概率论与数理统计

1、?概率论与数理统计?1教材第169页4.09 (4) 题求满足以下概率等式的相应分布分位数值或，值或 1, ，2值：2 2P1 =P < -2 =0.005 ( i v -2)(n=8)解：题中所给的概率值 0.005为丄，因此概率:=0.01，查附表四，在表中第一行找到2概率值 p=1- ' =1- 0.01 =0.995,再在表中第一列找到自由度m=n-1=8-1=7,其纵横交叉2 2处的数值即为对应的 2分布分位数 1 =0.989;继续在表中第一行找到概率值ap= =0.005，再在表中第一列找到自由度m=n-1=8-1=7，其纵横交叉处的数值即为对应2二 E(X_,)

2、E(X2) E(Xy (期望运算性质)2分布分位数-2=20.2782. 教材第169页4.11题？<1>：2-<3 工4 工5是总体工的一个样本， 工为样本均值，判断以下统计量是否为总体数学期望0 的无偏估计量：12 3 1(1 )工1 + 工3 -工 5( 2) 2 工 2 -工 4( 3)1+( 4)+53322解：假设样本的数学期望=总体数学期望，那么它是无偏估计量由定理4.3知 上X =；：(工)(1) E(X1 X3-X5) =E(XJ-E(X5) E(X3)i (期望运算性质)二E(X)(个体的期望等于总体的 期望)(2 )(2=2 -工4) =2E(X2)-；

3、：上 4 =E(X)12 12(3) E( X1) = E(X1) +(H) = E(X)33333 131(4) :. (5)=(工)+ 丄 E(X5)=2E(X)2 2 2 2可知(1) (2)和(3)是总体数学期望 E(X)的无偏估计3. 教材第170页4.15题每桶粉奶粉净重 Xg服从正态分布N(=52),从一批桶装奶粉中随便抽取15桶，经过测量得到他们的平均净重为 446g,试以0.95的置信度，求每桶奶粉平均净重 的置信区间。 解：这是正态总体方差求数学期望置信区间的问题，利用U变量求解。所给正态总体标准差0=5,样本容量n=15，样本平均值x=446由所给置信度1-=0.95查表

4、4-2得到对应的标准正态分布双侧分位数 =1.96，计算分式=1-96 5= 9.8 =空=2.53.n J5. 15 3.873从而得到置信下限X-二0 =446-2.53=443.47Jn置信上限x + 二一0 =446+2.53=448.53Jn所以每桶奶粉平均净重的置信区间是443.47,448.534. 教材第170页4.20题每株梨树的产量 Xkg服从正态分布 N二，从一片梨树林中随机抽取 6株，测 算其产量分布为221，191,202 ，205, 256，245试以0.95的置信度，求：1每株梨树平均产量J的置信区间；2每株梨树产量方差 c2的置信区间。解：1这是未知正态总体方差

5、求数学期望置信区间的问题，利用T变量求解，所给样本容_ 1量 n=6，计算样本均值x=221+191+202+205+256+245=2206计算样本方差 $2 =丄221-2202 + 191-2202+ 202-2202+ 205-2202 +6-1256-220 2+ 245-2202=25.7 2由所给置信度1-=0.95即检验水平:=0.05，查教材附表三，在表中第一行找到概率值P=0.05再在表中第一列找到自由度m=n-1=6-1=5,其纵横交叉处的数值为对应的t分布双侧分位数 =2.571，计算分式ks =2.571 汇 25.7.6 . 6=26.97那么得到置信下限置信上限x

6、+ s =220+26.97=246.97Jn2这是未知正态 总体数学期望求方差置信区间的问题，利用2变量求解，所给样2 2本容量n=6,本方差s =25.7，由所给置信度1-=0.95即检验水平:-=0.05，查教材附表四，在表中第一行找到概率值P=1-I =0.975，再在表中第一列找到自由度2m=n-1=6-1=5,其纵横交叉处的数值为对应的2分布分位数=0.831 ;继续在表中第m=n-1=6-1=5，其纵横交叉处的ot行找到概率值 p=0.025,再在表中第一列找到自由度2数值即为对应2分布分位数2 =12.833那么得到置信下限(n- 1)s25 25.7212.833=258.1

