(0,0)xyabab的右焦点为f，左顶点为a，以f为圆心，fa为半径的圆交c的右支于m，n两点，且线段am的垂直平分线经过点n，则c的离心率为_. 【答案】43【分析】先 证 明amn是 正 三 角 形 ， 在mff中 ， 由 余 弦 定 理 、 结 合 双 曲 线 的 定 义 可 得2222|2| cos120(|2

17、 )fffmfffmf mfma， 化为22340caca，- 11 - 从而可得结果. 【详解】由题意，得(,0),0aaf c，另一个焦点,0fc，由对称性知，aman，又因为线段am的垂直平分线经过点n， ，则anmn，可得amn是正三角形，如图所示，连接mf，则afmfac，由图象的对称性可知，1302mafnafman，又因为amf是等腰三角形，则120afm，在mff中，由余弦定理：2222|2| cos120(| 2 )fffmfffmf mfma，上式可化为22214()22 ()(3)2cacc acac，整理得：22340caca，即34=0caca，由于0,0ac，则43

18、40,3caca，故43cea，故答案为43. 【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 求离心率问题应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式， 从而求出 e的值 . 本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e的- 12 - 等式，最后解出e的值 . 三、解答题 ( 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为

19、必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答.) 17. 已知函数22( )3cos3sin2sincosf xxxxx. （1）求( )f x 的对称轴；（2）当0,时，若()1f，求的值 . 【答案】（1）122kx； （2）4或1112【分析】（1）化简得到2n 2)3(sif xx，计算232xk得到答案 . （2）根据()1f得到1sin 232，根据范围得到5236或13236计算得到答案 . 【详解】（1）22( )3cos3 sin2sincos3 cos2sin 22sin23f xxxxxxxx( )f x 的对称轴满足：2)32122k

20、xkxkz（2）12sin2sin233( )21f0,故42,333所以5236或13236解得：4或1112【点睛】本题考查了三角函数的对称轴和根据函数值求角度，意在考查学生的计算能力. 18. 已知数列na中，11a，*121nnaann（1）求na的通项公式；- 13 - （2）设21log1nnnbaa，求nb的前n项和；【答案】（1）21nna， （2）11 22nn【分析】（1）根据递推公式构造等比数列求通项公式；（2）利用错位相减法对数列求和. 【详解】（1）因为*121nnaann，所以112(1)nnaa，则数列1na是首项为2公比为 2 的等比数列，则：12nna即21n

21、na；（2）21log12nnnnbaan，记nb的前n项和为ns，则：1231 22 23 2.2nnsn，则234121 22 23 2.2nnsn，两式相减：1231112(12 )1 222.2222(1) 212nnnnnnsnnn. 则nb的前n项和为：12(1) 2nn. 【点睛】（1）形如11,0nnapaq pq的递推公式，可采用构造等比数列的方法求解数列通项公式；（2）错位相减法一般适用于：等差乘以等比形式的数列求和. 19. 如图，在三棱柱111abca b c中，p、q分别是1aa、11ac的中点 . （1）设棱1bb的中点为d，证明：1/c d平面1pqb；（2）若2

22、ab，114acaaac，1160aa bo，且平面11aac c平面11aa b b，求三棱柱111abca b c的高 . - 14 - 【答案】（1）证明见解 +析； （2）4 155. 【分析】（ 1）连接ad，证明出平面1/ac d平面1pqb，然后利用平面与平面平行的性质可得出1/c d平面1pqb；（2） 将三棱柱111abca b c的高转化成三棱锥1cabc的高来计算， 过点b作1bma a交1a a于点m，可得出bm平面11aac c，计算出bm的长度，然后利用等体积法由11cabcbaccvv计算出三棱锥1cabc的高 . 【详解】（1）连接ad，在三棱柱111abca

23、b c中，11/aabb，dq是1bb的中点，p是1aa的中点，1/ap db，四边形1adb p是平行四边形，1/adpb，adq平面1pqb，1pb平面1pqb，/ad平面1pqb. pq、q分别是1aa、11ac的中点，1/acpq，又1acq平面1pqb，pq平面1pqb，1/ac平面1pqb，1adacaqi，ad、1ac平面1ac d，平面1/ac d平面1pqb. 1c dq平面1ac d，1/c d平面1pqb；（2）三棱柱的高转化成三棱锥1cabc的高，设为h，过点b作1bma a交1a a于点m，- 15 - 因为平面11aac c平面11aa b b，平面11aac c