7、置信上限2 2(n 1)s =5 汉 25.7=3985.60.8315. 教材第207页5.06题某地区小麦单位产量Xkg服从正态正态分布N(.L,；2)，往年平均单位产量为150kg,今年使用某种肥料进行小型试验，在麦收季节，随机抽取9个地块，测其单位产量分别为170，140，160， 150， 145 ， 155 ， 165 ， 145 ， 165试在检验水平:=0.0 1下，检验这种肥料使得小麦的平均单位产量J显著增加是否成立解：提出原假设 H0:均值亠150 ； H1:150由于未知方差选择T检验，n=9,检验水平：=0.01 ,当原假设成立条件下，构造T变量T =X-J0.n =X

8、S1509t(n-1)SS由显著性水平：=0.01,查对应的T分布表双侧分位数，满足概率P|T|，_=2= 0.02 求出 拒绝域临界值-由 P|T| _= 0.02,求出拒绝域 |T|，_= 2.896 ；计算统计量观测值，假设落入拒绝域，那么拒绝H0,否那么接受H0_1 _n1 J1 _样本均值 x Xi =155样本方差s2(Xi -X)2 = 112.5n yn 1 im所以样本标准差s =10.61T统计量观测值 出=|155一15°9 戶1.413： 2.89610.61接受H0 .说明这种肥料没有使小麦产量显著提高6. 教材第207页5.07题某市7月份气温XC服从正态

9、正态分布N(二二),从7月上旬随机抽取 8天，经过观测得到它们的平均气温为29.5 C ,气温标准差为0.9 C,试在检验水平:-=0.10下，检验该市7月份的平均气温 显著低于30C是否成立。解：原假设H0 _ 30;备择假设H1< 10.在原假设成立的条件下，样本均值 29.5,样本方差c=0.9,样本个数n = 8,选择统计量TX -30S<8 t(n -1)由：=0.10,查对应的T分布表双侧分位数，|t|_= 1.415样本均值 乂 =29.5,样本标准差s =0.9统计量观测值-1.583, 它落入该市7月份平均气温显著低于30度成立满足概率P|T| _= 2 :.=

10、0.20，得到拒绝域29.5 - 300.92.828-1.583拒绝域，所以不接受原假设7. 教材第207页5.08题某自动车床加工零件的长度偏差X(毫米)服从正态分布N(4 3),从某日加工的一批零件中随机抽取10只,测量其长度偏差为分布为2, 1,2 3, 2, 4,2, 5, 3, 4.试在检验水平=0.10,检验这批零件长度的偏差的二2有显著改变是否成立。解：提出原假设H0:方差立=3;备择假设H1:方差-3由于未知期望 4选择2检验，n=10,检验水平=0.10,当原假设成立条件下构造 2变量2=MX(n-1)=卑x2(9)003由检验水平：=0.10, (1)上侧临界值(2)下侧

11、临界值 查对应的2分布表双侧分位数.1 满足：P 2 11= 1 二_/2= 0.952 满足：P 2，_2= : /2= 0.05乂丄n Xj =2.0n i 41 n样本方差s2二丄v (Xj -X)2n 1 im.s2 =丄(2-2)2 (1-2)_(4-2)2 =5.778922C02 二(n _1)S 3S2 =3 5.778 =17.334由于接受域3.325, 16.919,样本观测值2 =17.334落入拒绝域，所以拒绝H0,可知这批零件长度的偏差的方差有显著改变8.教材第210页5.20题某种商品的销售额 Y万元与广告费x万元的一组统计资料列表如下亡aH畀 丿 口费302520304040152050x销售额Y470460420460500520400440560试求：1在检验水平一:：=0.05下，该种商品的销售额 Y万元与广告费x万元是否具有显著 线性相关关系；2 在他们具有显著线性相关关系情况下，该种商品的销售额Y万元与广告费x万元的回归直线方程；3广告费x没增加1万元，商品的销售额 Y平均增加多少；4当广告费x为35万元时，商品的销售额 Y估计为大少。解：查表检验变量 Y与x是否具有显著的相关关系查附表六教材232页样本个数n=9,检验水