24、i平面111aa b ba a，又因为1bma a，bm平面11aa b b，所以bm平面1acc，在abm中，1160bamaa bo，sin3bmabbam. 又因为1215152abcs，11344422accs. 所以11cabcbaccvv，所以1134 333abchs，解得4 155h. 因此，三棱柱111abca b c的高为4 155. 【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了三棱柱高的计算，一般转化为三棱锥的高，利用等体积法来进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20. 已知点1,0f和直线1 : =-1lx， 直线2l过直线1l上的动点m且与直线1l垂

25、直，线段mf的垂直平分线l与直线2l相交于点p（i ）求点p的轨迹c的方程；（ii ）设直线pf与轨迹c相交于另一点q，与直线1l相交于点n，求np nquuu v uu u v的最小值【答案】（i ）24yx； （ii ）16【分析】（i ）根据垂直平分线性质可知pfpm，由抛物线定义可得到所求轨迹方程；（ii ）由题意可知，直线pf斜率存在，且斜率不为零，设:1pfyk x，0k，与抛物线方程联- 16 - 立得到韦达定理的形式，利用坐标运算表示出np nquuu v uuu v，代入韦达定理，结合基本不等式求得最小值 . 【详解】（i ）连接pflq为线段mf的垂直平分线pfpm即点p到

26、定点1,0f的距离等于点p到定直线1 : =-1lx的距离由抛物线的定义可知，点p的轨迹为：24yx（ii ）由题意可知，直线pf斜率存在，且斜率不为零设11,p x y，22,q xy，直线:1pfyk x，0k将直线pf方程代入抛物线方程可得：2222240k xkxk则224224416160kkk212212241kxxkx x又1, 2nk111,npxkxkuuu v，221,nqxkxkuuu v2212121212111111np nqxxkxxkx xxxu uu v uuu v2422222222244844412482 4816kkkkkkkkkk当且仅当2244kk，即

27、1k时取等号- 17 - min16np nqu uu v u uu v【点睛】本题考查轨迹方程的求解、抛物线中的最值问题的求解，本题中轨迹求解的关键是能够根据动点满足的条件确认满足抛物线定义，从而得到抛物线方程；解决最值问题的关键是能够利用韦达定理表示出所求量，通过基本不等式求得结果. 21. 已知函数2e2rrxfxmxm xm，（1）讨论函数fx的单调性；（2）若1m，不等式lnln2fxxbx对一切0 x恒成立，求实数b的取值范围【答案】（1）答案见解 +析（ 2）2e4b【分析】(1) 首先求得导函数的解+析式，然后结合导函数的解+析式分类讨论即可确定函数的单调区间；(2) 原问题等

28、价于2e21lnln 2xxxbx在0，上恒成立， 据此设出导函数的零点，结合导函数的性质讨论函数的最值，得到关于b的不等式即可确定其取值范围. 【详解】（1）fx的定义域是r，22e2xfxm0m时，0fx，fx在r上单调递增：0m时，22e20 xfxm，解得1ln2xm，当1ln2xm时，0fx，则fx在1ln2m，上递减；当1ln2xm时，0fx，则fx在1ln2m，上递增（2）当1m时，2e21xf xx，依题意知不等式lnln2fxxbx，即2e21lnln 2xxxbx在0，上恒成立，即2eln2ln2exxbx在0，上恒成立，- 18 - 设2eln2xg xxbx，212e2

29、xgxbx，令020012e20 xgxbx，020012e20 xbxx，易知g x在00 x，上递减，在0 x，上递增，则002200000mineln212eln1ln2exxg xg xxbxxx，即020021 eln20 xxx，设020tx，则1 eln0th ttt，1e0thttt，则h t递增，又10h，故0021tx，0102x，020122e2e2xbx，解得2e4b【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究不等式恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 选考题：共10 分. 请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. 在直角坐标系xoy中，已知曲线1c的参数方程为43 ,xtyt（t为参数），曲线2c的参数方程为7 cos ,7sin2xy（为参数） . 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1c，2c